2022年湖南高考数学真题及答案.doc-资料库

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2022 年湖南高考数学真题及答案试卷类型：A 2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 { M x  ∣ x  4}, N  { 3 x ∣ x  1} ，则 M N  （） A.  x 0 x   2 C.  x 3 x   16 B. D. x x       1 3 1 3   x 2      x  16   2. 若i(1 z ) 1  ，则 z z  （） B. 1 中，点 D在边 AB上， BD    3m n B.  2 2 DA C. 1     ，．记CA m CD n  2m n  C. 3 D. 2  ，则 CB  （） D. A. 2 3. 在 ABC 2m n  A. 3 3m n  2 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148 5m．时，相应水面的面积为 140 0km．；水位为海拔157 5m．时，相应水面 2 的面积为 180 0km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 2

148 5m．上升到157 5m．时，增加的水量约为（ 7  2.65 ）（） A. 1.0 10 m 9 3 B. 1.2 10 m 9 3 C. 1.4 10 m 9 3 D. 1.6 10 m 9 3 5. 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（） A. 1 6 6. 记函数 ( ) f x  sin  x     B. 1 3 b    4  C. 1 2 D. 2 3 (   0) 的最小正周期为 T．若 2  3   ，且 T y  ( ) f x 的图象关于点 3 ,2   2     f   中心对称，则 2      （） A. 1 7. 设 a  0.1 0.1e , b  1 9 A. a b c   a   c b B. 3 2 ln 0.9  ， c C. 5 2 D. 3 ，则（） B. c b a   C. c a b   D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（） 3 l  3 3  18,   81 4    A. C.    27 64, 4 3    B.    27 81, 4 4    D. [18,27] 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 已知正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 ，则（） A. 直线 1BC 与 1DA 所成的角为90 B. 直线 1BC 与 1CA 所成的角为90 C. 直线 1BC 与平面 1 BB D D 所成的角为 45 1 D. 直线 1BC 与平面 ABCD所成的角为 45 10. 已知函数 ( ) f x  3 x   ，则（） x 1

f x 有两个极值点 A. ( ) B. ( ) f x 有三个零点 C. 点(0,1)是曲线 y  ( ) f x 的对称中心 D. 直线 y x 是曲线 2 y  ( ) f x 的切线 11. 已知 O为坐标原点，点 (1,1) A 在抛物线 : C x 2  2 ( py p  上，过点 (0, 1) B  的直线 0) 交 C于 P，Q两点，则（） A. C的准线为 1 y   C. OP OQ OA |   2 B. 直线 AB与 C相切 D. | BP |  | BQ BA | |  2 | 12. 已知函数 ( ) f x 及其导函数 ( ) f x 的定义域均为 R ，记 ( ) g x f x ( ) ，若 f 3 2   2  x    ， g (2 x 均为偶函数，则（） ) A. f (0)  0 g ( 1)   g (2) B. g    1   2   0 C. f ( 1)   f (4) D. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 1    y   x  ( x  8 y ) 的展开式中 2 6 x y 的系数为________________（用数字作答）． 14. 写出与圆 2 x 2 y  和 1 ( x  3) 2  ( y  2 4) 16  都相切的一条直线的方程 ________________． 15. 若曲线 y  ( x a  )ex 16. 已知椭圆 C : 2 2 x a  2 2 y b 有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是________________．  1( a   ，C的上顶点为 A，两个焦点为 1F ， 2F ，离心率为 b 0) 1 2 ．过 1F 且垂直于 2AF 的直线与 C交于 D，E两点，| ________________． DE  ，则 ADE | 6  的周长是四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．  17. 记 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 1 1,    a n S a n    是公差为 1 3 的等差数列．

（1）求 na 的通项公式；（2）证明： 1 a 1  1 a 2    1 a n  2 ．的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 cos A 1 sin A   sin 2 B 1 cos2  B ． 18. 记 ABC 2 C   ，求 B； 3 b （1）若 a 2 （2）求 2  2 c 的最小值． 19. 如图，直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的体积为 4， 1A BC  的面积为 2 2 ．（1）求 A到平面 1A BC 的距离；（2）设 D为 1AC 的中点， 1AA AB ，平面 1A BC  平面正弦值． ABB A ，求二面角 A BD C  的  1 1 20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组对照组 40 10 60 90

