结构分析的有限元法与MATLAB程序设计（徐荣桥）.pdf

发布时间：2022-06-14 发布人：admin 分类：说明书资料大小：2.55M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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封面

内容简介

前言

第1章绪论

1.1 有限元法简介

1.2 MATLAB简介

1.3 本书的目的和内容

参考文献

第2章有限元法的预备知识

2.1 矩阵、线性代数和MATLAB

2.1.1 矩阵简介

2.1.2 特殊矩阵

2.1.3 矩阵的运算

2.2 MATLAB语言程序设计初步

2.3 弹性力学的控制方程和最小势能原理

2.4 有限元法分析过程概述

参考文献

第3章杆件系统的有限单元法

3.1 杆单元

3.2 平面梁单元

3.3 空间梁单元

3.4 等效结点力计算

3.5 单元刚度矩阵的坐标变换

3.5.1 平面杆单元的坐标变换矩阵

3.5.2 空间杆单元的转换矩阵

3.5.3 平面梁单元的转换矩阵

3.5.4 空间梁单元的转换矩阵

3.6 整体刚度矩阵

3.7 边界约束条件的处理

3.8 温度应力

3.9 算例

3.9.1 受分布力和集中力作用的刚架

3.9.2 在自重和温度载荷作用下的斜腿刚构桥

参考文献

第4章平面问题

4.1 两类平面问题

4.1.1 平面应力问题

4.1.2 平面应变问题

4.2 三角形常应变单元

4.2.1 平面问题结构的离散化

4.2.2 位移模式和形函数的构造

4.2.3 单元应变

4.2.4 单元应力

4.3 形函数的性质与面积坐标

4.3.1 形函数的性质

4.3.2 面积坐标

4.4 单元刚度矩阵

4.5 等效结点力

4.5.1 单元自重

4.5.2 线性分布表面力

4.5.3 热应力

4.5.4 初应力

4.6 矩形单元

4.6.1 位移模式

4.6.2 应变、应力和单元刚度矩阵

4.6.3 等效结点力

4.7 其他注意事项

4.7.1 收敛准则

4.7.2 多项式位移模式阶次的选择

4.7.3 对称性的利用

4.7.4 应力计算结果的整理

4.8 算例

4.8.1 受纯弯曲的梁

4.8.2 在自重作用下隧道的围岩和衬砌的变形

参考文献

第5章空间问题和空间轴对称问题

5.1 常应变四面体单元

5.2 四面体的体积坐标

5.3 四面体单元的刚度矩阵和等效结点力

5.4 空间轴对称问题与三角形截面环单元

5.5 轴对称单元的刚度矩阵和等效结点力

5.6 算例

5.6.1 单向拉伸的杆

5.6.2 圆形垂直载荷作用下的弹性半空间

参考文献

第6章等参数单元

6.1 平面等参数单元

6.1.1 四结点单元

6.1.2 单元的特性分析

6.1.3 八结点四边形单元

6.1.4 高斯积分法和单元刚度矩阵的计算

6.1.5 等效结点力计算

6.1.6 应力的计算

6.1.7 单元的完备性和协调性

6.2 空间轴对称等参数单元

6.2.1 单元特性

6.2.2 等效结点力

6.3 空间等参数单元

6.3.1 单元特性

6.3.2 等效结点力

6.4 算例

6.4.1 受内压的旋转厚壁圆筒

6.4.2 端部受剪力的圆截面悬臂梁

参考文献

第7章板壳单元

7.1 弹性板的弯曲

7.1.1 Kirchhoff板理论

7.1.2 Mindlin板理论

7.2 矩形薄板单元

7.2.1 位移模式

7.2.2 刚度矩阵

7.2.3 等效结点力

7.2.4 内力矩的计算

7.3 三角形薄板单元

7.3.1 位移模式

7.3.2 刚度矩阵

7.3.3 等效结点力

7.4 基于Mindlin板理论的四边形单元

