2020内蒙古考研数学二真题及答案.doc-资料库

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2020内蒙古考研数学二真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. （1）当 x  0 时，下列无穷小量中最高阶是（（A） xet 2 1dt sin xsin t 2dt （B） x ln1 t 2  dt sin t 2 dt （D）（C） 1cos x ） 0 0  0  0 【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。 2  ex 1  x2 0 （A）  xet 2 1dt （B）  x ln1 t 2 dt 0  ln1 x2  x （C）（ sin x sin t 2dt C ） 0  sinsin2 x  x2 （D）  1cos x  0 sint 2 dt  sin(1 cos x)2 sin x  1 x3 2 经比较，选（D）（2）函数 f (x)  1 ex1 ln 1 x (ex 1)(x  2) 的第二类间断点的个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有 x  1, 0,1, 2 ，由此 1 ex1 ln 1 x   1 e 2 lim f (x)  lim x1 x1 (ex 1)(x  2) 1 lim f (x)  lim x0 ex1 ln 1 x x0 (ex 1)(x 2) lim ln 1 x   ； 3(e1 1) x1   e1 lim ln(1 x)   1 ； 2e x 2 x0

1 ex1 ln 1 x lim f (x)  lim x1 x1 (ex 1)(x  2)  ln 2 1 e x1 1 lim ex1  0; ； 1 ex1 ln 1 x lim x1 (ex 1)(x  2) 1 lim ex1  ;  ln 2 1 e x1 lim f (x)  lim x2 x2 (ex 1ex1 ln 1 x 1)(x  2)  eln 3 (e 1) 2 1 x  2 lim x2   故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。（3）（3） 1 arcsin 0  x 1 x x dx  （）（A） 2 4 （B） 2 8 【答案】（A）（C）  4 （D）  8 x 【解析】令  sin t ，则 x  sin2 t ， dx  2 sin t cos tdt 1 arcsin  2 2sin t costdt   2 2tdt  t2 2   4 x dx  2 0 sin t cos t   t 0 0 x1 x 0 （4） f  x  x2 ln 1  x, n  3 时， f n 0  n  2! （A）  n! n 2 （B） n! n 2 （C）  n （D） n 2! n 【答案】(A)  xn 【解析】由泰勒展开式， ln(1 x)   n n1 故 f (n) (0) n! . n  2 2 ，则 x ln(1 x)    xn2 n n1    n3 xn n 2 ，  xy, xy  0  （5）关于函数 f x, y  x, y  0  y, x  0 给出以下结论 ① f x 0,0  1 ② f xy 0,0  1 ③ lim x, y0,0 f ( x, y)  0 ④lim lim f ( x, y)  0 y0 x0

正确的个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 【答案】（B）【解析】 f x 0,0  lim x0 f x,0  f 0,0 x  0  lim x0 x  0 x  1，①正确 f xy 0,0  lim y0  f f x 0, y x 0, 0  lim f x 0, y 1 , y  0 y0 y 而  lim x0 f x, y  f 0, y  lim xy  y  lim x 1  y 不存在，所以②错误； f x 0, y xy  0  x y , x  0  x , y  0  y , 从而x, y 0,0 时， lim f ( x, y)  0 ， x  0 x0 x x0 x x,y0,0 ③正确。 lim f  x, y     y , x0 x  0 y0 x0 0, xy  0或y  0 , 从而limlim f ( x, y)  0 ，④正确（6）设函数 f (x) 在区间[2, 2] 上可导，且 f '(x)  f (x)  0 .则 (A) f (2)  1 f (1) (B) f (0)  e f (1) (C) f (1) f (1)  e2 (D) f (2) f (1)  e3 【答案】(B) 【解析】构造辅助函数 F(x)  f (x) ex ，由 F '(x)  f '(x)ex  f (x)ex e2 x  意可知， F '(x)  0 ，从而 F(x)  f (x) ex 单调递增.故 F(0)  F(1) ，也即又有 f (x)  0 ，从而 f (0) f (1)  e .故选(B). f '(x)  f (x) ex f (0) e0  ，由题 f (1) e1 ，（7）设 4 阶矩阵 A  aij  不可逆，a12 的代数余子式 A12  0,1,2,3,4 为矩阵 A 的列向量组， A* 为 A 的伴随矩阵，则 A*x  0 的通解为（）（A） x  k11  k22  k33 ，其中k1,k2,k3 为任意常数（B） x  k11  k22  k34 ，其中k1,k2,k3 为任意常数

（C） x  k11  k23  k34 ，其中k1,k2,k3 为任意常数（D） x  k12  k23  k34 ，其中k1,k2,k3 为任意常数【答案】（C）【解析】由于A 不可逆，故r A  4 ， A  0.由 A12  0  r A* 1，r A  4 1  3 ，则 r  A  3 ， r  A*  1，故 A*x  0 的基础解系中有4 1  3 个无关解向量。此外， A*A  A E  0 ，则 A 的列向量为 A*x  0 的解。则由 A  0 ，可知,, 线性 12 1 3 4 无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 A*x  0 的通解为 x  k   k  k  ，即选 1 1 2 3 3 4 项（C）正确。（8）设 A 为 3 阶矩阵，1,2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3 为 A 的属于特征值 1的特征向量，则 P1AP  0 1 0 的可逆矩阵 P 为（） 1  0  0 0 0  1  （A）1 3,2,3 （C）1 3,3,2 【答案】（D）（B）1 2,2,3 （D）1 2,3,2 【解析】设 P  (, 2 1 3 ,) ，若 P1AP  0 1 0 ，则, 应为 A 的属于特征值 1 1  0  0 0 0  1  1 3 的线性无关的特征向量， 2 应为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量。这里根据题设，1,2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则1  2 也为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因3 为 A 的属于1的特征向量，则3 也为 A 的属于特征值1的特征向量。且 0 0 1 (  , ,)  (,,) 1 3  1 2 3 1 2 2 0 1 0 1 可逆， 1,由于1     0 1 0  0 1 0 0 0 故r(1  2 , 3 ,2 )  r(1,2,3)  3,即1  2, 3,2线性无关

