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协方差与相关系数--ppt例子.ppt
第13讲 协方差与相关系数
矩、协方差矩阵
我们在前一章研究过二维随机变量各自的概率分
布特性以及与整体概率分布特性之间的关系. 我们知道联
合分布可以唯一确定边缘分布，反之不成立。前两讲我
们又介绍了随机变量的数学期望与方差，它们分别反映
了随机变量取值的平均水平和随机变量取值相对于均值
的分散程度，但有时需要考虑随机向量的数字特征与各
自数字特征之间关系，为此我们引入协方差、相关系数、
协方差与矩的概念。
第13讲 协方差与相关系数
矩、协方差矩阵
1. 协方差定义
设(X,Y)为二维随机变量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}
存在. 则称此为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y).
即 Cov(X, Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.
离散型
(Cov
连续型
(Cov
yxfYEyXEx
)
dxdy
,
YX
,
YX
[
)]
pYEyXEx
i
)][
(
(
)][
)]
)
)
i
j
(
,
(
i
ij
[
(
例1 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，
现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量
X
0,
1,
表示第一次取黑球,
表示第一次取白球.
讨论随机变量(X, Y)的协方差.
Y
0,
1,
表示第二次取黑球,
表示第二次取白球.
(
)
0
解 （1）无放回的情况
2
E X
3
2
3
E Y
1
3
1
3
2
3
2
3
(
)
1
1
0
Cov(
X Y
)
,
(0
2
3
)
(0
2
3
2
3
)
(0
(1
2
45
)
2
3
)
1
15
4
15
(0
2
3
(1
)
(1
2
3
2
3
)
(1
4
15
2
5
)
2
3
)
(
)
0
解 （1）无放回的情况
2
E X
3
2
3
E Y
1
3
1
3
2
3
2
3
(
)
1
1
0
例2 设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣ x2+y2≤1}上服
从均匀分布，求Cov(X,Y).
y
x
0
x
2 1
y
2
y
y
dxdy
1
1
dxdy
)]
(
0
x E X y E Y f x y dxdy
(
)
,
2
x
)][
2 1
解 由已知条件
x
2
1 ,
y
其它.
0,
(
,
f x y
)
2
1,
于是
E X
(
)
,
X Y
)
(
E Y
)
Cov(
xf x y dxdy
(
)
,
x
)
(
,
yf x y dxdy
[
xy
(
1
y
2 1
0
2
x
第13讲 协方差与相关系数
矩、协方差矩阵
,
1. 协方差定义
2. 协方差的计算公式
Cov(
E XY
{[
(
)][
E X E X Y E Y
(
(
(
{[
XE Y
E XY YE X
(
)
(
)
(
E X E Y
E XY
E Y E X
)
(
)
(
E X E Y
(
(
E X E Y
)]}
)
(
)X Y
(
E XY
)
)
(
)
(
(
)
)
)
(
E X E Y
(
)
E X E Y
)]}
(
)
)
)
)
例1 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，
现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量
X
Y
0,
1,
表示第二次取黑球,
表示第二次取白球.
0,
1,
表示第一次取黑球,
表示第一次取白球.
讨论随机变量(X, Y)的协方差.
解 （2）有放回的情况
2
2
E X
3
3
2
2
E Y
3
3
4
E XY
9
)
Cov(
5
1
9
E XY
)
,
X Y
1
3
1
3
0
)
(
(
(
)
)
0
0
1
1
(
4
9
(
(
E X E Y
)
)
0
第13讲 协方差与相关系数
矩、协方差矩阵
1. 协方差定义
2. 协方差的计算公式
3. 协方差的性质
(1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);
(2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0
Cov(
Cov(
,
)
X Y
)
,
X X
(
E XY
2
(
E X
)
)
(
(
)
E X E Y
2
)]
(
[
E X
Y X
,
) Cov(
(
D X
)
)
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