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2019年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

发布时间：2022-09-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.18M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2019 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 当= 时， ( ) f x  2 x  与 x ( ) g x  2 x  4 x   有公共根。 2. 设 A 是 n 阶方阵，且| | 2A  ，则 * A      1 4 A     1  。 3. 已 知 向 量 组 ,   线 性 无 关 ， , 1 2 3 则            1 3         1 2 3 2 2 3 3 1 2 2 3 , , 线性 。 4. 已知方阵 A 满足 3 A 5. 当 k 满 足 ( ,    2  x ) 2 x 1 2 2 , ( f x x x 3 1 2 k  1) 2 x 3  2 kx x 1 2  2 x x 1 3 是负定的。  2 A  4 A  5 E O  ，则 ( A  2 ) E  1  。 时 ， 二 次 型 6. 已 知 数 域 P 上 线 性 空 间 V 中 线 性 无 关 的 元 素 组 为 1 ,     ， 现 令 , 3 , 2 4             1 1  ，        1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 , , , 则子空间 { W k      1 1 4    k k k 2 2 3 3 4 | , k k k k 1 , , 2 3  的维数是 } P 4 ，它的一 组基为 。 7. 已知3 阶方阵 A 的特征值为1, 1,2 ，则矩阵 B A  3  22 A 的特征值为 ， 行列式| |B  。 2 0 0   2 2 x    1 1 3       与矩阵 B 1 0 0   0 2 0    0 0 y       8. 已知矩阵 A y  。 相似，则 x  ， 9. 设矩阵 A       1 2 t 1 0 t 2 0 4      ，则t 满足 时，矩阵 A 为度量矩阵。 10. 已知 2 2R  的子空间 W L A A 2  ( , 1 ), A 其中 1     1 1 0 0    , A 2     0 1 1 1    , 则W  的 一组标准正交基为 二、计算题（共 90 分） 。 1. （15 分）计算 n 阶行列式
    1 1 0  0 0 2 1  2  0 0 2. （ 15 分       3 0 2   0 0 ） 1 n  0 0  2  n  已 n 0 0  0 n  知 n 1 1 . 向 量 组  1   ( 2,1,1) , T  2  (1, 2,1) , T   3  (1,1, 2) , T     ( 2, 2  , ) T ，试问取何值时，可由 ,   线性表出，并写出其表达式。 , 1 2 3 3. （20 分）求一个正交变换, 将二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  T x Ax  2 x 1  2 4 x 2  2 4 x 3  4 x x 1 2  4 x x 1 3  8 x x 2 3 化为标准形。 4. (20 分) 已知线性空间 4P 的两组基为 (I) (I I) (1,1,0,0),     1 2 (2,1,0,0),    1 2 (1,2,0,0),   3 (3,1,0,0),   3 (0,0,1,1),   4 (0,0,2,3),   4 (0,0,1, 2);  (0,0,1,2). (1) 求由基 (I) 到基 (I I) 的过渡矩阵C ； (2) 求向量      4  在基 (I) 下的坐标。 2    1 2 3 5. （20 分）设 1 2 3 ,   是欧氏空间V 的一组标准正交基，T 是V 的线性变换。已知 , T (          1 3 2 , 3 T T 2       ) ( ) ( , 1 2 2 1 2 3 ) 2      1 3   2 . (1) 证明T 是一个对称变换； (2) 求V 的一组标准正交基，使T 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 三、证明题 （共 30 分） 1. （15 分） 设 ,W W W 都是线性空间V 的子空间， 1 W W V W W 2   。证明：  , , 1 2 1 dim W  dim W 1  dim( W W  。 ) 2 2. （15 分）设 1和 2 的是 n 维线性空间V 的两个线性变换，证明： 2  ( V ) ( V  1 ) 的充分必要条件是存在线性变换 3 使得 2   3 1 。
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