2018年天津高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2018 年天津高考理科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：第 I 卷 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A，B互斥，那么 ( P A B  )  ( ( P A P B  ) ) . 如果事件 A，B相互独立，那么 ( P AB )  ( ( P A P B ) ) . 棱柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 V  1 3 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为 R，集合 { 0 A  x   ， {  2} B x x x 1}  ，则 IA ( Bð R )  (A){ 0 x x  1} (C){ 1 x x  2} (B){ 0 x x  1} (D){ 0 x x  2} (2)设变量 x，y满足约束条件 5, 4, 1, y x     2 x y       y x    0, y 则目标函数 3  z x  的最大值为 y 5 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D)45 (3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为 20，则输出 T的值为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4  ”是“ 3 1 | x  ”的 1 2 (4)设 x  R ，则“ | x  1 2 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 a log e 2 ， ln 2 b  ， c  log 1 3 1 2 ，则 a，b，c的大小关系为 (A) a   b c (B) b   a c (C) c   b a (D) c   a b (6)将函数 sin(2  y x   的图象向右平移 5 )  10 个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间 (C)在区间 [ 5 3   4 4 , ] [ 5 3   2 4 , ] 上单调递增 (B)在区间 3[  4 , ]  上单调递减上单调递增 (D)在区间 3[  2 ,2 ]  上单调递减

(7)已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双 0) 曲线交于 A，B两点 . 设 A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1d 和 2d ，且 d 1 d 2  ，则双曲线的方程为 6 (A) 2 x 4 2 y 12  1 (C) 2 x 3 2 y 9  1 (B) 2 x 12 2 y 4  1 (D) 2 x 9 2 y 3  1 (8)如图，在平面四边形 ABCD中，AB BC ，AD CD ， BAD  120  ， AB AD 1  . 若点 E为边 CD上的动点，则  uuur uur AE BE 的最小值为 (A) 21 16 (B) 3 2 (C) 25 16 (D) 3 第Ⅱ卷注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) i 是虚数单位，复数 6 7i  1 2i   . (10)在 ( x  1 2 x 5 ) 的展开式中， 2x 的系数为. (11) 已知正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中

心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M EFGH  的体积为. (12)已知圆 2 x  2 y  2 x  的圆心为 C，直线 0 B两点，则 ABC△ 的面积为.      x 1    y 3   2 2 2 2 t , t (t 为参数)与该圆相交于 A， (13)已知 ,a bR ，且 3 b a   ，则 6 0 a 2 1 b 的最小值为. 8 (14)已知 0 a  ，函数 ( ) f x     x  2 x 2 ax a   2 2 ax   , x 2 , a x   0, 0. 互异的实数解，则 a 的取值范围是. 若关于 x 的方程 ( ) f x ax 恰有 2 个三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分）在 ABC△ 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 sin b A a  cos( B   6 ) . （I）求角 B的大小；（II）设 a=2，c=3，求 b和sin(2 A B 的值. ) (16)(本小题满分 13 分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.

（i）用 X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X的分布列与数学期望；（ii）设 A为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A发生的概率. (17)(本小题满分 13 分) 如图， AD BC∥ 且 AD=2BC， AD CD , EG AD∥ 且 EG=AD， CD FG∥ 且 CD=2FG， DG  平面 ABCD ，DA=DC=DG=2. （I）若 M为 CF的中点，N为 EG的中点，求证： MN ∥平面 CDE ；（II）求二面角 E BC F  的正弦值；  （III）若点 P在线段 DG上，且直线 BP与平面 ADGE所成的角为 60°，求线段 DP的长. (18)(本小题满分 13 分) 设{ }na 是等比数列，公比大于 0，其前 n项和为 ( nS n N ，{ }nb 是等差数列. 已知 ) 1 1 a  ， 3 a a 2 a  ， 4 2  b 3 b a  ， 5 5  b 4  62 b . （I）求{ }na 和{ }nb 的通项公式；（II）设数列{ }nS 的前 n 项和为 ( nT n  N ， ) （i）求 nT ；（ii）证明 n  k 1  ( b T  k k  1)( ( k k  ) b 2 k 2)   2 n n   2 2  2( n   N . ) (19)(本小题满分 14 分) 设椭圆 2 2 x a  2 2 x b  (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 1 5 3 ，点 A

的坐标为 ( ,0)b ，且 FB AB  6 2 . （I）求椭圆的方程；（II）设直线 l： y  ( kx k  与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l与直线 AB交于点 0) Q. 若 AQ PQ  5 2 sin 4  AOQ (O为原点)，求 k的值. (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 ( ) f x x a ， ( ) g x  log a x ，其中 a>1. （I）求函数 ( ) h x  ( ) f x  x ln a 的单调区间；（II）若曲线 y  ( ) f x 在点 1 ( x f x 处的切线与曲线 )) ( , 1 y  ( ) g x 在点 2 ( x g x 处的 )) ( , 2 x 切线平行，证明 1  ( g x 2 )   a 2ln ln a ln ；（III）证明当 1 ee a  时，存在直线 l，使 l是曲线 y  ( ) f x 的切线，也是曲线 y  ( ) g x 的切线.

参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分．（1）B （5）D （2）C （6）A （3）B （7）C （4）A （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分．（9）4–i （12） 1 2 三、解答题（10） 5 2 （13） 1 4 （11） 1 12 （14） (4 8)，（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分．（ Ⅰ ）解：在 △ ABC 中，由正弦定理 b sin B  A ，可得 sin b A a  sin B ，又由 b sin A a  cos( B  ，得 ) π 6 a sin B a  cos( B  ，即 sin B  cos( B  ，可得 tan ) π 6 B  ．又 3 因为 (0 B  ，，可得 B= π 3 π) ．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= π 3 ，有 2 b  2 a  2 c  2 ac cos B  ， 7 故 b= 7 ．由 b sin A a  cos( B  ，可得 ) π 6 sin A  3 7 ．因为 a

所以，随机变量 X的分布列为 X P 0 1 35 1 12 35 2 18 35 3 4 35 随机变量 X的数学期望 E X   0 ( ) 1 35 1   12 35   2 18 35 3   4 35  ． 12 7 （ii）解：设事件 B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=B∪C，且 B与 C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(B∪ C)=P(X=2)+P(X=1)= 6 7 ．所以，事件 A发生的概率为 6 7 ．（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分．依题意，可以建立以 D为原点，分别以 DA   ， DC  ， DG 的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0）， C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0， 3 2 ，1），N（1， 0，2）．  （Ⅰ）证明：依题意 DC =（0，2，0）， DE  =（2，0，2）．设 n0=(x，y，z)为平面 CDE n 的法向量，则 0 n 0      DC  DE     0 ， 0 ，即 2 2 y x      0 ， 2 z  0  不妨令 z=–1，可得 n0=（1，0，–1）．又 MN ， =

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