电磁场与电磁波第二版答案.pdf-资料库

习题 1.1 已知 r A = ˆ3ˆ2 y x + − r ˆ ;ˆ xBz −+= ˆ y ˆ2 z ，求:(a) A 和 B 的大小（模）； (b) A 和 B 的单位矢量；(c) r ⋅ ；(d) r BA r × ；(e)A 和 B 之间的夹角；(f) A 在 B 上的投影。 BA r 解：(a) A 和 B 的大小 A r A A A + = = 2 x 2 y + A 2 z B = r B = B 2 x + B 2 y + B 2 z (b) A 和 B 的单位矢量 ˆ a = r A A = 1 74.3 ˆ3ˆ2( y + x = = 2 2 + 2 3 + 1 2 = 14 = 74.3 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6 = 45.2 − )ˆ z = .0 535 .0ˆ x + 802 .0ˆ y − 267 ˆ z ˆ( x −+ ˆ y )ˆ2 z = .0 408 .0ˆ x + 408 .0ˆ y − 816 ˆ z = 1 45.2 r Bb ˆ = B r r A B⋅ BABA rr =⋅ x (c) + BA y y + BA z z x =++= 232 7 (d) r × BA r = r × r BA ˆ x A x B ˆ z A z B (e)A 和 B 之间的夹角α ˆ y A B y x y z = ˆ ˆ x y 32 11 ˆ z 1 − 2 − −= ˆ3ˆ5 x y + − ˆ z 根据 =⋅ rr BA AB αcos 得 cos α = BA rr ⋅ AB = 7 163 .9 (f) A 在 B 上的投影 = .0 764 019.40=α ˆ r bA =⋅ rr BA ⋅ B = 7 45.2 = 86.2 1.2 如果矢量 A、B 和 C 在同一平面，证明 A·(B× C)=0。证明：设矢量 A、B 和 C 所在平面为 xy 平面 =r ˆ yAxAA y ˆ + x =r ˆ yBxBB ˆ + y x =r ˆ yCxCC y ˆ + x 课后答案网 www.khdaw.com

× r r CB = ˆ x B C x x ˆ y B C y y ˆ z B C z z = ( CB y z − ˆ) xCB z y + ( CB z x − ˆ) yCB x z + ( CB x y − ˆ) zCB x y = ( CB x y − ˆ) zCB x y r r r CBA × ( ⋅ ) (0 ×= CB x y − ˆ zzCB =⋅ ˆ) 0 y x β sinˆ + y β ，证明这三个 1.3 已知 A= ˆ x cos α sinˆ + y α 、B = ˆ x cos β sinˆ − y β 和 C = ˆ x cos 矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。证明： 1）三个矢量都是单位矢量 A = B = r A r B = = A 2 x + A 2 y + A 2 z B 2 x + B 2 y + B 2 z = = 2 cos + α sin 2 α = 1 2 cos β + 2 sin β = 1 r CC = = C 2 x + C 2 y + C 2 z = 2 cos β + 2 sin β = 1 2）三个矢量是共面的 ˆ y B C ˆ x B C × r r CB = y x y x ˆ z B C z z = 2 cos ˆ z ββ sin r r CBA × ( r ⋅ ) ×= 20 cos ˆ ˆ zz =⋅ ββ sin 0 1.4 rA x = + $ y $2 − z $ ； rB = x + −α$ y $ z $3 ，当 rA B⊥ 时，求α。 r 解：当 r rA B⊥ 时， 0=⋅ BA rr =++=⋅ αBA rr 032 所以 5−=α ˆ z ˆ7ˆ3 y x ˆ5ˆ5 − x y 1.5 证明三个矢量 A 、B = = − − 和 C −= ˆ2 x − ˆ2 y − ˆ z 形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。证明：因为 r − r BA = ˆ2 x + ˆ2 y + ˆ z r A ( −+ r r CB ) + = 0 所以三个矢量 A 、B 和 C 形成一个三角形此三角形的面积为课后答案网 www.khdaw.com