7.4.1 位移模式

7.4.2 应变、应力和单元刚度矩阵

7.4.3 等效结点力

7.5 平面壳体单元

7.5.1 局部坐标系中的单元刚度矩阵

7.5.2 坐标转换

7.5.3 局部坐标的方向余弦

7.6 算例

7.6.1 均布载荷作用下的矩形板

7.6.2 均布载荷作用下的斜板

参考文献

第8章结构的振动、稳定和动力响应

8.1 动力学方程

8.2 质量矩阵

8.2.1 平面梁单元的质量矩阵

8.2.2 空间梁单元的质量矩阵

8.2.3 平面三角形常应变单元的质量矩阵

8.3 结构的自由振动

8.3.1 特征值与特征向量

8.3.2 矩阵特征值算法

8.4 结构的稳定

8.4.1 杆的稳定

8.4.2 板的稳定

8.5 结构的动力响应

8.5.1 振型叠加法

8.5.2 逐步积分法

8.6 算例

8.6.1 两铰抛物线拱的面内自由振动

8.6.2 抛物线拱的时程响应分析

参考文献

结构分析的有限元法与 MATLAB 程序设计徐荣桥编著（浙江大学建筑工程学院）

内容简介本书以有限单元基本理论为重点，以 MATLAB 程序为平台，以工程实例为背景，介绍了有限元法及其程序设计方法。本书讲述结构分析中有限元法的基本原理，单元类型包括平面杆系，空间杆系，平面等参元，空间等参元，薄板壳单元和厚板壳单元等。内容涉及杆系结构、平面问题、空间问题和板壳问题。以结构线弹性静力分析为主，同时也讲述了结构的振动、稳定和动力响应分析。本书介绍了 MATLAB 编程环境下编写有限元程序的方法和技巧，并附有若干算例的有限元程序。还有若干推导有限元列式的 MATLAB 符号运算程序示例。这些都为读者深入理解有限元理论和掌握其实施技巧提供了极好的手段。本书可以作为高等院校土木工程专业高年级本科生或研究生有限元法结构分析的教材，也适合于其他如工程力学、机械工程等相关专业的科研人员在学习和研究工作中参考。

前言有限元法经过半个世纪的发展，在理论和实践上均取得了引人瞩目的成就，事实上它已经发展成为工程领域中一门不可或缺的技术，同时也是科技工作者进行科学研究的有力工具。因此，有限元法逐渐成为高等院校理工科专业的必修课程。本书是编者在为浙江大学桥梁与隧道专业硕士生所讲授的《结构分析的有限元法》课程讲义的基础上编写而成。本书的一大特色是采用 MATLAB 作为编程平台，利用 MATLAB 强大的科学计算和符号运算功能，帮助读者轻松跨越繁琐的公式推导和复杂的编程技巧，获得最佳的学习效率。在写作上，采用理论和程序紧密结合的方法，以增加读者的感性认识，更好地理解有限元理论。不仅每章后面有极强工程背景的数值算例和源程序，而且还在有限元理论的叙述过程中，插入相应的 MATLAB 程序段以帮助理解。本书的内容共分八章，前面两章主要讲述有限元和 MATLAB 的发展概况及其基础知识。第 3 章介绍了在工程中有极大应用价值的杆系结构的各类单元，包括杆单元、平面和空间梁单元。第 4 章讲述经典的平面问题三角形单元和四边形单元。第 5 章把第四章的平面单元推广到空间单元，还讨论了空间轴对称单元。第 6 章介绍了应用最广的平面和空间等参数单元以及轴对称等参数单元。第 7 章在简要介绍板理论的基础上，讨论了三角形和矩形薄板单元，也给出了基于 Mindlin 板理论的四变形板单元。最后介绍了用平板单元和平面应力单元组合而成的壳单元。第 8 章讲述了结构的动力和稳定问题，并介绍了几种常用的特征值问题和动力响应问题的算法。在写作过程中，本书得到了浙江大学丁皓江教授和徐兴教授的大力指导，详细审阅了初稿，指出并修改了若干错误，在此表示衷心的感谢。亦得到了浙江大学项贻强教授、陈伟球教授、叶贵如教授、蔡金标副教授、赵阳讲师和张治成博士的大力指导和帮助。我要特别感谢我的家人，感谢他们在我写作此书时所做的牺牲。由于编者水平有限，时间仓卒，书中难免有许多缺点甚至错误，热情欢迎专家和读者批评指正。徐荣桥 2005 年 12 月

