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2016福建高考文科数学真题及答案.doc
2016 福建高考文科数学真题及答案
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 {1,3,5,7}
A
， { | 2
B
x
，则 A B
5}
x
（ ）。
（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
【参考答案】B
【答案解析】集合 A 与集合 B 公共元素有 3，5，故
A B ， 选 B。
3 5
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
（２）设 (1 2i)(
a
的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=（ ）。
i)
（A）－3（B）－2（C）2（D）3
【参考答案】A
【答案解析】设
)(21(
iai
)21(2
ia
)
a
，由已知，得
a
212
a
，解得
3a
，选 A.
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，学.科.网余下的 2 种花
种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
1
3
（C）
（A）
（B）
1
2
【参考答案】A
【答案解析】将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中
（D）
1
3
5
6
红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为
1
3
，选 A.
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
（4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知
a ， 2c ，
5
cos
A ，则 b=（ ）。
2
3
（A） 2 （B） 3 （C）2（D）3
【参考答案】D
【答案解析】由余弦定理得
5
2
b
22
3
24
b
，解得 3b （
1b
3
舍去），选 D.
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率
1
4
为（ ）。
1
1
（B）
（A）
3
2
2
（C）
3
（D）
3
4
【参考答案】B
【 答 案 解 析 】 如 图 ， 由 题 意 得 在 椭 圆 中 ，
OF c,OB b,OD
1
4
2b
1
2
b
， 在 Rt OFB
中 ，
，故选 B.
1
2
| OF |
| OB |
| BF |
| OD |
，且 2
a
2
b
2
，代入解得 2
a
c
2
4c ，所以椭圆得离心率得：
e
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章《直线与圆》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
（6）若将函数 y=2sin (2x+
π
6
1
)的图像向右平移
4
个周期后，所得图像对应的函数为（ ）。
（A）y=2sin(2x+
【参考答案】D
π
4
) （B）y=2sin(2x+
π
3
) （C）y=2sin(2x–
π
4
) （D）y=2sin(2x–
π
3
)
【答案解析】函数 y
2sin(2x
2sin(2x
的图像向右平移
)
6
1
4
个周期即
4
个
单位，所得函数为 y
2sin[2(x
，故选 D.
)
6
)
的周期为 ，将函数 y
3
)] 2sin(2x
4
6
)
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
28π
，则它的表面积是（ ）。
3
可 得
r ， 则 此 几 何 体 的 变 面 积 应 为
个 球 面 ， 再 加 上 3 个
圆 ， 所 以 表 面 积 为
部分的球，所以体积应为
（ r ）
3
7
8
28
3
，所以
4
3
1
4
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【参考答案】A
【答案解析】由三视图可知其对应体应为一个切去了
2
7
8
2
（ r ）
4
3 (
2
r
) 17
2
，故选 A。
1
4
1
8
7
8
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章《直线与圆》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及
（8）若 a>b>0，0cb
【参考答案】B
【答案解析】对于选项 A： a
log c
1gc
lg a
,log c
b
1gc
lg b
， 0 c 1
，而 a
1gc 0
，所以 lg a
b
0
lg b
，
log a
但 不能 确定 lg a lg b、 的 正负 ，所 以 它们 的 大小 不能 确 定;对 于选 项 B： c
1ga
lg c
,log c
b
1gb
lg c
,而
lg a
lg b
，两边同乘以一个负数
1
lg c 改变不等号方向所以选项 B 正确;对于选项 C：利用
y
c
x 在第一象
限内是增函数即可得到 c
a
c
b ，所以 C 错误;对于选项 D：利用
y
x
c 在 R 上为减函数易得为错误.所以本
题选 B.
