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2003重庆考研数学一真题及答案.doc
2003 重庆考研数学一真题及答案
一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1)
lim(cos )
x
x
0
1
ln(1
2
x
)
(2) 曲面
z
2
x
2
y
与平面
2
x
4
y
z
0
平行的切平面的方程是
.
(3) 设
2
x
n
0
a
n
cos
nx
(
x
)
，则 2a =
.
(4) 从
2R 的基
1
1
0
,
2
1
1
到基
1
1
,
1
2
1
2
的过渡矩阵为
.
(5) 设二维随机变量 (
)X Y 的概率密度为
,
,(
yxf
)
0
,6
x
,0
,1
x
y
，
其他
则
{
YXP
}1
.
(6) 已知一批零件的长度 X (单位： cm cm)服从正态分布
(N
)1,
，从中随机地抽取 16 个
零件，得到长度的平均值为 40 ( cm )，则的置信度为 0.95 的置信区间是
.
(注：标准正态分布函数值
)96.1(
.0
,975
.1(
)645
.)95.0
二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 设函数 ( )
f x 在
(
,
)
内连续，其导函数的图形如图所示，
y
则 ( )
f x 有(
)
(A)一个极小值点和两个极大值点.
(B)两个极小值点和一个极大值点.
(C)两个极小值点和两个极大值点.
(D)三个极小值点和一个极大值点.
x
(2) 设
{
a
{},
b
}{},
n
c
n
n
均 为 非 负 数 列 ， 且
lim
a
n
n
0
,
lim
b
n
n
1
,
lim
c
n
n
, 则 必 有
(
)
(A)
a 对任意 n 成立.
n
b
n
(B)
b 对任意 n 成立.
n
c
n
(C) 极限
lim
n
ca
nn
不存在.
(D) 极限
lim
n
cb
nn
不存在.
(3) 已知函数 ( ,
f x y 在点 (0,0) 的某个邻域内连续，且
)
lim
,0
y
x
0
,(
yxf
2
(
x
)
xy
22
)
y
1
，则(
)
(A) 点(0,0) 不是 ( ,
f x y 的极值点.
)
(B) 点(0,0) 是 ( ,
f x y 的极大值点.
)
(C) 点(0,0) 是 ( ,
f x y 的极小值点.
)
(D) 根据所给条件无法判断点(0,0) 是否为 ( ,
f x y 的极值点.
)
(4) 设向量组 I：
r
,
1 可由向量组 II：
,
,
2
(A) 当 s
(C) 当 s
r 时，向量组 II 必线性相关.
r 时，向量组 I 必线性相关.
2
,
,
,
s
1 线性表示，则(
(B) 当 s
(D) 当 s
r 时，向量组 II 必线性相关.
r 时，向量组 I 必线性相关.
)
(5) 设有齐次线性方程组
Ax 和
0
Bx , 其中 ,A B 均为 nm 矩阵，现有 4 个命题：
0
Bx 的解，则秩( A ) 秩( B )；
Bx 的解；
0
Ax 的解均是
0
Bx 同解，则秩( A )=秩( B )；
Bx 同解.
Ax 与
0
0
0
0
0
Ax 与
Ax 的解均是
① 若
② 若秩( A ) 秩( B )，则
③ 若
④ 若秩( A )=秩( B )， 则
以上命题中正确的是(
)
(A) ① ②.
(C) ② ④.
0
(B) ① ③.
(D) ③ ④.
1
X
2
，则(
)
(6) 设随机变量
X
(~
)(
nnt
),1
Y
(A)
~ 2 n
)(
Y .
(B)
~ 2
Y
(
n
)1
.
(C)
Y
)1,(~
nF
.
(D)
Y
),1(~
nF
.
三 、(本题满分 10 分)
过坐标原点作曲线 ln
y
x
的切线，该切线与曲线 ln
y
x
及 x 轴围成平面图形 D .
(1) 求 D 的面积 A ;
(2) 求 D 绕直线 x
e 旋转一周所得旋转体的体积V .
四 、(本题满分 12 分)
将函数
)(
xf
arctan
21
21
x
x
展开成 x 的幂级数，并求级数
0
)1(
2
n
n
1
的和.
n
五 、(本题满分 10 分)
已知平面区域
D
,{(
yx
0)
x
0,
y
}
， L 为 D 的正向边界. 试证：
(1)
(2)
xe
L
xe
L
sin
y
dy
ye
sin
x
dx
sin
y
dy
ye
sin
x
dx
xe
L
2 2
sin
y
dy
ye
sin
x
dx
;
.
六 、(本题满分 10 分)
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的
阻 力 而 作 功 . 设 土 层 对 桩 的 阻 力 的 大 小 与 桩 被 打 进 地 下 的 深 度 成 正 比 ( 比 例 系 数 为
,
k k ).汽锤第一次击打将桩打进地下 a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作
0
的功与前一次击打时所作的功之比为常数 (0
r
r . 问
1)
(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
(注： m 表示长度单位米.)
