2009 年甘肃省金昌市中考数学试题及答案
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1.抛物线
y
2
ax
bx
的顶点坐标是
c
b
2
a
4
,
2
ac b
4
a
.
2.弧长公式:
l
弧长
π
n R
180
;其中,n为弧所对圆心角的度数,R为圆的半径.
本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的,将此选项的代号填入题后的括号内.
1.4 的相反数是(
)
A.4
B. 4
C.
1
4
D.
1
4
2.图 1 所示的物体的左视图(从左面看得到的视图)是(
)
图1
A.
B.
C.
D.
3.计算:
A.
a b
b
a
b
b
a
a b
a
(
)
B.
a b
b
C.
a b
a
D.
a b
a
)
B.6 个
D.36 个
C.34 个
4.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 40 个,除颜色外其他完全相同.小明通
过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在 15%左右,则口袋中红色球可能有
(
A.4 个
5.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
A.等腰梯形
6.有 19 位同学参加歌咏比赛,所得的分数互不相同,取得分前 10 位同学进入决赛.某同
学知道自己的分数后,要判断自己能否进入决赛,他只需知道这 19 位同学成绩的(
)
A.平均数
7.某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60°,
否则就有危险,那么梯子的长至少为(
)
D.矩形
B.平行四边形
C.正三角形
B.中位数
C.众数
D.方差
)
A.8 米
B.8 3 米
C.
8 3
3
米
D.
4 3
3
米
8.如图 2,⊙O的弦 AB=6,M是 AB上任意一点,且 OM最小值为 4,则⊙O的半径为(
A.5
9.如图 3,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、
旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m,则
D.2
B.4
C.3
)
旗杆的高为(
A.12m
)
B.10m
C.8m
D.7m
图 2
图 3
图 4
10.如图 4,四边形 ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点 E,且四边形 ABCD
的面积为 8,则 BE=(
)
A.2
B.3
C. 2 2
D. 2 3
二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.把答案写在题中的横线上.
11.当 3
x
、 时,代数式
y
1
(
x
)(
y x
y
)
2
的值是
y
.
12.方程组
x
x
2
2
y
y
5
,
11
的解是
.
13.如图 5,Rt△ACB中,∠ACB=90°,DE∥AB,若∠BCE=30°,则∠A=
14.反比例函数的图象经过点 P( 2 ,1),则这个函数的图象位于第
.
象限.
15.不等式组
1 0
x
3
x
,
的解集是
.
16.如图 6,四边形 ABCD是平行四边形,使它为矩形的条件可以是
.
图 6
图 7
图 8
17.如图 7,在△ABC中,
AB AC
5cm
点 B、C,那么线段 AO=
cm.
,cosB
.如果⊙O的半径为 10 cm,且经过
3
5
18.抛物线
y
x
2
bx
的部分图象如图 8 所示,请写出与其关系式、图象相关的 2 个
c
正确结论:
y轴交点坐标例外)
,
.(对称轴方程,图象与 x正半轴、
三、解答题(一):本大题共 5 小题,共 38 分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤.
19.(6 分)若
a
2007
2008
,
b
2008
2009
,试不用..将分数化小数的方法比较 a、b的大小.
a
20.(6 分)在实数范围内定义运算“ ”,其法则为:
b
2
a
的解.
2
,求方程(4 3)
b
x
24
21.(8 分)如图 9,随机闭合开关 S1、S2、S3 中的两个,求能让灯泡 发光的概率.
图 9
22.(8 分)图 10(1)是一扇半开着的办公室门的照片,门框镶嵌在墙体中间,门是向室内
开的.图 10(2)画的是它的一个横断面.虚线表示门完全关好和开到最大限度(由于受到
墙角的阻碍,再也开不动了)时的两种情形,这时二者的夹角为 120°,从室内看门框露在
外面部分的宽为 4cm,求室内露出的墙的厚度 a的值.(假设该门无论开到什么角度,门和
门框之间基本都是无缝的.精确到 0.1cm, 3
1.73≈ )
图 10(1)
图 10(2)
23.(10 分)鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系,下表是几组“鞋码”与鞋长
换算的对应数值:[注:“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码]
鞋长(cm)
鞋码(号)
16
22
19
28
21
32
24
38
(1)设鞋长为 x,“鞋码”为 y,试判断点(x,y)在你学过的哪种函数的图象上?