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
（9）函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
【参考答案】D
【答案解析】
函数 f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于 y 轴对称，因为
f
(2) 8
e
2
,0 8
e
2
1
，所
以排除 ,A B 选项；当
x
0,2
时，
y
4
有一零点，设为 0x ，当
x e
x
x
x
(0,
0
)
时， ( )
f x 为减函数，
当
x
0(
x
,2)
时， ( )
f x 为增函数．故选 D
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
（10）执行右面的程序框图，如果输入的 0,
x
y
n=1,则输出 ,x y 的值
1,
满足（ ）。
（A）
y
2
x
（B） 3
x
y
（C）
y
4
x
（D） 5
x
y
【参考答案】C
【 答 案 解 析 】 第 一 次 循 环 ：
x
0,
y
1,
n
x
3 ,
2
y
6,
n
，此时满足条件 2
x
3
2
y
2
， 第 二 次 循 环 ：
x
3 ,
2
，循环结束，
36
x
n
y
2,
1 ,
2
，满足
6
y
， 第 三 次 循 环 ：
3
y
x ．故选 C
4
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
（ 11 ） 平 面 过 正 文 体 ABCD — A1B1C1D1 的 顶 点 A
平面
//
CB D
1
1
,
平面
ABCD m
，
平面
ABB A n
1 1
，则 m，n 所成角的正弦值为（ ）。
（A） 3
2
（B） 2
2
（C） 3
3
（D）
1
3
【参考答案】A
【答案解析】如图所示 1
CB D ∴若平面平面
1
∵α∥平面 1
CB D ，∴若设平面 1
CB D 平面
1
1
ABCD m ，则 1m ∥m
1
又∵平面 ABCD ∥平面 1
AC B D ，结合平面 1
1B D C 平面 1
AC B D B D
1
1 1
1 1
1
1
1
∴ 1
1B D ∥ 1m ，故 1
1B D ∥ 1m
同理可得： 1CD ∥n
故 m 、 n 的所成角的大小与 1
1B D 、 1CD 所成角的大小相等，即
CD B
1 1
的大小．
而 1
B C B D CD
1
（均为面对交线），因此
1
1
CD B
1 1
，即
3
sin
CD B
1 1
．
3
2
故选 A．
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百
日冲刺班中均有涉及。
（12）若函数
( )
f x
x -
（A）
1,1 （B）
11,
3
【参考答案】C
1
3
sin 2
x a
sin
x
在
, 单调递增，则 a 的取值范围是（ ）。
（C）
1 1,
3 3
（D）
1,
1
3
【答案解析】用特殊值法：取
a ，
f x
1
x
1 sin 2
3
x
sin
x
，
f
x
21
3
cos 2
x
cos
x
，但
f
0
，不具备在
1
1
0
, 单调递增，排除 A，B，D．故选 C．
2
3
2
3
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)
题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
（13）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=___________.
【参考答案】
2
3
【答案解析】由题意，
a b
0,
x
2(
x
1) 0,
x
2
3
.
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
（14）已知θ是第四象限角，且 sin(θ+
【参考答案】
3
4
【答案解析】由题意，
π
4
)=
3
5
，则 tan(θ–
π
4
)=___________.
cos(
)
4
,
4
5
tan(
)
4
tan(
)
4
2
tan(
)
4
.
3
4
tan(
)
4
3
4
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
（15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若
，则圆 C 的面积为___________.
【参考答案】 4
【答案解析】圆
:
C x
2
2
y
2
ay
，即
2 0
:
C x
2
(
y a
)
2
2
a
，圆心为 (0, )
C a ，由|
2
AB
| 2 3,
C
到直线
y
的距离为
2
a
x
2 |
a
| 0
a
2
，所以由
| 0
2
)
(
(
2 3
2
2 |
a
a
2
2
)
2
a
得 2
a 所以圆的面
2,
2
积为 2(
a
2)
4
.
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙
材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A
的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则
在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为___________元。
【参考答案】 216000
【答案解析】如图
z
y
x
900
将 2100
z 取得最大值.
900
3
10
y
x
600
3
5
y
x
解方程组
变形，得
y
7
3
x
z
900
，平行直线
y
，当直线
x
7
3
y
7
3
x
z
900
经过点 M 时，
，得 M 的坐标 (60,100) .
所以当 60
x ， 100
y
时， max
z
2100 60 900 100
216000
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第五章《函数图像的画法及应用》中有详细讲解，在寒假
特训班、百日冲刺班中均有涉及。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分 12 分）
已知 na 是公差为 3 的等差数列，数列 nb 满足 1
b
=
b
1，
2
=
1
3
，
a b
n n
1
b
1
n
nb
n
，.
（I）求 na 的通项公式；
（II）求 nb 的前 n 项和.
【参考答案】（I）3
n （II）
1;
3
2
(1
1
3n
)
2
【答案解析】
a b
n n
a b
1 2
a
n
3
nb
n
1
nbn
a
1
b
1
1
n
b
b
1
2
1
3
n
nb
n
1
3
(1
b
n
)
b
n
1
s
n
3
2
1
n
3
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
18.（本题满分 12 分）
如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E，连接 PE
并延长交 AB 于点 G.
（I）证明 G 是 AB 的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的
体积．
【参考答案】（I）见解析；（II）
1
3
【答案解析】（I）由题意得 D 为正△ABC 中心，
∴DP⊥面 ABC
∴PD⊥AB
∵DE⊥面 PAB
∴DE⊥AB
因此：AB⊥面 PDG
∴AB⊥DG
∴G 为 AB 中点
（2）作法：在面 PAB 中过 E 作 EF∥PB，交 PA 于 F
∵PA⊥PB，PB⊥PC
∴PB⊥面 PAC
∵PB∥EF
∴EF⊥面 PAC
V
P DEF
1
3
.
.
DE S
△
PEF
1
3
.
DE PF EF
.
.
1
2
1
3
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百
日冲刺班中均有涉及。
（19）（本小题满分 12 分）
某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购
买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得下面柱状图：
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单
位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若 n =19，求 y 与 x 的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；
（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计
算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19
个还是 20 个易损零件？
【参考答案】
(1)
y
【答案解析】
500
x
3800,0
x
5700,
x
19
19
;(2)19;(3)
购买 20 个更合理.
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