2016上海高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2016 上海高考文科数学真题及答案考生注意： 1．本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1．设 xR ，则不等式 3 1 x   的解集为_______. 2．设 z  3 2i  i ，其中i 为虚数单位，则 z 的虚部等于______. 3．已知平行直线 1 2 x ： l y   1 0 ， 2 2 x ： l y   1 0 ，则 1l 与 2l 的距离是_____. 4．某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______ （米）. 5．若函数 ( ) f x  4sin x a  cos x 的最大值为 5，则常数 a  ______. 6．已知点（3,9）在函数 ( ) 1 f x   的图像上，则 ( ) f x 的反函数 1( ) x a f x =______. 7．若 ,x y 满足 0, x    0, y    y x  1, 则 2x y 的最大值为_______. 8．方程3sin 1 cos2   x 在区间 0,2 上的解为_____.  x 2 x )n ( 9．在 3 x  的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于____. 10．已知△ABC的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12. 如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 y = 1 是 . uuur uur - 上一个动点，则 OP BA× x 2 的取值范围

13.设 a>0,b>0. 若关于 x,y的方程组 ax y ì + ïïí by x ï + ïî = = 1, 1 无解，则 a b+ 的取值范围是 . 14.无穷数列{an}由 k个不同的数组成，Sn为{an}的前 n项和.若对任意的 n Î N ， * nS Î ，则 k的最大值 {2 3} 为 . 二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.设 a Î R ,则“a>1”是“a2>1”的（） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 16.如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E、F分别为 BC、BB1 的中点，则下列直线中与直线 EF相交的是（） (A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1 17.设 a Î R ， [0,2π] b Î .若对任意实数 x都有 sin(3 x - π 3 )=sin( ax 数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 + ，则满足条件的有序实数对(a,b)的对 b ) 18.设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为 R 的三个函数.对于命题：①若 f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x) 均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若 f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以 T为周期的函数，则 f(x)、g(x)、h(x) 均是以 T为周期的函数，下列判断正确的是（） (A)①和②均为真命题 (B) ①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 5  6 ，  1 1A B 长为  3 ，其中 B1 与 C在平面 AA1O1O的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线 O1B1 与 OC所成的角的大小. 20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域 S1 和 S2，其中 S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到 F点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点 O为 EF的中点，点 F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线 C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的“经验值”为 8 3 .设 M是 C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH为一边、另有一边过点 M的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”. 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 双曲线 2 x  2 2 y b  1( b  的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l过 F2 且与双曲线交于 A、B两点. 0) （1）若 l的倾斜角为  2 ， 1F AB△ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b  3, 若 l的斜率存在，且|AB|=4，求 l的斜率.

22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 对于无穷数列{ na }与{ nb }，记 A={ x | x = a ， *Nn  }，B={ x | x = nb ， *Nn  }，若同时满足条件： ①{ na }，{ nb }均单调递增；② A B   且 A B  *N ，则称{ na }与{ nb }是无穷互补数列. （1）若 na = 2 1n  ， nb = 4 2n  ，判断{ na }与{ nb }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若 na = 2n 且{ na }与{ nb }是无穷互补数列，求数列{ nb }的前 16 项的和；（3）若{ na }与{ nb }是无穷互补数列，{ na }为等差数列且 16a =36，求{ na }与{ nb }得通项公式. 23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分已知 a  R，函数 ( ) f x = log ( 2 1 x  )a . （1）当 1a  时，解不等式 ( ) f x >1；（2）若关于 x 的方程 ( ) f x + log ( 2 2 )x =0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值；（3）设 a >0，若对任意t  1[ 2 ,1] 的取值范围. ，函数 ( ) f x 在区间[ , t t  上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 1] 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. )4,2( 3 52 5 76.1 3

