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2013年广东高考理科数学试题及答案.doc
2013 年广东高考理科数学试题及答案
参考公式:台体的体积公式
V
1
3
S
1
S S
1 2
S h
2
表示台体的高.
,其中 1
2
,S S 分别是台体的上、下底面积, h
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1．设集合
M x x
|
2
2
x
0,
A . 0
【解析】D；易得
M
2,0
,
R ,
x
N
0,2
B．
0,2
N
2
|
x x
2
x
,所以 M N
2．定义域为 R 的四个函数
y
A . 4
x
3
,
y
B．3
2x
,
y
x
2 1
,
y
C． 2
)
(
R ,则 M N
0,
x
2,0
C．
D．
2,0,2
2,0,2
2sin
中,奇函数的个数是(
,故选 D．
x
)
D．1
x
,故选 C．
【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为
y
3
x 与 2sin
y
3．若复数 z 满足
2,4
A .
iz
2 4
i
,则在复平面内, z 对应的点的坐标是(
4, 2
2, 4
C．
B．
)
D．
4,2
【解析】C；
z
2 4
i
i
对应的点的坐标是
4 2
i
4, 2 ,故选 C．
4．已知离散型随机变量 X 的分布列为
X
P
则 X 的数学期望 EX (
)
1
3
5
2
3
10
3
1
10
B． 2
D．3
1
C．
5
2
15
10
3
2
A .
3
2
【解析】A；
2
EX
1
3
5
3
10
3
1
10
,故选 A．
5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 (
)
A . 4
C．
16
3
B．
14
3
D． 6
2
正视图
侧视图
2
1
1
【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
俯视图
第 5 题图
1和 2 的正方形,高为 2 ,故
V
2
1
1
3
2
1
2
2
2
2
2
14
3
,,故选 B．
6．设 ,m n 是两条不同的直线, ,是两个不同的平面,下列命题中正确的是(
)
A . 若 , m , n ,则 m n
C．若 m n , m , n ,则
B．若 // , m , n ,则 //m n
//m n , //n ,则
D．若 m ,
【解析】D；ABC 是典型错误命题,选 D．
7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为
F
3,0
,离心率等于
3
2
,在双曲线C 的方程是 (
)
A .
2
x
4
2
y
5
1
B．
2
x
4
2
y
5
1
C．
2
x
2
2
y
5
1
D．
2
x
2
2
y
5
1
【解析】B；依题意 3c ,
e ,所以 2a ,从而 2
a , 2
b
4
3
2
2
c
2
a
,故选 B．
5
X
1,2,3,
.令集合
n
,
,
x
且三条件
y
,
z y
z
,
x z
x
恰有一个成立
y
8．设整数 4n ,集合
|
若
,
,
,
S
x y z
x y z 和
,
,
A .
C．
,
x y z X
,y z w S ,
,
,y z w S ,
,
,
,
)
,
x y w S
,
z w x 都在 S 中,则下列选项正确的是(
,y z w S ,
B．
,
,y z w S ,
D．
,
z
x
,
x y w S
y
2,
3,
,
,
x y w S
,
,
x y w S
,
【 解 析 】 B ； 特 殊 值 法 , 不 妨 令
4
,
1w
, 则
,
S
3,4,1
,
,
y z w
如 果 利 用 直 接 法 : 因 为
z
x
y
,
,
x y w
,
,
x y z
2,3,1
S ，
S
,故选 B．
,
,
z w x
S ， 所 以 x
… ① ， y
y
z
… ② ，
x
z
…③三个式子中恰有一个成立； z w x
…④， w x
…⑤， x
z
…⑥三个
z w
式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时 w x
， 于是
,y z w S ，
,
y
,y z w S ，
,
,
x y w S ； 第二 种 ：① ⑥ 成 立， 此 时 x
，于是
,
x y w S ；第三种：②④成立，此时 y
，于是
,y z w S ，
,
z w
z w x
y
,
,
，于是
y
z
,
,y z w S ，
,
x y w S ；第四
,
,
x y w S .综合上述四种情况，可得
,
种：③④成立，此时 z w x
,y z w S ，
,
,
x y w S .