七 、(本题满分 12 分)
设函数
y
( )
y x
)在
(
,
)
内具有二阶导数，且
y
,0
x
)(
yx
是
y
( )
y x
的反函
数.
(1) 试将
x
( )
x y
所满足的微分方程
2
xd
2
dy
(
y
sin
x
)(
dx
dy
3
)
0
变换为
y
( )
y x
满
足的微分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
y
)0(
,0
y
)0(
3
2
的解.
八 、(本题满分 12 分)
设函数 ( )
f x 连续且恒大于零，
(
xf
2
2
y
2
z
)
dv
)(
t
)(
tD
)(
tF
2
(
xf
2
)
dy
，
)(
tG
2
(
xf
2
)
dy
)(
tD
t
1
2
(
xf
)
dx
，
其中
)(
t
,{(
),
xzyx
2
2
y
2
z
t
2
}
，
)(
tD
,{(
)
xyx
2
2
y
t
2
}.
(1) 讨论 ( )F t 在区间
,0( 内的单调性.
)
(2) 证明当 0
t 时，
)(
tF
2
(
tG
).
九 、(本题满分 10 分)
设矩阵
A
223
232
322
，
P
010
101
100
，
PAPB
1
*
，求 2B
E 的特征值与特征
向量，其中 *A 为 A 的伴随矩阵， E 为 3 阶单位矩阵.
十 、(本题满分 8 分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
1 :
l ax
2
by
3
c
， 2 :
l bx
0
2
cy
3
a
试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为
l
0
cx
， 3 :
.0
cba
2
ay
3
b
0
.
十一 、(本题满分 10 分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装
有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：
(1) 乙箱中次品件数 X 的数学期望；
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分 8 分)
设总体 X 的概率密度为
)
,
2
e
(2
x
)(
xf
x
x
,
,
,0
其中
0 是未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本
ˆ
min(
XX
,
1
,
,
nX
).
2
XX
,
1
,
2
，记
nX
,
(1) 求总体 X 的分布函数 ( )F x ;
(2) 求统计量ˆ 的分布函数
)(ˆ xF
；
(3) 如果用ˆ 作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.
一、填空题
参考答案
(1)【答案】
1
e
【详解】方法 1：求
( )
lim ( )v x
u x 型极限，一般先化为指数形式
lim ( )
u x
( )
v x
lim
e
( )ln ( )
v x
u x
然后求 lim ( )ln ( )
u x ，再回到指数上去．
v x
(cos
x
)
lim
0
x
1
1ln(
2
x
)
ln cos
ln(1
x
x
2
)
ln cos
ln(1
x
x
2
)
lim
e
0
x
,
=
lim
0
x
e
而
故
lim
0
x
lncos
x
2
)
ln(1
x
lim
0
x
ln(1 cos
x
2
x
ln(1
)
1)
lim
0
x
1
cos
x
2
x
(等价无穷小替换ln(1
x
)
)x
lim
0
x
原式=
e
1
2
x
1
2
2
x
2
(等价无穷小替换
1
2
1 cos
x
21
x
2
)
.1
e
方法 2：令
y
(cos )
x
1
ln(1
2
x
)
，有
ln
y
ln cos
x
2
ln(1
x
)
，以下同方法 1．
(2)【答案】
2
x
4
y
z
5
【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．
平面
2
x
4
y
z
0
n
的法向量： 1
{2,4, 1}
；
在点
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
n
的法向量： 2
{ (
,
z x y
0
x
0
),
,
z x y
0
y
(
0
), 1}
{2 ,2 , 1}
y
0
x
0
曲面
2
2
x
z
y
，因此有
n
2
//n
由于 1
2
x
0
2
0
2
y
4
,1 0
y
1
1
2
，相应地有
z
0
x
2
0
y
2
0
.5
可解得，
x
0
所求切平面过点 (1,2,5) ，法向量为： 2
n
{2,4, 1}
，故所求的切平面方程为
(2
x
(4)1
y
)2
(
z
)5
0
，即
2
x
4
y
z
5
(3)【答案】1
【详解】将
)(
xf
2
x
(
x
)
展开为余弦级数
( )
f x
2
x
n
0
a
n
cos
nx
(
x
)
，其中
a n
2
0
)(
xf
cos
nxdx
．
所以
a
2
2
x
2cos
xdx
0
2
1
0
xd
cos2
x
0
1
2
dx
1 [ cos2
x
x
2sin
x
1 [
2
x
sin2
x
0
sin2 2
x
0
]
xdx
0
cos2
0
xdx
]
1
(4)【答案】
2
1
3
2
【详解】 n 维向量空间中，从基
n
,
1 到基
,
,
2
,
1 的过渡矩阵 P 满足
n
,
,
2
[
,
n
1 ]=[
,
,
2
n
,
1 ] P ，
,
,
2
因此过渡矩阵 P 为：
,
P =[
,
n
2
1
,
1
]
[
n
1
2
,
,
,
]
．
根据定义，从 2R 的基
1
1
0
,
2
1
1
到基
1
1
,
1
2
1
2
的过渡矩阵为
P =[
]
,
2
1
1
[
1
2
,
]
1
0
1
1
1
11
21
=
1
0
1
1
11
21
2
1
3
2
.