(2)求 x、y之间的函数关系式;
(3)如果某人穿 44 号“鞋码”的鞋,那么他的鞋长是多少?
四、解答题(二):本大题共 5 小题,共 50 分(不含附加 4 分).解答时,应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤.
24.(8 分)为响应国家要求中小学生每天锻炼 1 小时的号召,某校开展了形式多样的体育
运动活动,小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计,并绘制了下面的统计图 11(1)和
图 11(2).
(1)请在图 11(1)中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整;
(2)求扇形统计图 11(2)中表示“足球”项目扇形圆心角的度数.
图 11(1)
图 11(2)
25.(10 分)去年 5 月 12 日,四川省汶川县发生了里氏 8.0 级大地震,兰州某中学师生自
愿捐款,已知第一天捐款 4800 元,第二天捐款 6000 元,第二天捐款人数比第一天捐款人数
多 50 人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少?人均捐款多少元?
26.(10 分)图 12 中的粗线 CD表示某条公路的一段,其中 AmB是一段圆弧,AC、BD是线段,
且 AC、BD分别与圆弧 AmB 相切于点 A、B,线段 AB=180m,∠ABD=150°.
(1)画出圆弧 AmB 的圆心 O;
(2)求 A到 B这段弧形公路的长.
27.(10 分)如图 13,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D 为
AB 边上一点,求证:
图 12
(1) ACE
△
≌△
BCD
;(2) 2
AD DB
2
2
DE
.
图 13
28. [12 分+附加 4 分]如图 14(1),抛物线
轴交于点 C(0, 3 ).[图 14(2)、图 14(3)为解答备用图]
(1) k
,点 B 的坐标为
x
2 2
x
y
;
与 x 轴交于 A、B 两点,与 y
k
(2)设抛物线
y
x
的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积;
,点 A 的坐标为
2 2
x
k
(3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求
出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线
y
x
2 2
x
上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形.
k
图 14(1)
图 14(2)
图 14(3)
附加题:如果你的全卷得分不足 150 分,则本题与 28 题附加的 4 分的得分将记入总分,但
记入总分后全卷得分不得超过 150 分,超过按 150 分算.
2008
2009
,试不用..将分数化小数的方法比较
29.(7 分)本试卷第 19 题为:若
2007
2008
a
b
,
a、b 的大小.
观察本题中数 a、b 的特征,以及你比较大小的过程,直接写出你发现的一个一般结论.
数学试卷参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.
6
B
二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.
题号
答案
2
D
3
A
5
D
1
B
4
B
7
C
8
A
9
A
10
C
11.9
12.
13.60o
14.二、四
x
y
3
,
4
1x
16.答案不唯一,如 AC=BD,∠BAD=90o,等
15.
18.答案不唯一.如:①c=3;②b+c=1;③c-3b=9;④b=-2;⑤抛物线的顶点为(-1,4),
或二次函数的最大值为 4;⑥方程-x2+bx+c=0 的两个根为-3,1;⑦y>0 时,-3
1;⑧当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小;或当 x<-1 时,y 随 x 的增大
而增大.等等
17. 5
2
2
2008
1
2008 2009
,··························· 3 分
三、解答题(一):本大题共 5 小题,共 38 分.
19. 本小题满分 6 分
解:∵ a= 2007 2009
2008 2009
(2008 1)
2008 2009
(2008 1)
2
b
2008 2009
2008
2
1
,················································································ 4 分
2008
2
2008
2
,············································································5 分
∴ a∴ 2
x
10
y
.(x 是一些不连续的值.一般情况下,x 取 16、16.5、17、17.5、…、26、
26.5、27 等)·························································································8 分
y 时, 27
说明:只要求对 k、b 的值,不写最后一步不扣分.