,
二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
(一)必做题(9～13 题)
2 0
x 的解集为___________．
9．不等式 2
x
2,1 ；易得不等式 2
【解析】
x
1,k 处的切线平行于 x 轴,则 k ______.
x 的解集为
在点
ln
10．若曲线
2,1
2 0
kx
y
x
.
【解析】 1 ；求导得
y
,依题意 1 0
k ,所以
k
1
x
1
k .
11．执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为
______.
s
【解析】7 ；第一次循环后:
4
12. 在等差数列 na 中,已知 3
a
【 解 析 】 20 ； 依 题 意
；
；故输出 7 .
_____.
；第四次循环后:
；第二次循环后:
第三次循环后:
, 所 以
8 10
4,
i
7,
i
2,
i
1,
i
9
d
a
7
s
5
a
10
2
3
s
s
3
a
5
a
7
3
a
1
4
或:
3
a
5
a
7
2
d
6
d
4
a
1
20
a
1
a
3
a
8
13. 给 定 区 域 D :
4
, 令 点 集
3a
,则 5
12
a
20
18
d
.
4
x
y
4
x
y
0
x
i
i
1
第 11 题图
y
4
1
O
4
x
T
是 z
|
,
D x y
0
{
在 D 上取得最大值或最小值的点} ,则T 中的点共确定______
,
x y
0
0
x
y
,
,
Z x y
0
0
0
条不同的直线.
【解析】 6 ；画出可行域如图所示,其中 z
3,1 及
整点为
0,4 ,
2,2 ,
1,3 ,
y
x
取得最小值时的整点为
4,0 共5 个整点.故可确定5 1 6
条不同的直线.
0,1 ,取得最大值时的
（二）选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为
x
y
2 cos
2 sin
t
t
(t 为参数), C 在点
1,1 处的切线为l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程
为_____________.
【解析】 sin
4
2
；曲线C 的普通方程为 2
x
2
y
,其在点
2
1,1 处的切线l 的方程
x
2
为
y ,对应的极坐标方程为 cos
15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,
,即 sin
sin
2
延长 BC 到 D 使 BC CD
6
AB ,
2
ED ,则 BC _________.
,过C 作圆O 的切线交 AD 于 E .若
4
A
2
.
.
O
D
E
C
B
第 15 题图
【解析】 2 3 ；依题意易知 ABC
CDE
,所以
AB
BC
CD DE
,又
BC CD
,所以 2
BC
AB DE
12
,从而
BC
2 3
.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( )
f x
2 cos
x
12
, xR .
(Ⅰ) 求
f
6
的值；
(Ⅱ) 若
cos
3
,
5
3 ,2
2
,求 2
f
3
．
【解析】(Ⅰ)
f
6
2 cos
6
12
2 cos
4
2 cos
4
1
；
(Ⅱ)
因为
f
2
3
2 cos 2
3
12
2 cos 2
4
cos 2
sin 2
cos
3
,
5
3 ,2
2
,所以
sin
4
,
5
所以
sin 2
2sin cos
24
25
,
cos 2
2
cos
2
sin
7
25
所以 2
f
3
cos2
sin 2
7
25
24
25
17
25
.
17．（本小题满分 12 分）
某车间共有12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十
位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
根据茎叶图推断该车间12 名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间12 名工人中,任取 2 人,求恰有1名优秀
9
1
5
1
2
3
7
0
0
第 17 题图
工人的概率.
【解析】(Ⅰ) 样本均值为
17 19 20 21 25 30
6
132
6
；
22
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为 2
6
秀工人.
