Κ 太 原 师 范 学 院 学 报 (自然科学版) Κ 2 2 2 Ξ 第 5 卷　第 4 期 2006 年 12 月 　 　 JOU RNAL O F TA IYU AN NO RM AL U N IV ER S IT Y (N atu ral Science Edition) 　 V o l. 5 N o. 4 2006 　 D ec. A H P 法中平均随机一致性指标的 算法及M A TLAB 实现 焦树锋 (山东滨州职业学院, 山东 滨州 256624) 　　〔摘要〕　利用层次分析法解决问题时, 要对通过两两比较得出的判断矩阵进行一致性检验. 而 作为参与计算检验的平均随机一致性指标的值一般需要通过查表而得, 一般表中又查不到高阶平 均随机一致性指标值, 这一难点阻碍着层次分析法大面积的推广应用. 在深刻剖析层次分析法的基 础上, 给出了平均随机一致性指标的算法, 并且基于M A TLAB 软件下予以程序实现. 〔关键词〕　层次分析法; 判断矩阵; 平均随机一致性指标; M A TLAB 〔文章编号〕　1672 2027 (2006) 04 0045 03　〔中图分类号〕　E91　〔文献标识码〕　A 0　引言 层次分析法 1 (A nalytical H ierarchy P rocess) 是 20 世纪 70 年代由 T hom as Saaty 提出的一种定性问题 定量化的行之有效的方法. A H P 的理论核心在于, 按照从简单到复杂的认识论规律, 将复杂系统分解为有序 的递阶层次结构, 其决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排列问题, 根据特定的选优条件组, 从方案全 序里挑选最佳者. 为了给方案组排序, 理论上采用对全体方案进行两两比较的遍历法. 1　A H P 的基本步骤 层次分析法首先把问题层次化, 按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次, 构成一个多层次的分析 结构模型. 其主要步骤如下 2 : 　　1) 根据标度理论, 构造两两比较评判矩阵A ; A = (a ij) n×n　 ( i, j = 1, 2, …, n) 通常使用 1～ 9 比例标度法, 判断矩阵的比 例标度及含义如表 1 所示. 2) 将判断矩阵 A 的各列作归一化处理: a ij = a ij n ∑ k= 1 a k j 　 ( i, j = 1, 2, …, n) 　　3) 求判断矩阵 A 各行元素之和 w i= ∑ a ij (i= 1, 2, …, n) j= 1 n 表 1　判断矩阵的比例标度及含义 T ab le 1　P ropo rtion quo tiety of judgem en t m atrix and its m ean ing 标度 1 3 5 7 9 含义 表示两个因素相比, 同样重要 表示两个因素相比, 一个比另一个稍微重要 表示两个因素相比, 一个比另一个明显重要 表示两个因素相比, 一个比另一个强烈重要 表示两个因素相比, 一个比另一个极端重要 2, 4, 6, 8 倒数 分别表示为相邻 1- 3, 3- 5, 5- 7, 7- 9 的中值 若因素 i 与 j 比较得, 则 j 与 i 比较得 　　4) 对 w i 进行归一化处理得到 w i: w i= w i 　　5) 根据 A W = 1 n 6) 一致性检验: 检查判断矩阵 A 的非一致性是否可以接受. m axW 求出最大特征值及其特征向量, (A W ) i . w i i n ∑ i= 1 w i (i= 1, 2, …, n) ∑ m ax= 收稿日期: 2006 10 05 　　　作者简介: 焦树锋 (1973 ) , 男, 山东日照人, 硕士, 山东滨州职业学院讲师, 主要从事数学模型、运筹决策与控制研究. © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

Ù 64 太 原 师 范 学 院 学 报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　　　 第 5 卷　 2　A H P 的一致性检验 A H P 是对人们的主观判断加以形式化地表达和处理, 逐步剔除主观性, 从而尽可能地转化成客观描述. 其正确与成功, 取决于客观成分能否达到足够合理的地步. 由于客观事物的复杂性及决策者认识的主观性, 实际问题的成对比较矩阵不可能做到严格一致性. 一致性检验按照以下三个步骤进行: m ax- n n- 1 ; 2) 找出相应的平均随机一致性指标 R I; 3) 计算一致性比例 CR = C I R I 1) 计算一致性指标 C I = 虽然 C I 值能反映出判断矩阵 A 的非一致性的严重程度, 但未能指明该非一致性是否可以接受. 因而在 具体分析时, 还需要引入一个度量的标准, 即所谓随机一致性指标, 根据平均随机一致性指标 (R I ) 来计算随 机一致性比率: CR = CO . 一般而言, 当 CR < 0. 1 时, 认为判断矩阵基本符合随机一致性指标; 当 CR ≥0. 1 R I 时, 认为判断矩阵 A 不符合随机一致性指标, 必需进行调整和修正, 使其满足 CE < 0. 1, 从而具有满意的一 致性. 平均随机一致性指标的值需要通过查表获得, 一般文献上仅给出 Saaty 已计算好的 1 阶～ 9 阶矩阵的 R I 值表, 但均未给出实现过程, 且各文献的各 R I 值表不完全相同. 由文献 3 得出的 1 阶～ 15 阶重复计算 1 000次的平均随机一致性指标如下: 表 2　1 阶～ 15 阶平均随机一致性指标表 T ab le 2　M ean random con sistency index of 1 o rder to 15 o rder 阶数 1 0 R I 2 0 3 4 5 6 7 8 9 0. 52 0. 89 1. 12 1. 26 1. 36 1. 41 1. 46 10 1. 49 11 1. 52 12 1. 54 13 1. 56 14 1. 58 15 1. 