西北工业大学矩阵论PPT课件.pdf-资料库

矩阵论讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《矩阵论》（第 2 版）西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配：第一章 17 学时第四章 8 学时第二章 5 学时第五章 8 学时第三章 8 学时第六章 8 学时

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 1 第一章线性空间与线性变换 §1.1 线性空间一、集合与映射 1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．列举法： S = 性质法： S = 1 2 3 , , , { Laaa } aa { 所具有的性质 } 相等( S = 1 S )2 ：指下面二式同时成立 ∈⇒∈∀ Sa Sa 1 ∈⇒∈∀ Sb Sb 2 , 2 即 S 1 ⊆ S 2 , 1 即 S 2 ⊆ S 1 交：并： S S 1 I 1 U S 2 S 2 = { Saa ∈ = { Saa ∈ 且 Sa ∈ } 2 或 Sa ∈ } 2 1 1 a a + a 2 1 a 1 ∈ aS 1 , 2 ∈ S 2 } 和： S 1 + S 例 1 S 1 = { A = S 2 = { A = { 2 11 = a   a  21 a  11  0  S I 1 S 2 = { A = S U 1 S 2 = { A = S 1 + S 2 = { A =       22 12 = 0 a 22 a a a  11  0  a   a  a   a  21 11 11 21 jia ∈ R} jia ∈ R} ， S ≠ 1 S 2 12 0 a 22 a a a a 12 22 22          aa , 11 22 ∈ R} aa 12 21 = ,0 jia ∈ R} jia ∈ R} 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等． Q 3．映射：设集合与，若对任意的 1S 2S 1Sa ∈ ，按照法则σ，对应唯一的

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 2 Sb ∈ ,2 σ记作 a )( = b . a 为b 的象源．称σ为由到的映射；称为的象， b a 2S 1S 变换：当 1 S = 时，称映射σ为上的变换． S 1S 2 例 2 S = { A = ( a ) nnji × a ji ∈ (R} n ≥ )2 ．映射 1σ ： =σ A A det ) ( R)→S (1 (2 变换 2σ ： =σ A ) ( det nIA ) ( )S S → 二、线性空间及其性质 1．线性空间：集合V 非空，给定数域 K ，若在V 中 (Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即 ∀ Vyx , ∈ , 对应唯一 ( 元素 x ∈+ Vy ) , 且满足 (1) 结合律： x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ( ∈∀ Vz ) (2) 交换律： x +=+ y y x (3) 有零元： (4) 有负元： θ 使得 ∈∃ V , x θ =+ x ( ∈∀ Vx ) ∈−∃∈∀ Vx Vx ) ( , , 使得 x ( −+ x ) θ= . (Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即 ∈∀∈∀ Vx Kk , , 对应唯一 ( 元素 kx ) ∈ V , 且满足 (5) 数对元素分配律： xk ( + y ) = kx + ky ( ∈∀ Vy ) (6) 元素对数分配律： ( k + xl ) = kx + lx ( ∈∀ Kl ) (7) 数因子结合律： lxk ( ) = ( xkl ) ( ∈∀ Kl ) (8) 有单位数：单位数 1 ∈ K , 使得 1 x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．例 3 R=K 时， nR —向量空间； nm×R —矩阵空间

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 3 ][tPn —多项式空间； ],[ baC —函数空间 C=K 时， —复向量空间； C —复矩阵空间 nC nm× 例 4 集合 mm=+R { 是正实数 } ，数域 {R 是实数kk= } ．加法： nm , ∈ + ,R nm =⊕ mn 数乘： m ,R ∈ + k ∈ R, kmmk =⊗ 验证 +R 是 R 上的线性空间．证加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) (4) m θ ⇒=⊕ (m θ −⊕ mm ) m 1=⇒= θ mm ( −⇒= θ 1 ( −⇒= m ) m ) = 1 m 数乘封闭，(5)～(8)成立．故 +R 是R 上的线性空间．例 5 集合 2 iξξξαR = = { ) ( , 2 1 ∈ R} ，数域R ．设 kηηβ ), = ( , ∈ R ． 1 2 运算方式 1 加法：数乘：运算方式 2 加法：数乘： ηξηξβα 2 + + = + 2 1 1 ( , ) k = 1 ξξα 2 k k ( , ) ηξηξηξβα 1 =⊕ + + + 1 2 2 1 1 ( , ) k o ξξα 2 = 1 k k ( , + 1 2 kk ( − )1 2 ξ 1 ) 可以验证 (R 2 ⋅+ ) 与 (R 2 [注] 在 R (2 o⊕ ) 中, )0,0(=θ R 上的线性空间． ) 都是 o⊕ ( 2 , ξξξα −=− 1 + − , 2 1 ) ． Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．证设与 2θ 都是V 的零元素, 则 θθθθθθ 2 = + = + = 1 2 2 1 1 设与都是的负元素, 则由 x x = x 1 =+ θ x 1 + ( x + x 2 ) = + 1x x ( 1 θ= 及 x + 2x θ= 可得 + x ) + x 2 1θ 1x 2x x 1 = ( x + x 1) + x 2 += θ x 2 = x 2 =+ θ x 2

