2005 年湖北高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分
钟.
第 I 部分(选择题 共 60 分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.
3.考试结束,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个备选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q=
{
QbPaba
},5,2,0{
P
若
},
|
,
}6,2,1{Q
,则 P+Q 中元素的个数是
(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
2.对任意实数 a,b,c,给出下列命题:
bc
a ”是“
ac ”充要条件; ②“ 5a 是无理数”是“a 是无理数”的充
①“ b
要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是
A.1
B.2
D.4
C.3
3.已知向量 a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是
A.[-4,6]
B.[-6,4]
C.[-6,2]
D.[-2,6]
4.函数
y
e
|ln
x
|
|
x
|1
的图象大致是
(
(
)
)
(
)
5.木星的体积约是地球体积的
240
30
倍,则它的表面积约是地球表面积的
(
)
A.60 倍
B.60 30 倍
C.120 倍
D.120 30 倍
6.双曲线
2
x
m
2
y
n
则 mn 的值为
(1
mn
)0
离心率为 2,有一个焦点与抛物线
y
A.
3
16
y
B.
x
,2
y
log
,
yx
2
3
8
7 . 在
C.
16
3
2
x
,
y
cos
2
x
这 四 个 函 数 中 , 当
0
2 的焦点重合,
4
x
D.
(
)
x
2
1
时 , 使
8
3
x
1
xf
(
1
2
A.0
x
2
)
(
xf
1
)
)
2
(
xf
2
B.1
恒成立的函数的个数是
(
)
C.2
D.3
8.已知 a、b、c 是直线,是平面,给出下列命题:
①若
a
,
bb
则
c
,
//
ca
;
②若
,
bba
//
则,
c
a
c
;
③若
a
//
则
b
,
,
//
ba
;
④若 a 与 b 异面,且
a
//
与则b
,
相交;
⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直.
其中真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
(
)
D.4
9.把一排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,
)
至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是
A.168
D.144
B.96
C.72
(
10.若
A.
cos
sin
,0(
)
6
y
3
x
是
A.3
tan
0(
(
)
4
6
,
B.
2
则),
C.
,
(
)
4
3
4
(
)
D.
(
)
3
2
,
的点中,坐标为整数的点的个数
(
)
11.在函数
的图象上,其切线的倾斜角小于
8
x
B.2
C.1
D.0
12.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方
法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,
使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,
270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…,270,并将整个编号依次分为
10 段.如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
关于上述样本的下列结论中,正确的是
A.②、③都不能为系统抽样
C.①、④都可能为系统抽样
B.②、④都不能为分层抽样
D.①、③都可能为分层抽样
(
)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项:
第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在答题卡相应位置上.
13.函数
)(
xf
14.
3
(
x
15.函数
y
4
)2
x
sin|
2
x
3
x
)1
x
cos
|
(
x
x
lg
4
x
的定义域是
.
8
的展开式中整理后的常数项等于
.
x
1
的最小正周期与最大值的和为
.
16.某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35
千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元. 在满足需要的条件下,
最少要花费
元.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
已知向量
a
( 2
x
,
x
),1
b
1(
,
tx
),
若函数
)(
xf
ba
在区间(-1,1)上是增函数,
求 t 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中,已知
tan
B
,3
cos
C
1
3
,
AC
63
,求△ABC 的面积.
19.(本小题满分 12 分)
设数列 }{ na 的前 n 项和为 Sn=2n2, }{ nb 为等比数列,且
a
1
(Ⅰ)求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式;
(
abb
1
,
2
a
1
)
b
1
.
2
(Ⅱ)设
c ,求数列 }{ nc 的前 n 项和 Tn.
n
n
a
b
n
20.(本小题满分 12 分)
如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,
BC=2,CC1=3,BE=1.
(Ⅰ)求 BF 的长;
(Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.
21.(本小题满分 12 分)
某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只
与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为
p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.
(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率;
(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概
率;
(Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换 4 只灯泡的概
率(结果保留两个有效数字).
22.(本小题满分 14 分)
设 A、B 是椭圆
23
x
2
y
上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平
分线与椭圆相交于 C、D 两点.
(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线 AB 的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.(此
题不要求在答题上画图)
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分.
1.B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分.
10.C
2.B
7.B
8.A
9.D
3.C
4.D
5.C
6.A
11.D
12.D
13.
)3,2[
)4,3(
14.38
15.
2
1
2
16.500
三、解答题
17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基
本函数的性质分析和解决问题的能力.
解法 1:依定义
)(
xf
2
x
1(
x
)
(
xt
)1
x
3
2
x
tx
t
,
则
f
)(
x
3
x
2
2
x
t
.
在若
)(
xf
)1,1(
上是增函数
,
则在
)1,1(
上可设
f
)(
x
.0
f
)(
x
0
t
2
3
x
,2
x
在区间
)1,1(
上恒成立
,
考虑函数
)(
xg
2
3
x
,2
x
由于
)(
xg 的图象是对称轴为
(-1,1)上恒成立
t
g
t
.5
开口向上的抛物线,故要使
t
3 2
x
2
x
在区间
,
x
1
3
),1(
即
而当
t
,5
时
f
)(
x
在
)1,1(
上满足
f
)(
x
,0
在即
)(
xf
)1,1(
.
上是增函数
故
t的取值范围是
5t
.
解法 2:依定义
)(
xf
2
x
1(
x
)
(
xt
)1
x
3
2
x
tx
t
,
2
f
在若
)(
x
)(
xf
t
x
2
3
x
)1,1(
上是增函数
.
,
则在
)1,1(
上可设
f
)(
x
.0
f
)(x
的图象是开口向下的抛物线,
当且仅当
f
)1(
,01
t
且
f
)1(
5
t
0
时
在
)1,1(
)(
f
x
t
故
的取值范围是
上满足
t
,0
)(
f
x
.5
在即
)(
xf
)1,1(
.