0 综上，若 P  (,,)  ( , , ) ，则 P1AP  0 1 0 .  1  1  0  0 0 1 2 3 1 2 3 2 因此选项（D）正确。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上. 设（9）      x  y  lnt  t2 1 t 2 1 d 2 y 2 d x t 1  ，则  【答案】 2 1 t t2 1 t  t2 1  t 2 1 t  1 t   1 t 2    t2 1 t t2 1 t3 d 2 y d 2 x d 2 y d 2 x (10) 【解析】 dy  dx dy dx  dt dt d  1   t  dt     dx dt  dy dx   1 1 t  1 0 dy y 2 2  9 2 x 1dx  3  1 2 【答案】【解析】交换积分次序，原式 2 1 x 0 0 x3 1dy  1 x2   dx  1 1 x3 1d x3 1  1  2 x3 12 1 0 3 0 x3 1dx 3 3 0 3  22 9 1 2 (11) 设 z  arctan xy  sin x  y ，则 dz 0,  【答案】1 dx  dy 【解析】 z x  y  cos x  y 1 xy  sin x  y2 ,   z y  x  cos x  y 1 xy  sin x  y2  

将0, 带入得 z x  1, z y  1 因此dz 0,  1 dx  dy (12) 斜边长为 2a 的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g ，水的密度为，则该平板一侧所受的水压力为 . 【答案】 1 ga3 3 【解析】以水面向右为 x 轴，以垂直于三角板斜边向上为 y 轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为 y  x  a ，取微元dy ，则此时则一侧的压力 F  dF   y2xgdy  2gy( y  a)dy ， 0 2gy( y  a)dy  g( 2 y3  ay2 ) 0  1 ga3 . a 3 3 a （13）设 y  y x 满足 y''  2y'  y  0 ，且 y0  0, y' 0 1，则  y xdx  【答案】1 【解析】由方程可得特征方程为2  21  0, 则特征方程的根为  1,  1, 0 1 2 则微分方程的通解为 y  c e x  c xex ，由 y0  0, y' 0 1 可得 c  0,c  1 ，则 1 2 1 2 y x  xe x ，则  y x dx    xe xdx 1 0 0 （14）行列式 a 0 1 1 0 a 1 1 1 1 a 0 1 1 0 a  【答案】a4  4a2 【解析】 a 0 1 1  a 0 a 1 1 1 1 1 1 1 0 a 0 a 0 a  2a 2 a 2a  a4  4a2 a  a 1 1 0 0 a a  1 1 1 0 a 0 a 1 a 1 a  a 2a  a3  2a2 a 1 1

三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）求曲线 y  x1 x 1 xx x  0 的斜渐近线【答案】 y  1 x  e 1 2e y 【解析】由k  lim  lim x x x (1 x)x xx  1 e 1  lim x (1 1)x x x ln x b  lim ( y 1 e x  e1 lim x(x ln x x)  lim ( x e x1 x (1 x)x  1 x)  lim x(e x 1) 1  t e1 lim ln 1 1 t t 2 1 x x t0 x 1 x  1)  e1 lim x(e e x x ln x 1 1 x 1)  t 洛e1 lim 1 t0 2(1 t)  1 . 2e 故斜渐近线方程为： y  1 x  1 . 2e e （16）（本题满分 10 分）已知函数 f  x 连续且lim x0 f  x  1，g x  1 f  xt dt ，求gx 并证明 gx 在 x  0 x 0 处连续.  1 【答案】 g ' x   2   f (x)  1  x x x2 0 f udu x  0 x  0 f x x 【解析】因为lim x0 g  x  1 f  xtdt xt  u  1  x f u du ，当 x  0 时， g(0)  0 .故  1 ，并且 f (x) 连续，可得 f (0)  0, f ' (0)  1 . 0 又 x 0  0 gx  1 x  x 0 x  0 f u  du x  0 ，

1  x f u  du  0 g '0  lim g  x  g 0  lim x 0 x 0 0 f udu x0 x x2  lim x0 f (x) 2x x0  lim x0 x  0 导数定义 1 2 '  1  2 则 g  x    f (x)  1  x x x2 0 x  0 x  0 ，又因为 f udu lim g ' x  lim f (x)  1 f u  du x x x0 x2 0  lim f (x)  lim 1 x0 x2 0  1 1  1  g '0 x0 x x 2 2 f udu x0 所以 g x 在 x  0 处连续（17）（本题满分 10 分）求 f x, y  x3  8y3  xy 极值【答案】 f极小( 1 1 , 6 12 )   1 216 【解析】令  2 '  fx (x, y)  3x  y  0 f ' (x, y)  24y2  x  0  y A   当驻点为(0,0) 时， B   C   A  '' 1 1 ( , 6 12   xx '' 1 1  f 当驻点为 ( 1 1 , 6 12 ) 时， B  fxy (  '' C  f yy (   , 6 12 1 1 , 6 12 x  0 得  y  0  x  1  6 或 1  y    12 . f ''(0, 0)  0 xx f '' (0, 0)  1，则 AC  B2  0 ，故(0, 0) 不是极值点. xy f '' (0, 0)  0 yy ) 1 )  1 ，则 AC  B  0, A 1  0 ，故 ( 2 1 1 , 6 12 ) 为极 )  4

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