目录第一章绪论-------------------------------------------------------------1 1.1 有限元法简介--------------------------------------------------------------------------2 1.2 MATLAB 简介-----------------------------------------------------------------------------3 参考文献--------------------------------------------------------------------------------5 第二章有限元法的预备知识-----------------------------------------------7 2.1 矩阵、线性代数和 MATLAB------------------------------------------------------------------7 2.2 MATLAB 程序设计初步------------------------------------------------------------21 2.3 弹性力学的控制方程和最小势能原理---------------------------------------------------24 2.4 有限元法分析过程概述-----------------------------------------------------------26 参考文献-----------------------------------------------------------------------------------28 第三章杆件系统的有限单元法--------------------------------------------30 3.1 杆单元------------------------------------------------------------------------------------30 3.2 平面梁单元------------------------------------------------------------------------------32 3.3 空间梁单元-------------------------------------------------------------------------------36 3.4 等效结点力------------------------------------------------------------------------------40 3.5 单元刚度矩阵的坐标变换--------------------------------------------------------46 3.6 整体刚度矩阵----------------------------------------------------------------------53 3.7 边界约束条件的处理------------------------------------------------------------56 3.8 温度应力--------------------------------------------------------------------61 3.9 算例--------------------------------------------------------------------------63 参考文献---------------------------------------------------------------------------69 第四章平面问题-------------------------------------------------------------70 4.1 两类平面问题 -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- - -- -- - -- -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -70 4.2 三角形常应变单元------------------------------------------------------------72 4.3 形函数和面积坐标的性质-------------------------------------------------------76 4.4 单元刚度矩阵----------------------------------------------------------------80 4.5 等效结点力----------------------------------------------------------------82 4.6 矩形单元-----------------------------------------------------------------87 4.7 其他注意事项----------------------------------------------------------------------93 4.8 算例----------------------------------------------------------------------------------96 参考文献---------------------------------------------------------------------------101 第五章空间问题和空间轴对称问题-----------------------------------103 5.1 常应变四面体单元--------------------------------------------------------103 5.2 四面体的体积坐标--------------------------------------------------------106 5.3 四面体单元的刚度矩阵和等效结点力----------------------------------------------108 5.4 空间轴对称问题与三角形截面环单元----------------------------------------------112 I

5.5 轴对称单元的刚度矩阵和等效结点力----------------------------------------------115 5.6 算例--------------------------------------------------------------------------------------120 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------124 第六章等参数单元-------------------------------------------------------125 6.1 平面等参数单元------------------------------------------------------------------125 6.2 空间轴对称等参数单元--------------------------------------------------------140 6.2 空间等参数单元--------------------------------------------------------143 6.3 算例--------------------------------------------------------------------155 参考文献-----------------------------------------------------------------------160 第七章板壳单元-------------------------------------------------------------161 7.1 弹性板的弯曲-----------------------------------------------------------------161 7.2 矩形薄板单元---------------------------------------------------------------164 7.3 三角形薄板单元---------------------------------------------------------------170 7.4 基于 Mindlin 板理论的四边形单元-------------------------------------------------178 7.5 平面壳体单元-------------------------------------------------------------------------------181 7.6 算例---------------------------------------------------------------------------------185 参考文献------------------------------------------------------------------------------------188 第八章结构的振动、稳定和动力响应-----------------------------------189 8.1 动力学方程----------------------------------------------------------------189 8.2 质量矩阵------------------------------------------------------------------191 8.3 结构的自由振动----------------------------------------------------------------------194 8.4 结构的稳定-----------------------------------------------------------------------202 8.5 结构的动力响应-----------------------------------------------------------------------205 8.6 算例--------------------------------------------------------------------------------213 参考文献--------------------------------------------------------------------------------215 II