,故推断该车间12 名工人中有 1
1
名优
3
3
12
4
(Ⅲ) 设事件 A :从该车间12 名工人中,任取 2 人,恰有1名优秀工人,则
P A
1
1
C C
4
8
2
C
12
16
33
.
18．（本小题满分 14 分）
如 图 1, 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 ,
A
90
,
6
BC ,
,D E 分 别 是
,AC AB 上 的
点,
CD BE
2
,
,其中
A O
3
.
B
E
O
A
B
E
O 为 BC 的中点.将 ADE
C
D
沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE
.
O
B
A
E
A
图 1
C
D
O
图 2
(Ⅰ) 证明: A O 平面 BCDE ；
(Ⅱ) 求二面角 A CD B
OC
【解析】(Ⅰ) 在图 1 中,易得
3,
的平面角的余弦值.
AC
3 2,
AD
2 2
连结 ,OD OE ,在 OCD
中,由余弦定理可得
C
D
H
5
OD
2
OC CD
由翻折不变性可知
cos45
OC CD
2 2
A D
2
A D
, 又OD OE O
2 2
,所以 A O OD
,
2
2
,
A O OD
所以
,所以 A O 平面 BCDE .
理可证 A O OE
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD 交CD 的延长线于 H ,连结 A H
因为 A O 平面 BCDE ,所以 A H CD
所以 A HO
的平面角.
为二面角 A CD B
,
,
结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故
OH
3 2
2
,从而
A H
2
OH OA
2
30
2
所以
cos
A HO
OH
A H
15
5
,所以二面角 A CD B
的平面角的余弦值为 15
5
如图所示,
,
C
向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz
则
A
0,0, 3
CA
,
,
x y z
1, 2,0
为平面 A CD 的法向量,则
0, 3,0
D
DA
0,3, 3
所以
n
1,2, 3
设
,
,
C
D
z
A
O
.
E
B
y
x
向量法图
n CA
n DA
由(Ⅰ) 知,
,即
0
0
OA
,
n OA
2
3
y
3
y
x
z
0,0, 3
n OA
n OA
所以
cos
15
5
.
0
3
z
0
,解得
y
z
x
3
x
,令 1x ,得
n
1, 1, 3
为平面CDB 的一个法向量,
3
3
5
15
5
,即二面角 A CD B
的平面角的余弦值为
19．（本小题满分 14 分）
设数列 na 的前 n 项和为 nS .已知 1 1
a ,
n
2
S
n
a
1
n
1
3
2
n
2
,
3
n
n N .
*
(Ⅰ) 求 2a 的值；
(Ⅱ) 求数列 na 的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
1
a
1
1
a
n
7
4
.
1
a
2
2
3
1
3
1
3
【解析】(Ⅰ) 依题意,
2
S
1
a
2
S
,又 1
1
a
1 1
,所以 2
a ；
4
(Ⅱ) 当 2n 时,
2
S
na
n
1
n
3
n
2
n
2
3
n
,
2
S
1
n
n
1
a
n
两式相减得
2
a
n
na
n
1
n
1
a
n
1
3
1
3
n
3
1
n
2
1
n
1
2
3
2
3
n
3
n
1
2
n
1
2
3
整理得
n
1
a
n
na
n
1
n n
1
,即 1
n
1
a
n
a
n
n
1
a
,又 2
2
a
1
1
1
故数列 na
n
a ,公差为1的等差数列,
是首项为 1
1
1
所以
na
n
1
n
1 1
,所以
n
na
2
n
.
(Ⅲ) 当 1n 时,
当 3n 时,
1
na
1
a
1
1
2
n
71
；当 2n 时,
4
1
1
1
1
n
n
n
1
n
1
1
4
5
4
；
7
4
1
a
1
1
a
2
,此时
1
1
a
1
1
a
2
1
4
1
a
n
1
n
1
1
2
7
4
1
n
综上,对一切正整数 n ,有
1
1
2
4 3
7
4
1
a
1
1
2
4
1
2
n
1
1
4
1 1
2 3
1 1
3 4
1
1
n
1
n
1
a
2
1
a
n
7
4
.