S = 1 2 r × r BA = ˆ x A x B x ˆ y A B y y ˆ z A z B z = ˆ x 5 3 ˆ y 5 − 7 − ˆ z 0 1 − = 2 5 + 2 5 + 2 20 2/ = 6.10 1.6 P 点和 Q 点的位置矢量分别为 ˆ5 x + ˆ12 y + ˆ z 和 ˆ3ˆ2 x y − + ˆ z ，求从 P 点到 Q 点的距离矢量及其长度。解：从 P 点到 Q 点的距离矢量为 )ˆ z ˆ3ˆ2( y r r rR = Q r r P + − = − x − ˆ5( x + ˆ12 y + )ˆ z −= ˆ3 x − ˆ15 y 从 P 点到 Q 点的距离为 R r = R 15 = + = 3 2 2 3.15 1.7 求与两矢量 A = ˆ3ˆ4 x y − + ˆ z 和 B = ˆ2 x −+ ˆ y ˆ z 都正交的单位矢量。解：设矢量Cr 与两矢量 A = ˆ3ˆ4 y x − + ˆ z 和 B = ˆ2 x −+ ˆ y ˆ z 都正交，则 r CA r ⋅ = C 4 CB r r ⋅ = C 2 x x − C 3 y + C z = 0 （1） + C y − C z = 0 （2）（1）+（2）得 C 6 x − C 2 y = 0 → C y C 3= x （3）（1）+3× （2）得 C 10 x − C 2 z = 0 → C z C 5= x （ 4）如果矢量Cr 是单位矢量，则 r CC = = C 2 x + C 2 y + C 2 z = C 2 x + C 9 2 x + C 25 2 x = 1 所以 =xC 1 91 ++ 25 = .0 169 C y C 3= x 507.0= C z C 5= x 845.0= =r C .0 169 .0ˆ x + 507 ˆ y + .0 845 ˆ z 1.8 将直角坐标系中的矢量场 r F x y z , ) 1 ( , = 坐标分量表示。解：在圆柱坐标系中 x F x y z $, , ) ( , r 2 = 分别用圆柱和圆球坐标系中的 y $ 课后答案网 www.khdaw.com

⎡ ⎢ −= ⎢ ⎢ ⎣ cos sin 0 ϕ ϕ ϕϕ sin cos 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ F x 1 F y F z 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ −= ⎢ ⎢ ⎣ cos sin 0 ϕ ϕ ϕϕ sin cos 0 =z ), cos ˆ ϕϕρϕ sin − ˆ 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 ⎡ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ −= ⎢ 0 ⎢ ⎣ cos ϕ ⎤ ⎥ sin ϕ ⎥ ⎥ ⎦ 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 ⎡ ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = sin ⎡ ⎢ cos ⎢ 0 ⎢ ⎣ ϕ ⎤ ⎥ ϕ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ F 1 ρ F 1 ϕ F z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Fr (1 ϕρ , 1 F 2 ρ F 2 ϕ F z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Fr (2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ −= ⎢ ⎢ ⎣ cos sin 0 ϕ ϕ ϕϕ sin cos 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ F x F y F z 2 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ −= ⎢ ⎢ ⎣ cos sin 0 ϕ ϕ ϕϕ sin cos 0 ϕρ , =z ), sin ˆ + ρϕ cos ˆ ϕϕ 在圆球坐标系中 1 F r F 1 θ F 1 ϕ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = = sin cos cos sin ϕθϕθ cos cos ϕθϕθ sin ϕ − sin cos ϕθϕθ cos cos ϕθϕθ sin ϕ − sin sin ϕ sin sin ϕ sin cos cos cos ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ cos θ ⎤ ⎥ sin θ − ⎥ 0 ⎥ ⎦ cos θ ⎤ ⎥ sin θ − ⎥ 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 1 F ⎡ x 1 ⎢ F ⎢ y F ⎢ ⎣ z 1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ sin ϕθ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ cos ϕθ ⎥ ⎢ sin ⎥ ⎢ − ⎦ ⎣ cos cos ϕ rFr ,(1 ) ϕθ , = sin ˆ + ρϕθ cos cos ˆ ϕϕθϕθ cos sin − ˆ 2 F r F 2 θ F 2 ϕ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = = sin cos cos sin ϕθϕθ ⎡ ⎢ cos cos ϕθϕθ ⎢ sin ⎢ ϕ − ⎣ sin cos ϕθϕθ ⎡ ⎢ cos cos ϕθϕθ ⎢ sin ⎢ ϕ − ⎣ sin sin ϕ sin sin ϕ sin cos cos cos F cos θ ⎡ ⎤ x ⎢ ⎥ F sin θ − ⎢ ⎥ y F 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ z 0 cos θ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ sin 1 θ − ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2 = ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ sin ⎡ ⎢ cos ⎢ cos ⎢ ⎣ sin sin ϕθ ⎤ ⎥ ϕθ ⎥ ⎥ ϕ ⎦ rFr ,(2 ) ϕθ , = sin ˆ + ρϕθ sin cos ˆ + θϕθ sin cos ˆ ϕϕ 1.9 将圆柱坐标系中的矢量场 r F 1 ( , ρϕ z , ) = 2 $ , ρ ρϕ ( , r F 2 z , ) 3= 用直角坐标系中的坐标分 ϕ $ 量表示。解：根据 x A A y A z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = cos ϕ sin ϕ 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ϕ ϕ sin − cos 0 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A ⎤ ρ ⎥ A ⎥ ϕ A ⎥ ⎦ z 得（1 ）课后答案网 www.khdaw.com

