姓名 试 题 专 用 纸 课程编号：101M1001H 课程名称：矩阵论 任课教师：叶世伟 一、选择题(20 分，多选题，每题 5 分，每个选项 1 分，） d)洲_a; e).^)=[(IW|a )2+(|W|p)2]^ o (其中 A 为 M 阶方阵 ) a).实对称矩阵 A 可以正交相似于对角矩阵； b).正交矩阵 A 可以正交相似于对角矩阵； c)M 阶方阵 A 可以相似于对角矩阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量； d).方阵 A 可以相似于对角矩阵的充要条件是 A 的特征多项式cp(A0的每个根互不相同； e).方阵 A 可以相似于对角矩阵的充要条件是 A 的最小多项式 m(X)的每个根互不相同; 2.设iH|a和|H|p为两种不同的向量范数；则下列向量函数中那些为向量范数 a).y(x)=max{||^||a 5|W|p}; b).y(A：)=|W|a +||x||p; 1.下列关于方阵相似于对角矩阵的哪些结论是正确的： c).J{x)= rmix \\ Ax\\a ; 成绩 ‘ 学号 MII2=I 3. 方 阵 序 列 4 成 立 的 充 要 条 件 为： a).\\ An-A\\a^ 其中IHIa为广义矩阵范数； d)_ b).II A4H|A||a，其中IHIa为矩阵范数； ’ c). 对任何南量 x，数 列 其 中ya为向量范数； e). 数 项 级 数 其 中p(A)表示方阵 A 的谱半径； 其中乂〃为矩阵 4 的共轭转置； 4.下列陈述肯定正确的有: a).任何一个 Householder 矩阵都可以化为一系列初等旋转矩阵的乘积； b).任何一个初等旋转矩阵都可以化为一系列 Householder 矩阵的乘积. c).对两个任意^阶实对称正定矩阵 A，B，则存在可逆矩阵 Q 使得 QTAQ5QTBQ 同时对角化; e)若两个投影算子的值域相同，则它们本身相等. d)设 FeC^m 1 设 A= ，则矩阵 FFHF 和 FF^的秩都为 r. 0、 1 ，计算 /1 的下列 /P范数川Alh. 一1 2‘ 二、填空题 （每题 6 分， 共 30 分) .l|A||2 = ; llAIL= (6 分) (6 分) 2 设 A= 2 1 0 0 0 1 0 1 0 ，计算e1 

、 ] 0 "o i n U o l j (要求 R 对角元都大于 0) 3 设矩^A= 1 1 0 , 计 算 矩 阵 A 的 QR 分 解 为 A= 4.设 A= 2 1 ，求矩阵方程 AXA+6A=0 的极小范数最小二乘解：^= ，定义函数 /(X)= det% +X^^, 5 设 AW 为常数矩阵， 10 1 df dX XGR 三设矩阵h C…为可逆矩阵，那么证明存在唯一的正定 Hermite 矩阵 P 和唯一的酉矩阵 U — 使得 A=PU 成立。 （15 分） (6 分) (6 分) 那么 (6 分) 四、设 A= P ，若 ranl^)=rank(/i2)= />0，则 存 在 可 逆 矩 阵 户 和 可 逆 矩 阵 Crxr 使得 五、在 3 维实系数多项式线性空间 P2[x]上定义如下变换 T：p2M->p2M B 0 1,0 0 (15 分) P ~ P( x) -> T( P( x))= (\- x+ x2 ) d 2P{x) dx2 并取 B={;C2，;C，1} 为 P2[X]的一个基。 +d + x) dP{x) dx - P( x) (1)证明 T 为线性变换; (2) 求出线性变换 T 关于基 B 的矩阵表示; (3)求出 T 的特征值和相应的特征向 1 (5 分) (5 分) (10 分)