20．（本小题满分 14 分）
已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点
F
0,
c c 到直线l :
0
x
y 的距离为 3 2
2
2
0
.
设 P 为直线l 上的点,过点 P 作抛物线C 的两条切线 ,PA PB ,其中 ,A B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；
(Ⅱ) 当点
,
0
0
P x y 为直线l 上的定点时,求直线 AB 的方程；
(Ⅲ) 当点 P 在直线l 上移动时,求 AF BF
的最小值.
【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为 2
x
4
cy
,由
2
0
c
2
3 2
2
结合 0c ,
解得 1c .
所以抛物线C 的方程为 2
x
4
y
.
(Ⅱ) 抛物线C 的方程为 2
x
4
y
,即
y
21
x
4
,求导得
y
1
2
x
设
,A x y ,
1
1
,
B x y
2
2
(其中
y
1
2
x
1
4
,
y
2
2
x
2
4
),则切线 ,PA PB 的斜率分别为 1
x ,
1
2
1
2
x ,
2
x
1
2
2
x
x
1
,即
y
x
1
2
x
2
x
1
2
y
1
x x
,即 1
2
y
2
y
1
0
y
2
y
2
0
x x
,所以 1 0
2
y
0
2
y
1
x x
, 2 0
0
2
y
0
2
y
2
0
所以切线 PA 的方程为
y
y
1
x x
同理可得切线 PB 的方程为 2
因为切线 ,PA PB 均过点
所以
所以直线 AB 的方程为 0
x x
x y 为方程 0
x x
2
2
y
,
x y
1
1
,
P x y
0
,
,
0
2
(Ⅲ) 由抛物线定义可知
所以
AF BF
联立方程
y
1
2
2
y
x x
0
2
4
y
x
AF
1
y
y
2
0
0
2
y
的两组解.
0
02
y
2
y
0
.
0
1 1
y
,
1
y y
1 2
BF
y
y
1
2 1
,
y
2
1
,消去 x 整理得
2
y
2
y
0
2
x
0
y
2
y
0
0
由一元二次方程根与系数的关系可得
y
1
y
2
2
x
0
y y
1 2
y
1
y
2
1
2
y
0
2
x
0
2
所以
AF BF
,
又点
P x y 在直线l 上,所以 0
x
0
0
y
0
2
,
,
y y
1 2
2
y
0
02
y
y
0
1
所以
2
y
0
2
x
0
2
y
0
1 2
y
2
0
所以当 0
y 时, AF BF
1
2
2
0
0
y
2
5
2
1
2
y
9
2
取得最小值,且最小值为 9
2
.
21．（本小题满分 14 分）
1 x
e
设函数
kx
f x
(Ⅰ) 当 1k 时,求函数
x
2
(其中 k R ).
f x 的单调区间；
(Ⅱ) 当
k
1 ,1
2
时,求函数
f x 在
0,k 上的最大值 M .
f
x
x
e
x
1
x
e
2
x
x
xe
2
x
x e
x
2
,
【解析】(Ⅰ) 当 1k 时,
2
1 x
e
x
的变化如下表:
f x
x
令 0
x
f
当 x 变化时,
x
ln 2
0
,得 1
x , 2
x
f x
f
,
,0
f
x
x
f x
右表可知,函数
f x 的递减区间为
(Ⅱ)
1
2
e
x
e
f
x
x
x
令 0
x
f
,得 1
0
x ,
x
2
kx
ln 2
k
xe
,
0
0
极大值
0,ln 2
ln 2
0
极小值
0,ln 2 ,递增区间为
x
2
kx
x e
x
2
k
,0
,
,
ln 2,
ln 2, .
上递增,
令
g k
ln 2
k
,则
k
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