(5)【答案】
1
4
．
【分析】本题为已知二维随机变量 (
)X Y 的概率密度 ( ,
f x y ，求满足一定条件的概率
)
,
({
,
YXgP
)
．连续型二维随机变量 (
}
0z
)X Y 概率的求解方法
,
( ,
F x y
)
( , )
f u v dudv
,
y
x
({
,
YXgP
)
0z
}
此题可转化为二重积分
)
【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有
( ,
g x y
{
YXP
}1
( ,
f x y dxdy
)
1
x y
1
2
0
dx
1
x
6x
xdy
( ,
f x y dxdy
)
进行计算．
z
0
y
1
O
1
2
y
x
x
y
1
x
1
2
0
(6
x
2
12 )
x dx
1
4
(6)【答案】
)49.40,51.39(
．
【分析】可以用两种方法求解：
(1) 已知方差
2 ，对正态总体的数学期望进行估计. 因为
1
个样本，样本均值
X
1 n
，则
n
1
i
X
i
X N
,
(
1
n
)
，将其标准化，由公式
，设有 n
N
(0,1)
(
X N
(
X E X
(
)
D X
,1)
) ~
n
得：
X
1
n
~
N
)1,0(
由正态分布分为点的定义
XP
{
1
n
u
2
1}
可确定临界值
u ，进而确定相应的
2
置信区间
(
x u
2
n
,
x u
2
n
)
．
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值的置信区间问题．由教材上已
(
x u
2
n
,
x u
2
n
)
，其中
{
} 1
P U u
2
,
U N
(0,1)
，可以
经求出的置信区间
直接得出答案．
【详解】方法 1：由题设，
本题 16
.96.1
n
u
2
1
,
40x
95.0
.
，可见
.05.0
查标准正态分布表知分位点
XP
根据 {
1
n
1.96} 0.95
，有
40{
P
1 16
1.96} 0.95
，
即 {39.51
P
40.49} 0.95
，故的置信度为 0．95 的置信区间是
)49.40,51.39(
．
方法 2：由题设，
{
P U u
1
95.0
，
}
{
P u
2
U u
} 2 (
u
2
2
2
) 1 0.95,
(
u
) 0.975
2
查得
u
2
.96.1
将
1 ， 16
n
,
40x
代入
(
x u
2
n
,
x u
2
n
)
得置信区
间
)49.40,51.39(
二、选择题
(1)【答案】 (
)C
y
【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)
或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值
点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．
【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的
点有 3 个(导函数与 x 轴交点的个数)； 0
x 是导数
不存在的点．
对 3 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均
不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧
导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，
是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；
对导数不存在的点： 0
x ．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 0
x 为极
大值点．
故 ( )
f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．
(2)【答案】 (
)D
【详解】方法 1：推理法
由题设 lim
n
，假设 lim n n
1n
b
b c
n
存在并记为 A ，则 lim
n
c
n
b c
lim n n
b
n
n
A
,这与
lim n
c
n
矛盾，故假设不成立， lim n n
b c
n
不存在． 所以选项 (
)D 正确．
方法 2：排除法
，
1
n
b
n
n
1
n
取
na
确；
，满足
lim
a
n
n
0
,
lim
b
n
n
1
a
, 而 1
1,
b
1
0,
a
1
， (
b
1
)A 不正
取
b
n
n
1
n
取
na
，
1
n
nc
，
n ，满足
2
lim
b
n
n
1
,
lim
c
n
n
b
,而 1
，(
0
1
c
1
)B 不正确；
nc
n ，满足
2
lim
a
n
n
0
,
lim
c
n
n
,而 lim
n
a c
n n
， (
1
)C 不正确．
(3)【答案】 (
)A
【详解】由
lim
0,
y
x
0
( ,
f x y
2
(
x
)
xy
2 2
)
y
1
( ,
f x y
)
xy
(1
)(
x
2
y
2 2
)
，其中
．
0
lim
0
x
0
y
由 ( ,
f x y 在点 (0,0) 连续知， (0,0) 0
．
)
f
取 y
x ， x 充分小， 0
x ，有
( ,
f x y
)
2
x
(1
x
2 2
)(2 )
；
0
取 y
x ， x 充分小， 0
x ，有
( ,
f x y
)
x
2
(1
x
2 2
)(2 )
0
故点 (0,0) 不是 ( ,
f x y 的极值点，应选 (
)
)A ．
(极值的定义)
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