第一章绪论许多工程问题，我们虽然已经得到了他们的基本方程和边界条件及初始条件，但是能用解析方法求解的只是少数方程简单、边界规则的问题，而绝大多数只能通过其他途径解决。随着计算机硬件和软件的发展，数值方法越来越受到人们的青睐，其中有限元法以其方法的统一性和理论的普遍性而独领风骚，已经成为处理各类科学和工程问题的有效方法之一，亦有众多的有限元商用软件流行，如 ANSYS，NASTRAN，ADINA，ABAQUS 等，它们包含众多单元类型，能求解各类问题。有限元法的基本思想是“化整为零”，其实这个思想很早就在各个领域被人们采用。老子就说“道生一，一生二，二生三，三生万物”，他把世间万物全部分解成最基本的“道”。古代数学家将圆用多边形近似，并以此估算圆周率π值，达到了 40 位数字的精度。有限元法把一个复杂的结构分解成相对简单的“单元”，各单元之间通过结点相互连接。单元内的物理量由单元结点上的物理量按一定的假设内插得到，这样就把一个复杂结构从无限多个自由度简化为有限个单元组成的结构。我们只要分析每个单元的力学特性，然后按照有限元法的规则把这些单元“拼装”成整体，就能够得到整体结构的力学特性。可见有限元“化整为零”的思想十分简单明了。但更重要的是，有限元可以建立在严格的数学基础上[1]，成为求解微分方程的标准方法之一，从而它不仅能够解决结构分析问题，也能解决工程中如电磁场、流体力学、热传导、渗流等领域的诸多问题[2]，因为它们在数学上都能用微分方程来描述。有限元法是一种数值方法，应用性很强，因此在学习的过程中，必要的程序设计、编写和调试能加深理解有限元理论，增加从实际工程出发建立有限元模型的感性认识，极大地提高学习的兴趣和效率。传统的有限元书籍，凡给出具体程序代码的[2,3,4]，基本上都是以 FORTRAN 为程序设计语言。由于一个完整的有限元计算程序，要包括模型的输入，稀疏矩阵的存储，求解，分析结果的后处理等，导致程序十分庞大难懂，尤其对于初学者。因此有的就只用一个求解单元刚度矩阵的子程序来说明程序的编写，而这样一段程序无法独立编译连接成一个可执行文件，读者就无法验证其算例获得感性认识，示例效果大大降低。本书的特色就是采用目前最流行的科学分析计算软件 MATLAB 作为编程环境。 MATLAB 的优势在于采用矩阵作为它的基本数据类型，并提供大量实用的矩阵运算函数，可以把有限元理论中用矩阵表示的公式直接写成形式上一样的程序代码，它还有专门的极易 1