上是增函数
18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角
公式进行恒等变形的技能和运算能力.
解法 1:设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b,
由
tan
B
,3
得
B
,60
sin
B
3
2
,
cos
B
1
2
.
应用正弦定理得
又
sin
C
1
cos
2
C
c
sin
b
C
sin
B
2263
3
2
22
3
,
8
.
sin
A
sin(
CB
)
sin
B
cos
C
cos
B
sin
C
故所求面积
S ABC
1
2
bc
sin
A
26
.38
解法 2:同解法一可得 c=8,又由余弦定理得,
3
2
1
3
1
2
32
3
3
6
2
3
.
2
a
2
b
2
c
2
bc
cos
.
A
而
cos
cos
B
cos
C
sin
B
sin
C
cos(
A
1
1
2
3
CB
3
2
)
22
3
6
3
1
6
22
a
38
,0
a
故所求面积
S
ABC
22
1
2
68
4
6
ac
sin
B
26
38
解法 3:同解法 1 可得 c=8.
又由余弦定理可得
2
b
2
a
2
c
2
ac
cos
B
,
即
54
2
a
64
2
a
所得
a
1
4
,6
a
2
4
.6
B
0,60
2
,
a
18
2
,90
C
30
8
a
10
.0
A
120
.
由
a
sin
A
b
sin
B
,
得
a
b
sin
B
sin
A
b
sin
B
sin
30
23
,3
1
2
63
3
2
而
a
2
4
6
,3
a
4
.6
故所求面积
S ABC
B
26
.38
,
故舍去
1
2
ac
sin
19.本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.
解:(1):当
,1
n 时
a
1
S
1
;2
当
n
,2
a
n时
S
n
S
n
1
2
2
n
(2
n
)1
2
4
n
,2
故{an}的通项公式为
a
n
4
n
}{,2
n
是即
a
a
1
,2
公差
d
4
的等差数列.
qdb
1
,
db
1
,4
q
1
4
.
}{,
即
n
b
的通项公式为
b
n
2
1
n
.
4
2
2(
n
4)1
n
1
,
设{bn}的通项公式为
故
b
n
qb
1
n
1
(II)
c
n
2
n
a
b
n
,
q 则
1
1
n
4
4
n
2
1
n
4
c
c
1
n
2
4341[
45
c
2
T
n
4
T
n
431[
3
1
2
45
2(
4)3
n
1
n
2(
2(
n
n
n
4)1
n
]4)1
1
],
两式相减得
3
T
n
4(21
1
2
4
3
4
4
n
1
)
2(
n
4)1
n
T
n
1
9
6[(
n
n
4)5
].5
1
3
6[(
n
n
4)5
]5
20.本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,同时考查空间想象能力和推理
运算能力.
解法 1:(Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD.
又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH.
∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.
BF
2
BD
DF
2
.62
(Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG,
则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG.
过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M,
由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC,且
AG 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC.在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ
的长即为 C 到平面 AEC1F 的距离.
由
EB
CC
1
BG
CG
,
可得
BG
,1
从而
AG
2
AB
2
BG
.17
由
GAB
MCG
,
知
CM
3
cos
MCG
3
cos
GAB
3
4
17
12
17
,
CQ
CM
CC
1
MC
1
3
2
3
12
17
2
12
17
4
33
11
.
解法 2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,
0,0),
C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设 F(0,0,z).
∵AEC1F 为平行四边形,
F
AEC
为平行四边形
1
),0,2(,
AF
EC
z
1
).2,0,0(
.2
F
).2,4,2(
,62|
BF
由
z
BF
于是
,
),2,0,2(
的长为
即
BF
.62
得
由
|
(II)设 1n 为平面 AEC1F 的法向量,
显然
n
不垂直于平面
1
ADF
,
故可设
n
1
,(
yx
)1,
由
n
1
n
1
AE
AF
得
,0
,0
x
y
4
01
0
2
2
0
y
x
0
即
4
y
2
,01
2
x
,0
x
,1
y
1
4
.
又
CC
1
),3,0,0(
n
与设
1
CC
1
的夹角为 a,则
cos
CC
CC
1
1
|
n
1
|
n
1
|
|
3
3
1
1
16
1
4
33
33
.
∴C 到平面 AEC1F 的距离为
d
|
CC
1
|
cos
43
33
33
4
33
11
.
21.本小题主要考查概率的基础知识和运算能力,以及运用概率的知识分析和解决实际问题
能力.
解:(I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 ,5
1p 需要更换 2 只灯泡的概
率为
3
pC
1
2
5
1(
p
1
2
;)
(II)对该盏灯来说,在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换
灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2),故所求的概率为
p
1(
2
p
1
)
p
1
1(
p
2
);
(III)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况,换 5 只的概率为 p5(其中 p 为
(II)中所求,下同)换 4 只的概率为
1
4
5 pC (1-p),故至少换 4 只灯泡的概率为
3
5
4
1
p
pC
p
5
,8.0
p
p
又当
1
2
5
6.05
6.0
p
3
2
即满
年至少需要换
1(
).
p
,3.0
p
时
4
4.0
4
只灯泡的概率为
2.0
.34.0
2
.34.0
7.08.0
6.0
22.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综
合解决问题的能力.
(I)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为
y
(
xk
,3)1
代入
23
x
2
y
,整
理得
2
(
k
)3
x
2
(2
kk
)3
x
(
k
2
)3
.0
①
设
(
(
xByxA
),
,
1
1
,
y
2
),
,
xx
则 2
1
2
是方程
①的两个不同的根,