F 1 F 1 F 1 x y z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = cos ϕ sin ϕ 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ϕ ϕ sin − cos 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = cos 2 sin2 0 ϕ ⎤ ⎥ ϕ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ r zyxF ), ,(1 = 2 cos ϕ + ˆ x sin2 ˆ y ϕ 又因为 ϕ = ϕ = sin ⎧ cos ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ z = x + x + 2 y 2 y 2 x x 2 z （2 ） r zyxF ), 1 ,( ˆ2 = ρ = 2 + 2 x 2 y ˆ( xx + )ˆ yy F 2 F 2 F 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x y z ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = cos ϕ sin ϕ 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ϕ ϕ sin − cos 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 3 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡− ⎢ 3 ⎢ 0 ⎢ ⎣ sin3 ϕ ⎤ ⎥ cos ϕ ⎥ ⎥ ⎦ r zyxF ), ,(2 −= sin3 ϕ + 3ˆ x cos ˆ y ϕ 利用（2）式可得 r zyxF ), 2 ,( ˆ3 = = ϕ 3 + 2 x 2 y ˆ( yx − )ˆ xy ) θϕ , = r F r 5 $, ( , r 2 , θϕ θ $ = 用直角坐标系中的坐标分 ) 1.10 将圆球坐标系中的矢量场 r F r ( , 1 量表示。解：根据 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ cos cos θ ϕ θ ϕ cos sin θ ϕ θ ϕ cos sin θ − sin cos sin sin θ A A y A z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = x sin − cos 0 ϕ ⎤ ⎥ ϕ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A r A θ A ϕ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ （1）得 F 1 F 1 F 1 x y z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = sin ⎡ ⎢ sin ⎢ ⎢ ⎣ ϕθϕθ ϕθ ϕθ cos sin cos sin θ cos cos − cos sin θ sin − cos 0 ϕ ⎤ ⎥ ϕ ⎥ ⎥ ⎦ 5 0 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = sin5 ⎡ ⎢ sin5 ⎢ cos 5 ⎢ ⎣ cos sin ϕθ ⎤ ⎥ ϕθ ⎥ ⎥ θ ⎦ r zyxF ,(1 ), = sin5ˆ x + ϕθ cos sin5ˆ y + ϕθ sin 5ˆ z cos θ 课后答案网 www.khdaw.com

又因为 x y z ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ = = = r r r sin sin cos cos sin ϕθ ϕθ θ （2 ）得 r zyxF ), 1 ,( = 5 y 2 x + 2 + 2 z ˆ( xx + ˆ yy + )ˆ zz rFr ,(2 ˆ θϕθ = ) , ˆ ×=ϕ rˆ ˆ r = 1 y 2 x + 2 + 2 z ˆ( xx + ˆ yy + )ˆ zz ˆ =ϕ 1 + 2 x 2 y ˆ( yx − )ˆ xy rFr ,(2 ˆ θϕθ = ) , ˆ ×=ϕ rˆ = 1 + 2 x 2 y ˆ( yx − )ˆ xy × 1 y 2 x + 2 + 2 z ˆ( xx + ˆ yy + )ˆ zz = 1 x + 2 1 y 2 + 2 z 2 y 2 x + [ − (ˆ xz 2 + 2 y ) + ˆ xxz + ]ˆ yyz 1.11 计算在圆柱坐标系中两点 ,5( πP )5,6/ 和 ,2( πQ )4,3/ 之间的距离。解：两点 ,5( πP )5,6/ 和 ,2( πQ )4,3/ 之间的距离为 d = ( x 1 − x 2 2 ) + ( y 1 − y 2 2 ) + ( z 1 − z 2 2 ) = 5( × cos( π 2)6/ ×− cos( π ))3/ 2 + 5( × sin( π 2)6/ ×− sin( π ))3/ 2 + )45( − 2 = )33.3( 2 + .0( )768 2 + 2 )1( = 69.12 = 56.3 1.12 空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A = ˆ3 − ϕρ zˆ4ˆ5 + ，B = ˆ2 + ϕρ zˆ3ˆ4 + ，求:(a) A+B ； (b) A× B； (c) A 和 B 的单位矢量； (d) A 和 B 之间的夹角； (e) A 和 B 的大小； (f) A 在 B 上的投影。解： (a) r r BA + = ˆ)23( ρ + + ˆ)45( ϕ + +−+ ˆ)34( z (b) r r BA × = ˆ ˆ ϕρ A A ρ ρ B B ρ ϕ ˆ z A z B z = ˆ ˆ ϕρ 3 5 2 4 ˆ z 4 − 3 = = ˆ9 ˆ5 ϕρ − + ˆ z ˆ31 ˆ17 ϕρ + − ˆ2 z 课后答案网 www.khdaw.com