使用的大型稀疏矩阵存储和求解的功能，从而使得一个完整的有限元程序十分简洁明了，方便读者理解和验证，大大提高了示例程序的效果。目前虽也已经有采用 MATLAB 作为程序设计语言的有限元专著[5]出版，并被翻译成中文[6]。但该书以介绍 MATLAB 编写的有限元程序为主，几乎不涉及有限元理论。另一本结合 MATLAB 编写的有限元专著[7]的情况有所不同，它更倾向于把有限元作为一个求解偏微分方程的数值方法来介绍，目前还未见中译本。 1.1 有限元法简介有关有限元的起源，很多关于有限元的专著[2,3,8,9,10,11]都会提到 Hrenikoff[12]，Courant[13]， McHenry[14]，Newmark[15]，Turner et al[16]和 Clough[17]的工作。但是，我们同样也应该提到 Ritz[18]，他在 1909 年曾提出一个求解连续体力学问题的非常有用的近似方法，后人称为 Ritz 法。该方法把待求函数用一组已知的试函数的加权和来表示，通过最小势能原理可求解每个试函数的权系数。Ritz 法最基本的缺点就是每一个试函数必须满足指定的边界条件。 Courant[13]对 Ritz 法作了重要的推广，他把整个求解区域分成很多三角形的子区域，然后在子区域内假定待求函数为线性函数，把三角形顶点处的函数值作为未知数，并且把边界条件放宽，只要求在边界的有限点上满足，这样，应用 Ritz 法的一个很大的困难被克服了。更为重要的是，原先的 Ritz 法解的精度很到程度上取决于试函数的选取，这要求应用人员具有丰富的工程经验。后来人们发现，Courant[13]应用的 Ritz 法其实与若干年后由 Clough[17]提出的有限元法是一致的。当然，在 1960 年有限元获得迅速发展的原因在于该法中大量的数值运算能够由当时正发展的电子计算机来实现，而在 1943 年，还没有这个工具为 Courant[13]所用。随着计算机硬件和软件的发展，有限元迅速发展，并渐趋成熟，目前它已经被推广至三维问题，非线性问题，时变问题，甚至已经超越了结构分析领域，如流体流动，热传导和电磁场分析等。应用有限元法进行结构分析时，应把所分析结构物离散成有限个单元，并在每个单元上指定有限个结点，单元通过这些结点连接构成整个有限元模型，用来模拟所分析的实际结构。同时选定所求物理量的结点值，例如结点位移作为基本未知量。然后对每个单元假设一个简单的插值函数（称为形函数），近似地表示未知量在单元内的分布规律，再利用变分原理或其他方法，建立单元结点力和结点位移之间的关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程组，从而求解结点的位移分量。一经解出，就可以利用插值函数确定单元内任意一点的位 2

移值。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数量，解的近似程度将不断改进，最终收敛于精确解。当然，有限单元法中并不一定要求取结点位移作为基本未知量，也可以取结点内力为未知量，因而，随着所取未知量的不同，有所谓位移法、力法、杂交法和混合法之分。本书采用最为普遍的位移法，介绍结构分析中的限单元法基本理论和方法。有限元法概念浅显，容易掌握，可以在不同的水平上建立起对该法的理解，即可以通过非常直观的物理解释理解，也可以建立基于严格的数学分析的理论[1,10,19,20]。它不仅对结构物的复杂几何形状有很强的适应性，也能应用于结构物的各种物理问题，如静力问题，动力问题，非线性问题，热应力问题等。还能处理非均质材料、各向异性材料、以及复杂边界条件等难题。因而，有限元法已经被公认为工程分析的有效工具，受到普遍重视。有限元法还有一个特点是，它的理论采用矩阵形式表达。这并不利于一般的计算机语言编制计算机程序，因为传统的计算机语言处理的对象是标量，使用矩阵形式的有限元理论时，必须把矩阵形式的公式转换成标量表示的公式。而如果采用 MATLAB，这个特点就变成了有限元法的优点。这也是本书采用 MATLAB 作为编程环境的一个重要原因。 1.2 MATLAB 简介 MATLAB 是当今国际科学界最具影响力和活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学计算，灵活的程序设计流程，高质量的图形可视化与界面设计，便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB 在各国高校与研究单位起着重大的作用。 MATLAB 语言的首创者 Cleve Moler 教授在数值分析，特别是在数值线性代数的领域中很有影响，他参与编写了数值分析领域两个重要的 Fortran 程序包 EISPACK 和 LINPACK。他曾在密西根大学、斯坦福大学和新墨西哥大学任数学与计算机科学教授。1980 年前后，当时的新墨西哥大学计算机系主任 Moler 教授在讲授线性代数课程时，发现了用其他高级语言编程极为不便，便构思并开发了 MATLAB(MATrix LABoratory，即矩阵实验室)，这一软件利用了当时数值线性代数领域最高水平的 EISPACK 和 LINPACK 两大软件包中可靠的子程序，用 Fortran 语言编写了集命令翻译、科学计算于一身的一套交互式软件系统。所谓交互式语言，是指人们给出一条命令，立即就可以得出该命令的结果。该语言无需 3

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