2008年江苏高考数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年江苏高考数学真题及答案本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式: 样本数据 1x , 2x , , nx 的标准差 s  1 n     x 1  x 2    x 2  x 2      x  x n 2     其中 x 为样本平均数柱体体积公式 V Sh 其中 S 为底面积， h 为高锥体体积公式 V  Sh 1 3 其中 S 为底面积， h 为高球的表面积、体积公式 S 2 ， 4 R 4 3 其中 R 为球的半径 V R 3 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1.  f x   cos  x       6  的最小正周期为  5 ，其中 0 ，则= ▲ ． 2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ▲ ． 3. 1 1   i i 表示为 a bi  ,a b R ，则 a b  =  ▲ ． 4.A=  x x  21   3 x  7  ，则 A  Z 的元素的个数 ▲ ．  5. a  ，b 的夹角为120 ，  a  1 ，  b  3   则 5a b  ▲ ． 6.在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落入 E 中的

概率是 ▲ ． 7.某地区为了解 70-80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了 50 为老人进行调查，下表是这 50 为老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（Gi）频数（人数） 1 2 3 4 5 [4，5] [5，6] [6，7] [7，8] [8，9] 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 6 10 20 10 4 频率（Fi） 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ 。 8.设直线 y  1 2 x b  是曲线 y  ln  x x  的一条切线，则实数 b＝ ▲ ． 0  9 在平面直角坐标系 xOy中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P （0，p）在线段 AO 上的一点（异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点 E、F ，某同学已正确求得 OE 的方程：    1 b 1   c  x     1 p  1 a    y  0 ，请你完成直线 OF 的方程：（ ▲ ） x     1 p  1 a    y  0 . 10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 2 8 4 7 11 12 1 5 3 9 13 6 10 14 15 ．．．．．．．按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（n ≥3）从左向右的第 3 个数为 ▲ ． 11.已知 , x y z R  ，满足 2  , x y  3 z  ，则 0 2y xz 的最小值是 ▲ ． 12.在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a b  0)的焦距为 2c，以点 O为圆心， a 为半径作圆 M，若过点 P    2 ,0a c    所作圆 M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 e =

▲ ． 13．满足条件 AB=2, AC= 2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 ▲ ．   ax 3 3 x   （x∈R），若对于任意  1 x   ，都有  1,1 f x ≥0 成立，则  14.设函数  f x 实数 a = ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy中，以 Ox轴为始边做两个锐角 ,，它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5 10 5 , ．（Ⅰ）求 tan(  )的值；（Ⅱ）求 2  的值． 16．如图，在四面体 ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点 E 、F 分别是 AB、BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线 EF ∥平面 ACD ；（Ⅱ）平面 EFC⊥平面 BCD ． 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形 ABCD 的区域上（含边界），且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 y km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=(rad)，将 y 表示成的函数关系式； ②设 OP x (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 18．设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数  f x   2 x  2 有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C．（Ⅰ）求实数 b 的取值范围； x b x R   的图象与两坐标轴  

（Ⅱ）求圆 C 的方程；（Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论． 19.（Ⅰ）设 1 , a a , 2 a 是各项均不为零的等差数列（ 4 n  ），且公差 , n d  ，若将此 0 数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当 n =4 时，求 1a d 的数值；②求 n 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数 n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 2, b b 1 , b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． , n 20.若  f 1 x   3 x p  1 ，  f 2 x    2 3 x p  2 ， x R p p  , , 1 为常数，函数 f (x)定义为：对每 2 个给定的实数 x，  f x  （Ⅰ）求  f x    x  f 1    f 1 f 2   x x   , ,   x x   f 1 f 1     x x   f 2 f 2 对所有实数 x成立的充要条件（用 1 ,p p 表示）； 2 （Ⅱ）设 ,a b 为两实数，满足 a b ，且 1 ,a b ,若  f a      f b ，求证：  f x 在  区间 ,a b 上的单调增区间的长度之和为（闭区间 ,m n 的长度定义为 n m ）． ,p p ∈ 2 b a 2