(3) 44
答:此人的鞋长为 27cm.········································································· 10 分
说明:只要求对 x=27cm,不答不扣分.
x .
四、解答题(二):本大题共 5 小题,共 50 分 (不含附加 4 分) .
24. 本小题满分 8 分
解:(1)如图:
···················· 4 分
(2)∵ 参加足球运动项目的学生占所有运动项目学生的比例为
1
5
,··········· 6 分
10
50
72
1 360
5
∴ 扇形统计图中表示“足球”项目扇形圆心角的度数为
.················8 分
25. 本小题满分10分
解法 1:设第一天捐款 x 人,则第二天捐款(x+50)人,·········································1 分
4800 =
x
6000
50
x
由题意列方程
.······························································· 5 分
解得 x =200.···························································································7 分
检验:当 x =200 时,x(x+50)≠0,
∴ x =200 是原方程的解.············································································8 分
两天捐款人数 x+(x+50)=450, 人均捐款
4800 =24(元).
x
答:两天共参加捐款的有 450 人,人均捐款 24 元.········································10 分
说明:只要求对两天捐款人数为 450, 人均捐款为 24 元,不答不扣分.
解法 2:设人均捐款 x 元,················································································ 1 分
6000
4800
-
x
x
由题意列方程
=50 .··························································5 分
解得 x =24.····························································································· 7分
以下略.
26. 本小题满分10分
解:(1)如图,过A作AO⊥AC,过B作BO⊥BD,AO与BO相
交于O,O即圆心.···················································· 3分
说明:若不写作法,必须保留作图痕迹.其它作法略.
(2)∵ AO、BO都是圆弧 AmB 的半径,O是其圆心,
∴ ∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.································ 5分
∴ △AOB为等边三角形.∴ AO=BO=AB=180.··············· 7分
∴ π 60 180
∴ A到B这段弧形公路的长为 60π m.·························································· 10分
180
(m).
60π
AB
O
27. 本小题满分 10 分
证明:(1) ∵ ACB
ACD
∴
BCD
ECD
,
ACD
ACE
.
D
A
C
B
E
,
BC
BCD
,
AC
ACE
DC
.········································ 2 分
EC
即
∵
∴ △ACE≌△BCD.············································4 分
(2)∵ ACB
BAC
∴
∵ △ACE≌△BCD, ∴
∴
2
.······································ 5 分
45
.······· 6 分
90
是等腰直角三角形,
45
B
DAE
AD
2
CAE
2
AE
DE
CAE
B
45
BAC
.······································ 7 分
.······································································· 9 分
45
∴
由(1)知 AE=DB,
∴
+
=
AD
DB
2
2
2
DE
.······································································ 10 分
28.本小题满分 16 分(含附加 4 分)
解:(1)
3
k ,························································· 1 分
A(-1,0),····················································· 2 分
B(3,0).·······················································3 分
(2)如图 14(1),抛物线的顶点为 M(1,-4),连结 OM.
····························································· 4 分
则 △AOC 的面积=
,△MOC 的面积=
,
3
2
3
2
△MOB 的面积=6,·············································· 5 分
图 14(1)
∴ 四边形 ABMC 的面积
=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9.····································6 分
说明:也可过点 M 作抛物线的对称轴,将四边形 ABMC 的面
积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和.
),连结 OD.
m
3
2
2
m
<0.
(3)如图 14(2),设 D(m,
则 0<m<3,
2
且 △AOC 的面积=
3
m
2
m
3
,△DOC 的面积= m
2
3
△DOB 的面积=-
2
m
3
2
m
(
2
3
2
,
∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积
),····················································· 8 分
图 14(2)
=
2
m
m
3
2
3
2
9
2
3
)
2
3
(
2
6
75
8
15
)
4
(4)有两种情况:
=
m
(
2
.········································································· 9 分
∴ 存在点 D
, ,使四边形 ABDC 的面积最大为
75
8
.··························10 分
如图 14(3),过点 B 作 BQ1⊥BC,交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E,连接 Q1C.
图 14(4)
图 14(3)