(c) ˆ a = r A A = = 2 3 + 1 5 1 4 2 + 2 4 2 + 2 3 ˆ3( ˆ5 ϕρ − + )ˆ4 z = 1 07.7 ˆ2( + ϕρ )ˆ3ˆ4 z + ˆ2( ϕρ + )ˆ3ˆ4 z + = 1 385.5 ˆ2( + ϕρ )ˆ3ˆ4 z + r Bb ˆ = B = = 2 2 + (d) A 和 B 之间的夹角 BA rr ⋅ AB cos θ = 1 − ) ( = 1 − cos ( 14 077.38 ) = 4.68 0 (e) A 和 B 的大小 A = A 2 ρ + A 2 ϕ + zA 2 = 071.7 = B B 2 ρ B 2 ϕ (f) A 在 B 上的投影 + + zB 2 = 385.5 =⋅bA ˆr ˆ3( )ˆ4ˆ5 zϕρ − + ⋅ 1 385 .5 ˆ2( ˆ4 + ϕρ )ˆ3 z+ = 6.2 1.13 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点 ,1( πP )2,2/ 矢量为 A = ϕρ ˆ3ˆ2 + ，在点 ,2( πQ )3, 矢量为 B ˆ3 + −= ρ zˆ10 ；求:(a)A+B ； (b) A·B；(c) A 和 B 之间的夹角。解：转换到直角坐标系 sin − cos 0 cos ϕ sin ϕ 0 A A y A z ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = x ϕ ϕ 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A ⎤ ρ ⎥ A ⎥ ϕ A ⎥ ⎦ z =r A =r B 0 ⎡ ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 1 − 0 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 01 − 0 0 0 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 01 − 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2 3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ −= ˆ2ˆ3 x y + 3 ⎡− ⎤ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 10 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ = ˆ3 x + ˆ10 z (a) A+B = ˆ2 + y ˆ10 z (b) A·B 9= (c) A 和 B 之间的夹角 θ = 1 − cos ( BA rr ⋅ AB ) = cos 1 − ( 9 − 44.15 ) = 7.125 0 1.14 计算在圆球坐标系中两点 ππP ,10( ,4/ )3/ 和 ππQ ) ,2/ ,2( 之间的距离及从 P 点到 Q 课后答案网 www.khdaw.com

点的距离矢量。解：根据圆球坐标与直角坐标的关系 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ d x y z = = = r r r sin sin cos cos sin ϕθ ϕθ θ x = 1 y r = 1 r sin sin z 1 cos 10 ϕθ = sin 10 ϕθ = × r cos 10 θ = = 707.0 × 707.0 × 707.0 × 535.3 5.0 × = 866.0 122.6 = 07.7 = x 2 = y r 2 2 −=−××= sin cos ϕθ r sin sin ϕθ = z r cos θ = )1(12 =××= 02 0 12 =×= 0 2 = ( x 1 − x 2 2 ) + ( y 1 − y 2 2 ) + ( z 1 − z 2 2 ) = .3( 535 + 2 )2 + .6( 122 ) 2 + )07.7( 2 = 87.10 1.15 空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A ˆ3 = r ϕθ ˆ5ˆ ++ ，B ˆ2 = r ϕθ ˆ4ˆ +− ，求:(a) A+B ； (b) A·B； (c) A 和 B 的单位矢量； (d) A 和 B 之间的夹角； (e) A 和 B 的大小； (f) A 在 B 上的投影。解：(a) A+B (b) A·B ϕˆ9ˆ5 + = r 25= (c) A 和 B 的单位矢量 ˆ a = 1 35 ˆ3( r )ˆ5ˆ ϕθ++ ˆ b = ； ˆ2( r )ˆ4ˆ ϕθ+− 1 21 (d) A 和 B 之间的夹角 1 − = θ cos BA rr ⋅ AB (e) A和 B 的大小 ( ) = cos 1 − ( 25 11.27 ) = 75.22 0 A = A 2 r + B = B 2 r + θ A A 2 + 2 ϕ θ B B 2 + 2 ϕ = 92.5 = 58.4 (f) A 在 B 上的投影 =⋅bA ˆr ˆ3( )ˆ5ˆ ϕθr ++ ⋅ ˆ2( )ˆ4ˆ ϕθr +− = 455.5 1 21 1.16 求 zyxf ,( ), = zyx 3 2 的梯度。课后答案网 www.khdaw.com

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