参考答案一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 【答案】10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2．【答案】 1 12 T  2   5      10 【解析】本小题考查古典概型．基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1) 共 3 个，故 P  3. 【答案】1 3 6 6   1 12 【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ 1 1   i i  2 i  1  2  i ，∴ a ＝0，b ＝1，因此 a b  1 4. 【答案】0 【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 ( x 2  1)  3 x ∵Δ＜0，∴集合 A 为  ，因此 A  Z 的元素不存在．  得 2 5 x 7 x 8 0   , 5. 【答案】7 【解析】本小题考查向量的线性运算．   a b  5 2   a b  5  2  2  a  25    a b b   2  10 = 2 25 1   10 1 3        1 2     2 3  49   ， 5a b  7 6. 【答案】  16 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此． P  21   4 4    16 7. 【答案】6.42 8. 【答案】ln2－1 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ' y （2，ln2），代入直线方程，得，所以 b＝ln2－1．  ，令 1 x 1 x 9【答案】 1 c  1 b  得 2 x  ，故切点 1 2

1 b 1 c 1   c  【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填  ．事实上，由截距式可得直线 AB： x b  y a  ，直线 CP： 1 x c  y p  ，两式相减得 1    1 b x     1 p  1 a    y  0 ，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程． 10．【答案】 2 n 6 n  2 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前 n－1 行共有正整数 1＋2＋…＋（n 个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 n n 2 ＋3 个，即为－1）个，即 2 n n 2 2 n 6 n  2 ． 11. 【答案】3 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 2  x y  3 z  得 0 y  x z 3  2 ，代入 2y xz 得 2 x  6 xz 29 z  4 xz  xz 6 6 xz  4 xz  ，当且仅当 x ＝3 z 时取“＝”． 3 12. 【答案】 2 2 【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 2 a c  2 a ，解得 e  c a  2 2 ． 13．【答案】 2 2 【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设 BC＝ x ，则 AC＝ 2x ，根据面积公式得 ABC S = AB BC  sin B x  1 cos  2 B ，根据余弦定理得 cos B  2 AB 2 BC   2 AB BC  2  4  2 2 x 2 x 4  x  4 2  4 x x ，代入上式得 1 2 AC

S ABC = x 1     4 2  4 x x 2     128   12  2  x 16 由三角形三边关系有     x 2 x x   2 2   2 x 解得 2 2 2    x 2 2 2  ，故当 2 2 x  时取得 ABC S 最大值 2 2 14. 【答案】4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝0，则不论 a 取何值，  1 3 x 立；当 x＞0 即  x   时，  f x 1  ≥0 可化为， 3 3 x  1,1 ax   a  f x ≥0 显然成   3 2 x 10, 2    设  g x   3 2 x  ，则  ' g x 1 3 x     3 1 2x  4 x ，所以  g x 在区间     上单调递增，在区间    1 ,1   2  上单调递减，因此  g x max  g    1 2     4 ，从而 a ≥4；当 x＜0 即 1,0 时，  f x   ax 3 3 x  3 1  ≥0 可化为 a  2 x  ，  ' g x 1 3 x    3 1 2x  4 x  0 g x 在区间   1,0 上单调递增，因此  g x  ma n g   1   ，从而 a ≤4，综上 a ＝4 4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由已知条件及三角函数的定义可知， cos   2 10 ,cos   2 5 5 ，因为,为锐角，所以sin= 7 2 10 ,sin  5 5 因此 tan   7, tan  （Ⅰ）tan(  )=  1 2 tan tan 1 tan tan         3 （Ⅱ） tan 2   2 tan 1 tan   2   4 3 ，所以  tan    2   tan tan 2 1 tan tan 2       1   ∵ ,为锐角，∴ 0     2  ，∴ 2  = 3  2 3  4 16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD， ∵EF  面 ACD ，AD  面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ．（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD. 又 EF  CF=F，∴BD⊥面 EFC．∵BD  面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ． 17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①延长 PO 交 AB 于点 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO=(rad) ，则 OA OB 所以 , 故     10 cos AQ cos  10 cos y OA OB OP     所求函数关系式为 y  ，又 OP＝10 10 tan  10－10ta，   10 cos   10 cos  cos   20 10sin   10 10 10 tan   ，  0        4  ②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA =OB=  10  x 2 2  10  2 x  20 x  200 所求函数关系式为 y   x 2 2 x  20 x   200 0   x 10  （Ⅱ）选择函数模型①，  ' y  10cos cos   20 10    cos 2 sin    sin     10 2sin   2 cos  1  令 'y  0 得 sin  ，因为 0 1 2  4   ，所以= ，    6     当     0,    6  时， ' y  ， y 是的减函数；当 0   6 4 ,    时， ' y  ， y 是的增函 0 时， min y  10 10 3  。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边数，所以当=  6 10 3 3 km 处。 18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．解：（Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）；令  f x x b   ，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0． 2 0   x  2

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