2007年吉林高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年吉林高考理科数学真题及答案注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4．非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P A B 如果事件 A B，相互独立，那么 ( P A B  ( ( P A P B ) ( P A ( P B     ) ) ) ) )  球的表面积公式 2  4π R S 其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V  n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) P k n n  ，，，…， 0 1 2 C p (1 n k    p k k n ) ( ) k 3 4 π R 3 其中 R 表示球的半径一、选择题 1．sin 210  （） A． 3 2 B．  3 2 C． 1 2 D．  1 2 2．函数 y  sin x 的一个单调增区间是（） A．           ， B． 3．设复数 z 满足 A． 2 i      3   ，     1 2i  i z B． 2 i   C．      ，   D． 3 2  ，      ，则 z  （） C． 2 i D． 2 i

4．下列四个数中最大的是（） A． (ln 2) 2 B．ln(ln 2) C．ln 2 D．ln 2 5．在 ABC△ A． 2 3 6．不等式 x 2 x 1  4  中，已知 D 是 AB 边上一点，若 1 3 1 3 B． C．   0 的解集是（）  CA   CB 1 3 ，则（）  AD   DB CD ，   2 D．  2 3 A．( 2 1) ， B．(2 ) ， C．( 2 1) ，， (2    ) D．(   ， 2) (1   ， ) 7．已知正三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的侧棱长与底面边长相等，则 1AB 与侧面 ACC A 所成角的 1 1 正弦值等于（） A． 6 4 B． 10 4 C． 2 2 D． 3 2 8．已知曲线 y  2 x 4  3ln x 的一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标为（） A．3 B．2 C．1 D． 1 2 ( ) f x 9．把函数 ex y  的图像按向量 (2 3)  ，a 平移，得到 y  的图像，则 ( ) f x  （） A． 3e x  2 B． 3e x  2 C． 2e x  3 D． 2e x  3 10．从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ A．40 种 C．100 种 D．120 种 B．60 种） 11．设 1 F F，分别是双曲线 2 2 2 x a  的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 1 F AF 2 2 2 y b AF 且 1  3 AF 2 ，则双曲线的离心率为（） A． 5 2 B． 10 2 C． 15 2 D． 5 12．设 F 为抛物线 2 y  FC  则 FA  FB     x 的焦点， A B C，，为该抛物线上三点，若 FA FB FC   4   （） A．9 B．6 C．4 D．3 第Ⅱ卷（非选择题）本卷共 10 题，共 90 分   90  0 ，

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 2 (1 2 )x   x   8 1 x    的展开式中常数项为．（用数字作答） 14．在某项测量中，测量结果服从正态分布 N   (1 ， )( 2 0) ．若在 (0 1)，内取值的概率为 0.4，则在 (0 2)，内取值的概率为． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2 ． 16．已知数列的通项 na   5 n  ，其前 n 项和为 nS ，则 2 S lim n 2 n n →  ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）在 ABC△ 中，已知内角 A    ，边 BC  2 3 ．设内角 B x ，周长为 y ． y  （1）求函数的解析式和定义域； ( ) f x （2）求 y 的最大值． 18．（本小题满分 12 分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； ) 0.96 P A  ．（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求的分布列．  19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD ⊥底面 ABCD E F，，分别为 AB SC，的中点．（1）证明 EF ∥平面 SAD ；（2）设，求二面角 A EF D  的大小． DC SD 2   S D F C 20．（本小题满分 12 分） A E B 在直角坐标系 xOy 中，以O 为圆心的圆与直线（1）求圆O 的方程； x  3 y  相切． 4

（2）圆 O 与 x 轴相交于 A B，两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB   PA PB  的取值范围．，，成等比数列，求 21．（本小题满分 12 分）设数列{ }na 的首项 a 1  (0 1) a ，，  n 3 a  1 n 2 （1）求{ }na 的通项公式；，，，，…． 2 3 4  n （2）设 b n  a n 3 2 a  n ，证明 b n 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  3 x  ． x b  ，其中 n 为正整数． n 1 （1）求曲线 y  ( ) f x 在点 ( M t t， ( )) f 处的切线方程；（2）设 0 a  ，如果过点 ( a b，可作曲线 ) y  ( ) f x 的三条切线，证明： a b    ( ) f a ．参考答案评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题 1．D 7．A 二、填空题 5．A 11．B 6．C 12．B 4．D 10．B 2．C 8．A 3．C 9．C 13． 42 14． 0.8 15． 2 4 2  16．  5 2 三、解答题 17．解：（1） ABC△ 的内角和 A B C     ，由 A  应用正弦定理，知   B ，  0 C ，  0 得 0 B   2   ．