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 4 例 6 在线性空间V 中，下列结论成立． θ=x0 ： 1 x + 0 x = )01( + x θ=⇒= 0 1 x x θθ=k ： kx + k θ = xk ( + ) θ =⇒= k θθ kx )1( − x ( −= x ) ：( − )1 x −= )1( x + [ x ( −+ x )] −= )1[( x + x ]1 ( −+ x ) ( −= x ) 2．减法运算：线性空间V 中， x ( y −+=− x y ) ． 3．线性组合： Vxx , ∈ 若存在 , i c i ∈ K , 使 x = xc 1 的线性组合，或者可由 x 4．线性相关：若有 mc 不全为零，使得 xc 1 + L1 , 则称 x + + L1 x ,1 L + mm xc mx mm xc , 线性表示． θ= ，则称是 x ,1 L c , mx , ,1 L mx ,1 L mx , x ,1 L 线性相关． , 5．线性无关：仅当 c mc 全为零时，才有 xc 1 + L1 + mm xc θ= ，则称 x , ,1 L 线性无关．中, 2 =α 1 =α )1,1( , )2,2( 线性无关； 1 =α )1,1( , 2 =α )3,2( 线性相关．（自证） [注] 在 R (2 o⊕ ) 三、基与坐标 1．基与维数：线性空间V 中，若元素组 x ,1 L , nx 满足 (1) (2) , x nx ,1 L Vx ∈∀ 线性无关；都可由 x ,1 L , nx 线性表示．称 x ,1 L , 为nx V 的一个基, 为n V 的维数, 记作 dim nV = ，或者V . n 例 7 矩阵空间 nm×R 中, 易见 (1) iE ji ( = ,2,1 L , jm ; = ,2,1 L , n ) 线性无关； (2) A = ( a ) × = nmji n m ∑∑ i = 1 j = 1 Ea ji ji ．故 iE ji ( = ,2,1 L , jm ; = ,2,1 L , n ) 是 nm×R 的一个基, dimR nm =× . mn

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 5 2．坐标：给定线性空间V 的基 n x x = ξ 1 x + L1 + n x ξ n ．称坐标，记作列向量时，有 , nx ，当 nVx ∈ ,1 L ,1 L 为在给定基 nξξ , , ． x ) , Τ ( ,1 Lx nx, 下的例 8 矩阵空间 2R × 中，设 2 A = ( (1) 取基 EEEE , , , 21 12 11 ，22 nξξα 1 L= jia ． EaA 22) = × 11 + Ea 12 12 + Ea 21 21 + Ea 22 22 11 (2) 取基 1B 坐标为 , a , 21 12 , 2B = a a=α ( , 11 11     11   ) − + = 2 1 BBaA = ( 11 Ba 12 ( 2 ) Τ a 22 10   11  B ) +    − 3 , 3B = Ba 21 ( 3 , 00   11  B ) +    − 4 4B = 00 10       Ba 22 4 = Ba 1 11 + ( a 12 − Ba 11 ) 2 + ( a 21 − Ba 12 ) 3 + ( a 22 − Ba 21 ) 4 坐标为 =β ( a , a 12 11 − a 11 , a 21 − a 12 , a 22 − a 21 ) Τ [注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．例如： EA = 22 在上述两个基下的坐标都是 Τ)1,0,0,0( ； 11EA = 在上述两个基下的坐标不同． Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一． n 证设V 的基为 n x ，对于 nVx ∈ ，若 x = ξ 1 则有 ( ηξ 1 − 1 x n = η 1 n x ξ ( ηξ n − + n + L1 x ) = n θ + n x η n nx , ,1 L x + L1 x ) + 1 + L 因为 x ,1 L , nx 线性无关, 所以 i ηξ − i 0= , 即 =ηξ i i ( i ,2,1 L= , n ) . 故的坐标唯一． x 例 9 设线性空间V 的基为 n , 元素在该基下的坐标为 L=α ,2,1 ( j j , m ) , x ,1 L , 则元素组 nx y jy my ,1 L , 线性相关（线性无关） ⇔ 向量组 mαα , ,1 L 线性相关（线性无关）．

