2011年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年福建高考理科数学真题及答案一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）i 是虚数单位，若集合 S={﹣1，0，1}，则（） A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．【解答】解：∵S={﹣1.0.1}， i2=﹣1∈S，故 B 正确； ∴i∉S，故 A 错误； i3=﹣i∉S，故 C 错误； ∉S，故 D 错误；故选 B 2．（5 分）若 a∈R，则 a=2 是（a﹣1）（a﹣2）=0 的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1 或 a=2，即 a=2 不一定成立【解答】解：当 a=2 时，（a﹣1）（a﹣2）=0 成立故 a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0 为真命题故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2 为假命题故 a=2 是（a﹣1）（a﹣2）=0 的充分不必要条件故选 A 3．（5 分）若 tanα=3，则的值等于（）

A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解： = =2tanα=6 故选 D 4．（5 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于（） A． B． C． D．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为 P= ．故选 C． 5．（5 分）（ex+2x）dx 等于（） A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1 【解答】解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|0 1=e+1﹣1=e 故选 C． 6．（5 分）（1+2x）3 的展开式中，x2 的系数等于（） A．80 B．12 C．20 D．10 【解答】解：展开式的通项为 Tr+1=2rC3 rxr 令 r=2 的展开式中 x2 的系数等于 22C3 2=12 故选 B

7．（5 分）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足|PF1|：|F1F2|： |PF2|=4：3：2，则曲线 r 的离心率等于（） A． B．或 2C． 2 D．【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则 2a=|PF1|+|PF2|=6t，c= t 则 e= = ，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c= t ∴e= = 故选 A 8．（5 分）已知 O 是坐标原点，点 A（﹣1，1），若点 M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则 • 的取值范围是（） A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2] 【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当 x=1，y=1 时， • =﹣1×1+1×1=0

当 x=1，y=2 时， • =﹣1×1+1×2=1 当 x=0，y=2 时， • =﹣1×0+1×2=2 故 • 和取值范围为[0，2] 解法二： z= • =﹣x+y，即 y=x+z 当经过 P 点（0，2）时在 y 轴上的截距最大，从而 z 最大，为 2．当经过 S 点（1，1）时在 y 轴上的截距最小，从而 z 最小，为 0．故 • 和取值范围为[0，2] 故选：C 9．（5 分）对于函数 f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取 a，b，c 的一组值计算 f（1）和 f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（） A．4 和 6 B．3 和 1 C．2 和 4 D．1 和 2 【解答】解：f（1）=asin1+b+c ① f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ② ①+②得： f（1）+f（﹣1）=2c ∵c∈Z ∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选：D

10．（5 分）已知函数 f（x）=ex+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点 A，B， C，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：由于函数 f（x）=ex+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点 A，B， C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由 A 到 B 的变化率要小于由 B 到 C 的变化率．可得出角 ABC 一定是钝角故①对，②错．由于由 A 到 B 的变化率要小于由 B 到 C 的变化率，由两点间距离公式可以得出 AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选 B．二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．（4 分）运行如图所示的程序，输出的结果是 3 ．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3

故最后输出 3．故答案为：3． 12．（4 分）三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA=3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P﹣ABC 的体积等于．【解答】解：三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA=3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为： = 故答案为： 13．（4 分）盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个．若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于．【解答】解：从中随机取出 2 个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出 2 个球，所有的取法共有 C5 2=10 所取出的 2 个球颜色不同，所有的取法有 C3 1•C2 1=6 由古典概型概率公式知 P= 故答案为 14．（4 分）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC= ，点 D 在 BC 边上，∠ADC=45°，则 AD 的长度等于．【解答】解：由 A 向 BC 作垂线，垂足为 E，

∵AB=AC ∴BE= BC= ∵AB=2 ∴cosB= = ∴B=30° ∴AE=BE•tan30°=1 ∵∠ADC=45° ∴AD= = 故答案为： 15．（4 分）设 V 是全体平面向量构成的集合，若映射 f：V→R 满足：对任意向量 =（x1， y1）∈V， =（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有 f（λ +（1﹣λ））=λf（）+（1 ﹣λ）f（）则称映射 f 具有性质 P．先给出如下映射： ①f1：V→R，f1（）=x﹣y， =（x，y）∈V； ②f2：V→R，f2（）=x2+y， =（x，y）∈V； ③f3：V→R，f3（）=x+y+1， =（x，y）∈V．其中，具有性质 P 的映射的序号为 ①③ ．（写出所有具有性质 P 的映射的序号）【解答】解：，则 +（1﹣λ）y2} 对于①， =λx1+（1﹣λ）x2﹣λy1﹣（1﹣λ）y2=λ（x1﹣y1）+（1 ﹣λ）（x2﹣y2）而 =λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）满足性质 P

对于②f2（λa+（1﹣λb））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣λ）y2]，λf2（a）+（1﹣λ） f2（b）=λ（x1 2+y1）+（1﹣λ）（x2 2+y2） ∴f2（λa+（1﹣λb））≠λf2（a）+（1﹣λ）f2（b），∴映射 f2 不具备性质 P．对于③ =λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ） =λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1 （x2+y2）+1 而 ﹣λ）（x2+y2）+1 满足性质 p 故答案为：①③．三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 16．（13 分）已知等比数列{an}的公比 q=3，前 3 项和 S3= ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若函数 f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为 a3，求函数 f（x）的解析式．【考点】等比数列的通项公式；由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前 n 项和的公式及 q=3 化简 S3= ，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出 a3 的值，即可得到 A 的值，然后把代入正弦函数中得到函数值等于 1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出 f（x）的解析式．

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