2003考研数学一真题及答案.doc-资料库

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2003 考研数学一真题及答案一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) lim(cos ) x x  0 1 ln(1  2 x )  (2) 曲面 z  2 x  2 y 与平面 2 x  4 y  z 0 平行的切平面的方程是 . (3) 设 2 x   n  0 a n cos nx (   x )  ，则 2a = . (4) 从 2R 的基  1  1 0     ,   2      1   1   到基  1     1  ,  1   2     1 2    的过渡矩阵为 . (5) 设二维随机变量 ( )X Y 的概率密度为 , ,( yxf )  0 ,6 x   ,0  ,1 x y  ，其他则 { YXP  }1  . (6) 已知一批零件的长度 X (单位： cm cm)服从正态分布 (N )1, ，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 ( cm )，则的置信度为 0.95 的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值  )96.1(  .0 ,975  .1( )645  .)95.0 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数 ( ) f x 在 (  ,  ) 内连续，其导函数的图形如图所示， y 则 ( ) f x 有( ) (A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. x (2) 设 { a {}, b }{}, n c n n 均为非负数列，且 lim  a  n n 0 , lim  b  n n 1 , lim c  n n  , 则必有 ( ) (A) a  对任意 n 成立. n b n (B) b  对任意 n 成立. n c n (C) 极限 lim n  ca nn 不存在. (D) 极限 lim n  cb nn 不存在.

(3) 已知函数 ( , f x y 在点 (0,0) 的某个邻域内连续，且 ) lim ,0 y  x 0 ,( yxf 2 ( x  ) xy  22 ) y  1 ，则( ) (A) 点(0,0) 不是 ( , f x y 的极值点. ) (B) 点(0,0) 是 ( , f x y 的极大值点. ) (C) 点(0,0) 是 ( , f x y 的极小值点. ) (D) 根据所给条件无法判断点(0,0) 是否为 ( , f x y 的极值点. ) (4) 设向量组 I： r , 1  可由向量组 II： , , 2 (A) 当 s (C) 当 s r  时，向量组 II 必线性相关. r  时，向量组 I 必线性相关. 2 , , , s 1  线性表示，则( (B) 当 s (D) 当 s r  时，向量组 II 必线性相关. r  时，向量组 I 必线性相关. ) (5) 设有齐次线性方程组 Ax  和 0 Bx  , 其中 ,A B 均为 nm  矩阵，现有 4 个命题： 0 Bx  的解，则秩( A )  秩( B )； Bx  的解； 0 Ax  的解均是 0 Bx  同解，则秩( A )=秩( B )； Bx  同解. Ax  与 0 0 0 0 0 Ax  与 Ax  的解均是 ① 若 ② 若秩( A )  秩( B )，则 ③ 若 ④ 若秩( A )=秩( B )，则以上命题中正确的是( ) (A) ① ②. (C) ② ④. 0 (B) ① ③. (D) ③ ④. 1 X 2 ，则( ) (6) 设随机变量 X (~ )( nnt  ),1 Y  (A) ~ 2 n )( Y  . (B) ~ 2 Y  ( n )1 . (C) Y )1,(~ nF . (D) Y ),1(~ nF . 三、(本题满分 10 分) 过坐标原点作曲线 ln  y x 的切线，该切线与曲线 ln  y x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ; (2) 求 D 绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积V . 四、(本题满分 12 分) 将函数 )( xf  arctan 21  21  x x 展开成 x 的幂级数，并求级数  0 )1(  2 n  n 1 的和. n

五、(本题满分 10 分) 已知平面区域 D  ,{( yx 0)  x 0,   y }  ， L 为 D 的正向边界. 试证： (1) (2)   xe L xe L sin y dy  ye  sin x dx sin y dy  ye  sin x dx  xe L  2 2   sin y dy  ye sin x dx ; . 六、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功 . 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 ( 比例系数为 , k k  ).汽锤第一次击打将桩打进地下 a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作 0 的功与前一次击打时所作的功之比为常数 (0 r r  . 问 1) (1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注： m 表示长度单位米.) 七、(本题满分 12 分) 设函数 y  ( ) y x )在 (  ,  ) 内具有二阶导数，且 y  ,0 x  )( yx 是 y  ( ) y x 的反函数. (1) 试将 x  ( ) x y 所满足的微分方程 2 xd 2 dy  ( y  sin x )( dx dy 3 )  0 变换为 y  ( ) y x 满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y )0(  ,0 y  )0(  3 2 的解. 八、(本题满分 12 分) 设函数 ( ) f x 连续且恒大于零， ( xf 2  2 y  2 z ) dv     )( t )( tD )( tF 2 ( xf  2 ) dy  ， )( tG  2 ( xf  2 ) dy   )( tD t  1  2 ( xf ) dx ，其中  )( t ,{( ), xzyx 2  2 y  2 z  t 2 } ， )( tD  ,{( ) xyx 2  2 y  t 2 }. (1) 讨论 ( )F t 在区间 ,0(  内的单调性. ) (2) 证明当 0 t  时， )( tF  2  ( tG ).