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 6 证对于数组 yk 1 等价于 , 因为 , k ,1 L + + mk yk mm 1 L 1k mmkL1 α + + = ( x 1 , L , x n )( k α 1 1 + L + k θα mm = ) θα = , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换 1．基变换：设线性空间V 的基(Ⅰ)为 n x ,1 L , nx , 基(Ⅱ)为        y y 1 2 = = xc 11 xc 12 1 1 + + xc 21 xc 22 2 2 + + + + xc n n 1 xc n 2 n L L C y n = xc n 1 1 LLL xc + + n 2 2 写成矩阵乘法形式为 ( y 1 n + xc nn L , L = y ) , n ( x 1 , , L c c 11 21 M c n 1 =       Cx ) n ,1 Ly c c 12 22 L L M n 2 c L ny, , 则 c c 1 n 2 n M c nn       称上式为基变换公式，C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵. [注] 过渡矩阵C 一定可逆. 否则C 的个列向量线性相关, 从而 n ,1 Ly ny, 线性相关（例 9）．矛盾！由此可得 ( x 1 , L , x n ) = ( y , 1 L , Cy ) n − 1 称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵． 1− 2．坐标变换：设 nVx ∈ 在两个基下的坐标分别为 α和β,则有 x = x = 1 x + ξ L1 η 1 + n n x ξ n y η = , , x L ( 1 y L= ( 1 , nx ny , α) + y + L1 βα C= ，或者 n 由定理 2 可得 β 1−= C α ，称为坐标变换公式. β) ( 1 L= x , , βCx n ) 例 10 矩阵空间 22R × 中，取基 (Ⅰ) 1A = (Ⅱ) 1B = 01     10   11     11   , 2A = , 2B = 1   0 −  11   01     0   1  , 3A , 3B = =    11 00 10 01    ,    , 4A    4B =    =   −  01 00 10   01    

第一章线性空间与线性变换（第 1 节） 7 (1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式．解采用中介法求过渡矩阵. 基(0)： 11E = (0) →(Ⅰ)： (0) →(Ⅱ)： ( ( , 12E 01   00  , ,    AAAA 1 4 , 3 2 , =    21E 10 00   01 00  CEEEE ( , )    , ,    = = BBBB 1 , , , 3 2 4 = ( CEEEE ) , , , 11 11 12 12 21 21 22 22 1 2 ) ) , 22E = 00 10             = − ， 2C 1111   0111  0011   0001  0   1  1   0  CCAAAA , 1 01 01 10 10 4 1   1  0   0  0 0 1 1 C = − − − 1 ) ( , , 1 3 2 2 2 1 2 1112 1110 0122 0100             BBBB( , , , 3 2 1 =) 4 CCC = − 1 1 = 2 1 2       ξ  1  ξ  2  ξ 3  ξ  4       = C η  1  η  2  η 3  η  4       = 1 2       2 3 + 2 ηηηη 4 + + 1 + ηηη 4 2 ηηη + 3 + + 2 1 3 2 2 η 3       1C = 1 0 0 1       01 10 10 01 − (Ⅰ) (Ⅱ)：→ 五、线性子空间 1．定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对 1 V 中的线性运算封闭，即 (1) ∀ Vyx , 1 ∈+⇒∈ Vy 1 x (2) ∈⇒∈∀∈∀ Kk Vx 1, kx V 1 称V 为1 V 的线性子空间，简称为子空间．

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