（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”． ) ( P B A P B A 与 ) ( | | ( ) P B A ( ) P B A | | 度的一项度量指标，记该指标为 R．的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程（ⅰ）证明： R  ( P A B P A B ( P A B P A B ) ) ( ( | | | |  ) ) ；（ⅱ）利用该调查数据，给出 ( P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 R的 ), ( ) | | 估计值． 2 ) ( n ad bc    )( ， ) 附 2 K   P K 2 )( )( ( a b c d a c b d    0.010 0.050 k 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21. 已知点 (2,1) A 在双曲线 C : 2 2 x a  y 2 a 2  1  1( a  1) 上，直线 l交 C于 P，Q两点，直线 ,AP AQ 的斜率之和为 0．（1）求 l的斜率；（2）若 tan PAQ  2 2 ，求 PAQ△ 的面积． 22. 已知函数 ( ) f x  x e  和 ( ) g x ax  ax （1）求 a；  有相同的最小值． ln x （2）证明：存在直线 y b ，其与两条曲线 y  ( ) f x 和 y  ( ) g x 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一  4}, N  { 3 x ∣ x  1} ，则 M N  （） B. x    1 3   x 2    C.  x 3 x   16 D. 项是符合题目要求的. x { M x 1. 若集合 ∣  A.  x 0 x   2 x    1 3   x  16   【答案】D 【解析】【分析】求出集合 ,M N 后可求 M N . 【详解】故选：D 2. 若i(1 A. 2 { M x  ∣0   x 16}, N  { x x ∣  1 } 3 ，故 M N   x    1 3   x  16   ， z ) 1  ，则 z z  （） 1 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求 z ，从而可求 z z . 【详解】由题设有 1 z   1 i i 2 i   ，故 1+i z  ，故 i z z    1 i    1 i    ， 2 中，点 D在边 AB上， BD    3m n 2 DA    ，．记CA m CD n  2m n   C. 3  ，则 CB  （） D. B.  2 故选：D 3. 在 ABC 2m n  A. 3 n  2 3m 【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．  DA 【详解】因为点 D在边 AB上，  BD 2  2    CD CB   2   CA CD    ，，即  所以CB 故选：B．  3   CD CA 2   BD   3 n m  2 DA  3m ，所以  ． n 2  

4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水 140 0km．；水位为海拔157 5m．时，相应水面库水位为海拔148 5m．时，相应水面的面积为 180 0km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔的面积为 2 2 148 5m．上升到157 5m．时，增加的水量约为（ 7  2.65 ）（） A. 1.0 10 m 9 3 B. 1.2 10 m 9 3 C. 1.4 10 m 9 3 D. 3 9 1.6 10 m 【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为体积V ． MN  157.5 148.5 9   (m)，所以增加的水量即为棱台的棱台上底面积 S  140.0 ∴ V  h S 1 3  S  km   6 2  140 10   1 9 140 10    3  SS     3   320 60 7  6  10   96 18 2.65    7  10  1.437 10  9  2 m ，下底面积 S  180.0 6 2 m ， 6  180 10  6  12 140 180 10  2   km 180 10  3 1.4 10 (m )   ． 9 故选：C． 5. 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（） A. 1 6 【答案】D 【解析】 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，共有 2 7C 21 种不同的取法，   若两数不互质，不同的取法有： 2,4 , 2,6 , 2,8 , 3,6 , 4,6 , 4,8 , 6,8 ，共 7 种，           

故所求概率 P  21 7  21 2  . 3 故选：D. 6. 记函数 ( ) f x  sin  x     b    4  (   0) 的最小正周期为 T．若 2  3   ，且 T y  ( ) f x 的图象关于点 3 ,2   2     f   中心对称，则 2      （） B. 3 2 C. 5 2 D. 3 A. 1 【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期 T满足 2  3   ，得 T 2 2   3    ，解得 2  3  ，又因为函数图象关于点 3 ,2   2     对称，所以 3   4 2    , k  k Z  ，且 2 b  ，所以    1 6 2 , k k Z 3  ，所以  ， 5 2 ( ) f x  sin    5 2 x   4     2 ，所以 f    2      sin    5 4    4    2 1   . 故选：A 7. 设 a  0.1 0.1e , b  1 9  ， c ln 0.9 ，则（） A. a b c   b a   c B. c b a   C. c a b   D. 【答案】C 【解析】【分析】构造函数 ( ) f x  ln(1  x )  ，导数判断其单调性，由此确定 , ,a b c 的大小. x 【详解】设 ( ) f x  ln(1  x )  ( x x 当 ( 1,0) 所以函数 ( ) f x f x x   时， ( ) x  ln(1  所以 f 1( 9 ) f (0)  ，所以 0 0  ，当 )  在 (0, x 10 9 ln )   f 1) ( ) x f x   ，因为 1 x   时 ( ) 0  1 x  ,( 0  ， ) 单调递减，在 ( 1,0) 1 9   ，故 10 9 1 9 0  ln 1    x  1 x ，上单调递增，   ln 0.9 ，即b c ，

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