59 　　对于高阶 (N > 15) 比较判断矩阵而言, 为了进行一致性检验, 相应的值只能根据平均随机一致性指标的 意义进行计算. 3　平均随机一致性指标的计算 3. 1　算法步骤 根据平均随机一致性指标的意义及作用, 设计出计算平均随机一致性指标算法, 步骤如下: 1) 从 1, 2, …, 9 和 1 2 的平均概率均匀随机地抽取 n 2 个数, 构成 k 阶成对比 较矩阵 A ; 2) 计算矩阵 A 的一致性指标 C I; 3) 重复运行多次以产生多个 k 阶随机判断矩阵 A k, 计算出每次 共 17 个数中按 1 17 , …, 1 3 1 9 , 的一致性指标, 求平均值, 即 R I = 3. 2　M A TLAB 程序实现 1 m m ∑ k= 1 C I k. 用一个随机数发生器产生一个随机矩阵, 经调整使该矩阵满足正互反性, 此矩阵即为随机判断矩阵. 为 保证得到高精度的最大特征值的特征向量, 迭代次数要充分的多. 本文迭代 10 000 次, 得到平均随机一致性 指标. 程序完整代码如下: 3; 1 9 ; 　 % 产生一个标度向量 2; 1 rand (k ) ) ; 　　　% 产生一个 1～ 17 的 k 阶随机矩阵 clear fo r k = 1: 50　　　% 计算 1 阶～ 45 阶矩阵 　fo r n= 1: 10000　　　% 对 k 阶矩阵重复运行 10 000 次计算 　　b= 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 1 8; 1 　　aa= ceil (17 　　fo r i= 1∶k 　　　fo r j = i∶k 　　　　a (i, j ) = b (aa ( i, j ) ) ; 　　　% 根据随机矩阵构造随机判断矩阵 　　　　a (j , i) = 1 　　　　a (i, i) = 1; © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net a ( i, j ) ; 4; 1 5; 1 6; 1 7; 1 

　第 4 期　　　　　　　 　　焦树锋等: A H P 法中平均随机一致性指标的算法及M A TLAB 实现 74 a ( i, j ) ; 　　　end 　　end 　　w = ones (1, k ) ; 　　fo r i= 1∶k 　　　fo r j = 1∶k 　　　　w ( i) = w ( i) 　　　end 　　end 　　w = w . ^ (1. 　　w = w . 　　L = sum ( (a w ’). 　　C I (k ) = (L - k ) 　end R I (h) = sum (C I ). end k ) ; sum (w ) ; 　　　% 向量正规化 (k. w ’) ) ; 　　% 正规化权重向量对应的最大特征值 (k - 1) ; 　　% 计算判断矩阵的一致性指标 10 000; 　　% 计算平均随机一致性指标 4　运行结果 在指定精度 0. 000 1、平均次数 (子样数) 为 10 000 次时, 计算出 16 阶～ 30 阶平均随机一致性指标如下 表. 表 3　16 阶～ 30 阶平均随机一致性指标表 T ab le 3　M ean random co sistency index of 16 o rder to 30 o rder 阶数 R I 阶数 R I 16 1. 6050 24 1. 6622 17 1. 6158 25 1. 6686 18 1. 6264 26 1. 6705 19 1. 6327 27 1. 6755 20 1. 6403 28 1. 6779 21 1. 6481 29 1. 6816 22 1. 6531 30 1. 6840 23 1. 6591 　　高阶随机一致性指标值的计算, 为层次分析法的大面积推广提供了理论基础, 使推广应用成为可能. 参考文献: 1 　陈晓红. 决策支持系统理论与应用[M . 北京: 清华大学出版社, 2000 2 　张吉军. 模糊层次分析法[J . 模糊系统与数学. 2000, 4 (2) : 89 3 　许树伯. 层次分析原理[M . 天津: 天津大学出版社, 1998 91 The A lgor ithm of M ean Random Con sistency Index in AHP and its Im plem en ta tion (P rim ary D ep artm en t of B inzhou V ocational Co llege,B inzhou 256624, Ch ina) J iao Shufeng 　　〔Abstract〕　 T he con sistency of the judgm en t m atrix shou ld be tested w hen u sing the m ethod of A H P so lve p rob lem s. T he value of the con sistency index of H igh O rder judgm en t m a trix invo lved in the algo rithm is no t easy to acqu ire, w h ich sets back the p u tting the m ethod of A H P in to p ractice. T here g ives the algo rithm of the m ean random con sistency index based on studying the m ethod of A H P, and g ives its im p lem en tation based m athem atical w are M A TLAB. 〔Key words〕　A H P; judgm en t m atrix; m ean con sistency index;M A TLAB 【责任编辑: 王映苗】 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net