)1 x ( 6. 7. log2 2 5,  6 6 9. 112 8. 10. 37 3    12. 11. 1, 2 1 6   13. 2, 14. 4 15.A 16.D 17.B 18.D 19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长 1l  ，底面半径 1r  ．圆柱的体积 V 圆柱的侧面积  S 2 r l    1     ，  1 1 2    ． 2 1 2  2 rl  （2）设过点 1 的母线与下底面交于点  ，则 1    ， 1// 所以 C  或其补角为 1 ，可知由   1  长为 1 3 5  6 由 C 长为 1  与 C 所成的角．  3       ， 1 1 1 5C  6 所以异面直线 1 1  与 C 所成的角的大小为  2 ．，可知   ， C        ， C  2 20.解：（1）因为 C 上的点到直线  与到点 F 的距离相等，所以 C 是以 F 为焦点、以  为准线的抛物线在正方形 FG  内的部分，其方程为 2 y y  ）． x （ 0 4 2

（2）依题意，点  的坐标为 1 ,1 4       ．所求的矩形面积为 5 2 ，而所求的五边形面积为 11 4 ．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 5 2  8 3  ，而五边形面积与“经验值”之差 1 6 的绝对值为 11 8  3 4  ，所以五边形面积更接近于 1S 面积的“经验值”． 1 12 21.解：（1）设   ,x y   ．由题意，  2F ,0c ，  c  1 2  ， b y 2    2 b c 2  1   ， b 4 因为 1F  是等边三角形，所以 2 即  4 1  ，解得 2 b  ． 2 3 b 2  b 4 c  3 y ，故双曲线的渐近线方程为 y   2 x ．（2）由已知，  2F 2,0 ．  设   ,x y 1 1  ，   ,x y 2 2  ，直线 :l y   k x 2  ．由 2  x      y  2 y 3  k x ，得 2 k  3  2 x  4 2 k x  4 k 2   ． 3 0  1  2  因为l 与双曲线交于两点，所以 2 3 0 k   ，且   由 x 1  x 2  4 2 k 2 k  3 ， x x 1 2  2 4 k 2 k 3  3  ，得 x 1  x 2 2  故    x 1  x 2 2    y 1  y 2 2   1  k 2 x 1  x 2 k 2 k 2    36 1   36  k  6 k 2 k  0  ．  ， 2 1   2 3  1  3  2  4 ，解得 2 k  ，故l 的斜率为 3 5  15 5 ． 22.解：（1）因为 4  ， 4 ，所以 4   ，从而 na 与 nb 不是无穷互补数列．（2）因为 4 a  ，所以 16 16 b  16 4   ． 20

数列 nb 的前16 项的和为 1 20 20  2 180 2 2      5  ． 1 2     20    2 2  2  3 2  4 2  （3）设 na 的公差为 d ， d   ，则 16 a  1 15 a d   ． 36 a 由 1  36 15 d   ，得 1d  或 2 ． 1 若 1d  ，则 1 a  ， 21 na n  ，与“ na 与 nb 是无穷互补数列”矛盾； 20 若 d  ，则 1 2 a  ， 6 na 2 n  ， 4 b n     5 , n n  5, 2 n n  ．  5 综上， na 2 n  ， 4 b n     5 , n n  5, 2 n n  ．  5 log 23.解：（1）由 2    1 x  1    1 解得  x  0,1 ．，得 1 1 2   ， x （2） log 2    1 x  a    log 2  2 x  0 有且仅有一解，等价于    1 x  a x   2  1 有且仅有一解，等价于 2 ax x   有且仅有一解． 1 0 当 0a  时， 1x  ，符合题意；当 0a  时， 1 4     ， 0a a   ． 1 4 综上， 0a  或  ． 1 4 （3）当 0  x 1  时， x 2 1 x 1   a 1 x 2 log  ， 2 a    1 x 1  a     log 2    1 x 2  a    ，所以   f x 在 0,  上单调递减．  函数   f x 在区间 t t  上的最大值与最小值分别为   , t ，  f f  1 t  ． 1 f   t  f  t   1  log 2    1 t  a     log 2    t 1  1  a     1 即 2 at   a   1 t 1 0   ，对任意 t     1 ,1   2  成立．

因为 0a  ，所以函数 y  2 at   a   1 t  在区间 1 ,1  1  2     上单调递增， 1 2 t  时， y a   ，得 0 a  ． 2 3 有最小值 3 4 a  ，由 1 2 故 a 的取值范围为 2 , 3   3 4    1 2 ．

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