九、(本题满分 10 分) 设矩阵 A       223 232 322      ， P  010 101 100           ， PAPB 1 * ，求 2B E 的特征值与特征向量，其中 *A 为 A 的伴随矩阵， E 为 3 阶单位矩阵. 十、(本题满分 8 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1 : l ax  2 by  3 c  ， 2 : l bx 0  2 cy  3 a 试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为  l 0 cx  ， 3 : .0 cba 2 ay  3 b 0  . 十一、(本题满分 10 分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数 X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、(本题满分 8 分) 设总体 X 的概率密度为 ) ,   2 e (2  x )( xf     x x   ,  ,  ,0 其中 0 是未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本 ˆ  min( XX , 1 ,  , nX ). 2 XX , 1 , 2  ，记 nX , (1) 求总体 X 的分布函数 ( )F x ; (2) 求统计量ˆ 的分布函数 )(ˆ xF ； (3) 如果用ˆ 作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 一、填空题参考答案

(1)【答案】 1 e 【详解】方法 1：求 ( ) lim ( )v x u x 型极限，一般先化为指数形式 lim ( ) u x ( ) v x  lim e ( )ln ( ) v x u x 然后求 lim ( )ln ( ) u x ，再回到指数上去． v x (cos x ) lim 0 x  1 1ln(  2 x ) ln cos ln(1 x  x 2 ) ln cos ln(1 x  x 2 ) lim e  0 x  , = lim 0 x  e 而故 lim 0 x  lncos x 2 ) ln(1 x   lim 0 x  ln(1 cos x 2 x   ln(1  ) 1)  lim 0 x  1  cos x 2 x (等价无穷小替换ln(1 x   ) )x   lim 0 x  原式=  e 1 2 x 1 2 2 x 2    (等价无穷小替换 1 2 1 cos  x  21 x 2 ) .1 e 方法 2：令 y  (cos ) x 1 ln(1  2 x ) ，有 ln y  ln cos x 2 ln(1 x  ) ，以下同方法 1． (2)【答案】 2 x  4 y  z 5 【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面 2 x  4 y  z 0  n  的法向量： 1 {2,4, 1}  ；在点 ( x 0 , y 0 , z 0 )  n 的法向量： 2  { ( , z x y 0 x 0 ), , z x y 0 y ( 0 ), 1}   {2 ,2 , 1}  y 0 x 0 曲面 2 2 x   z y  ，因此有 n 2  //n 由于 1 2 x 0 2 0  2 y 4 ,1 0  y 1  1  2 ，相应地有   z 0  x 2 0  y 2 0  .5 可解得， x 0  所求切平面过点 (1,2,5) ，法向量为： 2 n  {2,4, 1}  ，故所求的切平面方程为 (2 x (4)1  y  )2  ( z  )5  0 ，即 2 x  4 y  z 5

