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1997年海南高考文科数学真题及答案.doc
1997 年海南高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 8
页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
第Ⅰ卷(选择题共 65 分)
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共 15 小题；第(1)—(10)题每小题 4 分，第(11)—(15)题每小题 5 分，
共 65 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
新疆
王新敞
奎屯
(1) 设集合 M={x|0≤x<2}，集合 N={x|x2－2x－3<0}，集合 M∩N=
(
)
(A) {x|0≤x<1}
(C) {x|0≤x≤1}
(B) {x|0≤x<2}
(D) {x|0≤x≤2}
(2) 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x－y－2=0 平行，那么系数 a=
(
)
(A) －3
(B) －6
(C) －
3
2
(D)
2
3
(3) 函数 y=tg
1 x
2
1
3
在一个周期内的图像是
(
)
(4) 已知三棱锥 D—ABC的三个侧面与底面全等，且 AB=AC= 3 ，BC=2，则以 BC为棱，
以面 BCD与面 BCA为面的二面角的大小是
(
)
(A)
4
(B)
3
(C)
2
(D)
2
3
3
(5) 函数 y=sin(
(A)
2
－2x)+sin2x的最小正周期是
(
)
(B)π
(C) 2π
(D) 4π
(6) 满足 tg a≥ctg a的角 a的一个取值区间是
(
)
(A)
0
，
4
(B)
0
，
4
(C)
，
24
(D)
，
24
(7) 设 函 数 y=f(x) 定 义 在 实 数 集 上 ， 则 函 数 y=f(x－ 1)与 y=f(1－x) 的 图 像 关 于
(
)
(A) 直线 y=0 对称
(C) 直线 y=1 对称
(B) 直线 x=0 对称
(D) 直线 x=1 对称
(8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3，4，5 且它的八个顶点都在同一个球面上，
这个球的表面积是
(
)
(A) 20 2 π
(B) 25 2 π
(C) 50π
(D) 200π
(9) 如果直线 l将圆：x2+y2－2x－4y=0 平分，且不通过第四象限，那么 l的斜率的取
值范围是
(A) [0，2]
(B) [0，1]
(C) [0，
1
2
]
(D)
10，
2
(10) 函数 y=cos2x－3cosx+2 的最小值为
(A) 2
(B) 0
(C) －
1
4
(D) 6
(
)
(
)
(11) 椭圆 C与椭圆
x
2
3
9
y
2
2
4
1
关于直线 x+y=0 对称，椭圆 C的方程是
(
)
(A)
(C)
x
2
2
4
x
2
2
9
y
y
2
3
2
3
9
4
1
1
(B)
(D)
x
x
2
2
9
2
2
4
y
y
2
3
2
3
4
9
1
1
(12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为 6π，这个圆台的体积是 (
)
(A)
32
3
(B)
32
(C)
37
6
(D)
37
3
(13) 定义在区间(－∞，+∞)的奇函数 f(x)为增函数；偶函数 g(x)在区间
，0
的
图像与 f(x)的图像重合．设 a>b>0，给出下列不等式
(
)
① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；② f(b)－f(－a) < g(a)－g(－b)；
③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④ f(a)－f(－b)
⑤若 m α，l β，且α∥β，则 m∥l．
其中正确的命题的序号是___________
新疆 (注：把你认为正确的命题的序号都．填上)
奎屯
王新敞
三、解答题：本大题共 6 小题；共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(20)(本小题满分 10 分)
已知复数
z
1
2
3
2
i
，
2
2
2
2
i
．求复数
3 z
z
的模及辐角主值．
(21)(本小题满分 11 分)
设 Sn是等差数列{an}前 n项的和．已知 33
1 S 与 44
1 S 的等比中项为 55
1 S ， 33
1 S 的
1 S 与 44
等差中项为 1．求等差数列{an}的通项 an．
(22)(本小题满分 12 分)
甲、乙两地相距 s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c千米/时．已知
汽车每小时的运输成本
．．．．．．．．(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/
时)的平方成正比，且比例系数为 b；固定部分为 a元．
(Ⅰ)把全程运输成本
．．．．．．y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(Ⅱ)为了使全程运输成本
．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？
(23)(本小题满分 12 分)
如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F分别是 BB1、CD的中点．
(Ⅰ)证明 AD⊥D1F；
(Ⅱ)求 AE与 D1F所成的角；
(Ⅲ)证明面 AED⊥面 A1FD1；
(Ⅳ)设 AA1=2，求三棱锥 E－AA1F的体积
EV
．
FAA
1
(24)(本小题满分 12 分)