AC  BC sin A sin B  2 3  sin  sin x  4sin x ， AB  BC sin A sin C  4sin 2     x    ．因为 y AB BC AC    ，所以 y  4sin x  4sin 2      x      2 3 0     x 2  3    ，（2）因为 y   4 sin    x    cos x  1 2 sin x      2 3  4 3 sin x          ，即 x  所以，当 x          2 3         x   5      ，时， y 取得最大值 6 3 ． 18．解：（1）记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”． A A，互斥，且则 0 1 A A 0   ，故 A 1 ( ) P A  ( P A 0  A 1 ) ) ( P A 1 1 p  2 ( ) P A   0 2 (1 ) C (1 p   2 1 p    p ) 于是 0.96 1 p   ． 2 p 解得 1  0.2  ， p 2 0.2 （舍去）．（2）的可能取值为 0 1 2，，．若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有100 0.2   件，故 20 ( P  0)  2 C 80 2 C 100  316 495 ． ( P  1)  1 1 C C 80 20 2 C 100  160 495 ．

( P  2)  2 C 20 2 C 100  19 495 ．所以的分布列为  P 0 316 495 1 160 495 2 19 495 19．解法一：（1）作 FG DC∥ 交 SD 于点G ，则G 为 SD 的中点．连结 AG FG ∥， CD ，又CD AB ∥ ， 1 2  2 SD ∥ ， 4 ， DG 为平行四边形．平面 SAD ． DC  ，则 AG∥ ，又 AG  平面 SAD EF ，故 FG AE AEFG EF 所以 EF ∥平面 SAD ．（2）不妨设腰直角三角形．取 AG 中点 H ，连结 DH ，则 DH 又 AB ⊥ 平面 SAD ，所以 AB DH⊥ ，而 AB AG A 所以 DH ⊥面 AEF ．取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM EF⊥ ．连结 DM ，则 DM EF⊥ ．故 DMH 为二面角 A EF D  的平面角 AG⊥ ． ADG 2 ，△    为等 tan  DMH  DH HM  2 1  ． 2 所以二面角 A EF D  的大小为 arctan 2 ．  解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 D xyz ．设 ( 0 0) ，，，，，，则 ( (0 0 A a B a a S b ) 0) ，，，，，， C (0 a 0)  E a   a ，，，，，， 2 a b 2 2 F          0 0  EF a    0 ，，． b 2    取 SD 的中点 0 0 ，，，则 G    b 2     AG a    0 ，，． b 2    S H D F G M C ， A E B z S F G M D E B A x C y A   EF AG EF  ， ∥ ， AG AG  平面 SAD EF ，平面 SAD ，

所以 EF ∥平面 SAD ．（2）不妨设 (1 0 0) A ，，，则 B (11 0) ，，，，，，，，，，，，，，． (0 0 2) (0 1 0) C E F 0 0 1 S  1   1 2       1 2    EF 中点 M    1 1 1 ，，， 2 2 2     MD      1 2  EF  ，，，    ( 1 0 1) ，，，   MD EF   0 ， ⊥ MD EF 1 2 1 2    又  EA  0   ，，，  1 2 0   EA EF   0 ， ⊥ ， EA EF     和 EA  所以向量 MD 的夹角等于二面角 A EF D  的平面角．    MD EA ，  cos    MD EA   MD EA    3 3 ．所以二面角 A EF D  的大小为  arccos 3 3 ． 20．解：（1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点O 到直线 x  3 y  的距离， 4 即 r  4 1 3   2 ．得圆O 的方程为 2 x 2 y  ． 4 ( 0) A x （2）不妨设 1 x ，，，， 1 ( B x 0) 2 x 2 ( 2 0) A  ，，，． (2 0) B ．由 2 x  即得 4 设 ( P x y，，由 PA PO PB ，，成等比数列，得 ) ( x  2 2)  2 y  ( x  2 2)  2 y  2 x  2 y ， 2 即 2 x y   PA PB   ． 2     ( 2 x ， ) (2 y x   ， y ) 2   2 x 2( 4 y   2 1). y  由于点 P 在圆 O 内，故 2 2     x x   2 2 y y   4 ， 2. 由此得 2 1 y  ．

  所以 PA PB  的取值范围为[ 2 0)  ，． 21．解：（1）由 ，，，，…， 2 3 4 n }na 是首项为 1 a ，公比为 1  的等比数列，得 1 2 n 3 a  a  1 n 2 1 2  ，所以{1   (1 1 0  a n 整理得又 1 a 1  a  1 n ) ． na 1 (1    a 1 ) n 1     1 2    （2）方法一：由（1）可知 0 na 那么， 2 b   1n 2 b n  ，故 3 2 nb  ． 0 )  a 1  3 2   2 (3 2 )  n n 3 a  2 a     n a 2 n (3 2 ) n  a    n  2 (3 2 a a 1 n n  2 3 a        2    9 a a ( 4  n n 2 1) . 又由（1）知 na  且 0 na  ，故 2 b n 1   1 2 b n  ， 0  ，为正整数． b n n 1 因此 b n 方法二： 3 2 由（1）可知 a  因为 1 n  3 a n  n ，  0 a  2 ， a n 1 ，所以 b n 1   a n 1  3 2 a  n 1   (3  ) a n 2 a n ．由 na  可得 1 a n (3 2 ) n  a 3 3 a    2  n    ，即 a 2 n (3 2 ) n  a 2 3 a    2  n    a  n 两边开平方得 a n 3 2  a n  3 a  2 n  a n ．即 b n  ，为正整数． b n n 1

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