(3)【答案】1 【详解】将 )( xf  2 x (   x )  展开为余弦级数 ( ) f x  2 x    n  0 a n cos nx ( x    )  ，其中 a n  2    0 )( xf cos nxdx ．所以 a 2  2 x  2cos xdx   0 2  1     0 xd cos2 x  0   1 2 dx   1 [ cos2  x x 2sin x  1 [  2 x sin2 x  0   sin2 2  x  0 ] xdx  0  cos2   0 xdx ] 1 (4)【答案】 2 1     3 2     【详解】 n 维向量空间中，从基 n , 1  到基 , , 2 , 1  的过渡矩阵 P 满足 n , , 2 [ , n 1  ]=[ , , 2 n , 1  ] P ， , , 2 因此过渡矩阵 P 为： , P =[ , n  2 1 ,  1 ] [ n  1 2 , , , ] ．根据定义，从 2R 的基  1  1 0     ,   2      1   1   到基  1     1  ,  1   2     1 2    的过渡矩阵为 P =[ ]  , 2 1 1 [ 1  2 , ]  1 0     1 1   1   11   21     = 1 0    1   1   11   21     2 1     3 2   .   (5)【答案】 1 4 ．【分析】本题为已知二维随机变量 ( )X Y 的概率密度 ( , f x y ，求满足一定条件的概率 ) , ({ , YXgP )  ．连续型二维随机变量 ( } 0z )X Y 概率的求解方法 , ( , F x y ) ( , ) f u v dudv , y     x  ({ , YXgP )  0z }   此题可转化为二重积分 )  【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有 ( , g x y { YXP  }1  ( , f x y dxdy )  1 x y   1 2 0   dx  1  x 6x xdy ( , f x y dxdy ) 进行计算． z 0 y 1 O 1 2 y x x y  1 x

 1 2 0  (6 x  2 12 ) x dx  1 4 (6)【答案】 )49.40,51.39( ．【分析】可以用两种方法求解： (1) 已知方差 2  ，对正态总体的数学期望进行估计. 因为 1 个样本，样本均值 X 1 n   ，则 n  1 i X i X N ,  ( 1 n ) ，将其标准化，由公式，设有 n N (0,1) ( X N  ( X E X  ( ) D X ,1) ) ~ n 得： X  1 n ~ N )1,0( 由正态分布分为点的定义 XP { 1   n  u  2 1}   可确定临界值 u ，进而确定相应的 2 置信区间 ( x u   2  n , x u   2  n ) ． (2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值的置信区间问题．由教材上已 ( x u   2  n , x u   2  n ) ，其中  { } 1 P U u    2 ,  U N  (0,1) ，可以经求出的置信区间直接得出答案．【详解】方法 1：由题设，本题 16 .96.1 n  u 2 1 ,   40x 95.0 . ，可见 .05.0 查标准正态分布表知分位点 XP 根据 { 1  n  1.96} 0.95  ，有 40{  P 1 16  1.96} 0.95  ，即 {39.51 P   40.49} 0.95  ，故的置信度为 0．95 的置信区间是 )49.40,51.39( ．  方法 2：由题设， { P U u  1 95.0  ， } { P u    2  U u  } 2 ( u    2  2  2 ) 1 0.95,    ( u ) 0.975   2 查得 u 2 .96.1 将 1 ， 16 n  , 40x 代入 ( x u   2  n , x u   2  n ) 得置信区间 )49.40,51.39( 二、选择题 (1)【答案】 ( )C y

【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个(导函数与 x 轴交点的个数)； 0 x  是导数不存在的点．对 3 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点： 0 x  ．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 0 x  为极大值点．故 ( ) f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)． (2)【答案】 ( )D 【详解】方法 1：推理法由题设 lim  n  ，假设 lim n n 1n b b c n  存在并记为 A ，则 lim  n c n  b c lim n n b n  n  A ,这与 lim n c n    矛盾，故假设不成立， lim n n b c n  不存在．所以选项 ( )D 正确．方法 2：排除法  ， 1 n b n  n 1  n 取 na 确；，满足 lim  a  n n 0 , lim  b  n n 1 a , 而 1  1, b 1  0, a 1  ， ( b 1 )A 不正取 b n  n 1  n 取 na  ， 1 n nc ， n  ，满足 2 lim  b  n n 1 , lim c  n n  b ,而 1     ，( 0 1 c 1 )B 不正确； nc n  ，满足 2 lim  a  n n 0 , lim c  n n  ,而 lim  n a c n n  ， ( 1 )C 不正确． (3)【答案】 ( )A 【详解】由 lim 0, y   x 0 ( , f x y 2 ( x  ) xy  2 2 ) y  1  ( , f x y )  xy (1   )(  x 2  y 2 2 ) ，其中  ． 0  lim 0 x  0 y  由 ( , f x y 在点 (0,0) 连续知， (0,0) 0  ． ) f 取 y x ， x 充分小， 0 x  ，有 ( , f x y )  2 x (1   x 2 2 )(2 )  ； 0 取 y x  ， x 充分小， 0 x  ，有 ( , f x y )   x 2 (1   x 2 2 )(2 )  0 故点 (0,0) 不是 ( , f x y 的极值点，应选 ( ) )A ． (极值的定义)

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