已知过原点 O的一条直线与函数 y=log8x的图像交于 A、B两点，分别过点 A、B作 y轴
的平行线与函数的 y=log2x的图像交于 C、D两点．
(Ⅰ)证明点 C、D和原点 O在同一条直线上；
(Ⅱ)当 BC平行于 x轴时，求点 A的坐标．
(25)(本小题满分 12 分)
已知圆满足：①截 y轴所得弦长为 2；②被 x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1；③
圆心到直线 l：x－2y=0 的距离为
5
5
．求该圆的方程．
1997 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考解答及评分标准
说明：
一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则．
二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题 4 分，第(11)—(15)题
每小题 5 分．满分 65 分．
(1)B
(2)B
(3)A
(4)C
(5)B
(6)C
(7)D
(8)C
(9)A
(10)B
(11)A
(12)D
(13)C
(14)C
(15)B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分．
(16)4
(17) (4，2)
(18)2－ 3
(19)①，④
注：第(19)题多填、漏填和错填均给 0 分．
三、解答题
(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行
变形的技能和运算能力．满分 10 分．
解法一：将已知复数化为复数三角形式：
z
1
2
3
2
i
cos
3
i
sin
3
，
2
2
2
2
i
cos
4
i
sin
4
=(cos
依题意有 zω+zω3
7
12
7
12
4
=(cos
=2cos
7
12
13
12
5
6
13
12
7
12
5
6
)
(cos
+isin
+cos
)+i(sin
+sin
+isin
)+(cos
+isin
)
13
12
13
12
)
5
6
．
故复数 zω+zω3 的模为 2 ，辐角主值为
解法二：zω+zω3
= zω(1+ω2)
=(
1
2
+
3
2
i)(
i)(1+i)
+
2
2
i)
2
2
1
2
= 2 (－
= 2 (cos
i+
3
2
5
6
+isin
5
6
)
(21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分
11 分．
解：设等差数列{an}的首项 a1=a，公差为 d，则通项为
an =a+(n－1)d，
前 n项和为
d
1
nn
2
，
S n
na
依题意有
1
3
1
3
S
3
S
1
5
4
S
5
2
S
3
S
4
2
1
4
1
4
其中 S5≠0．
由此可得
23
2
23
2
d
d
1
4
1
4
4
a
4
a
34
2
34
2
d
d
1
25
2
5
a
45
2
d
2
1
3
1
3
3
a
3
a
整理得
3
ad
2
a
5
5
2
2
d
0
d
2
解方程组得
d
a
0
1
由此得
an=1；
12
5
d
a
4
或 an=4－
=
32
5
12
5
－
(n－1)
12
5
n．
经验证知时 an=1，S5=5，或
an
故所求等差数列的通项为 an=1，或
时，S5=－4，均适合题意．
32
5
an
12
5
n
32
5
12
5
n
．
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综
合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分 12 分．
s
v
，全程运输成本为
解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
y=a·
s
v
+bv2·
s
v
=S(
a
v
+bv)
故所求函数及其定义域为
y = S(
a
v
+bv)，v∈
c，0
(Ⅱ)依题意知 S、a、b、v都为正数，故有
S(
a
v
+bv)≥2
S
ab
．
当且仅当
a ，即
v
bv
v
a
b
时上式中等号成立．
若
若
a ，则当
b
c
v
a
b
时，全程运输成本 y最小．
a ，当
b
c
x ，0
c
时，有
S(
a
v
+bv)－S(
a
v
因为 c－v≥0，且 a>bc2，故有
+bc)= S[(
a
c
－
a
c
)+(bv－bc)]=
S
vc
(c－v)(a－bcv)．
a－bcv≥a－bc2>0，
a
c
+bv)≥S(
所以 S(
a
v
+bc)，且仅当 v=c时等号成立．
也即当 v=c时，全程运输成本 y最小．
综上知，为使全程运输成本 y最小，当
ab 时行驶速度应为
b
c
v
ab
b
；当
ab
b
c
时行驶速度应为．
(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理
和空间想象能力．满分 12 分．
解：(Ⅰ) ∵ AC1 是正方体，
∴ AD⊥面 DC1．
又 D1F 面 DC1，
∴ AD⊥D1F．
(Ⅱ)取 AB中点 G，连结 A1G，FG．
因为 F是 CD的中点，所以 GF、AD平行且相等，又 A1D1、AD平行且相等，所以 GF、A1D1
平行且相等，故 GFD1A1 是平行四边形，
A1G∥D1F．
设 A1G与 AE相交于点 H，∠AHA1 是 AE与 D1F所成的角．
因为 E是 BB1 的中点，所以
Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，
从而∠AHA1=90º，
也即直线 AE与 D1F所成的角为直角．
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F，由(Ⅱ)知 AE⊥D1F，又 AD∩AE=A，
所以 D1F⊥面 AED．
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