2003年天津高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2003 年天津高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P. 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 )( kP n  k PC k n 1(  P ) kn  球的表面积公式 S=4πR2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 4 R V  3 3 其中 R 表示球的半径一、选择题：每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 1  3( 3 i 2) i   （） A． 1  4 3 4 i B． 1  4 3 4 i C． 1  2 3 2 i D． 1  2 3 2 i (   2 ),0, cos x  4 5 2．已知 x 7 24 A． 3．设函数 )( xf      1 2 , x x  0 , 则 tan 2 x  （） B．－  x 2  ,1 x  7 24 ,0 若 C． 24 7 D．－ 24 7 1) ( 0 xf ，则 x0 的取值范围是（） A．（－1，1）； B．（－1，+∞）；C．（－∞，－2）∪（0，+∞）；D．（－∞，－1）∪（1，+∞）。 4．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP  OA  (  AB AB | |  AC AC | |   ,0[  ). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 A．外心 B．内心）（ C．重心 D．垂心 5．函数 y  ln A． y  C． y  x x e e x x e e x x     1 1 , x  ,1(  ) 的反函数为 1 1 , x  ,0(  )   1 1 , x  ( )0, B． y  x x e e   1 1 , x  ,0(  ) D． y  x x e e   1 1 , x  ( )0, （） 6．棱长为 a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（） A． 3a 3 B． 3a 4 C． 3a 6 D． 3a 12

7．设 a  ,0 )( xf  2 ax  bx  c ，曲线 y  )(xf 在点 ( xP , 0 ( xf 0 )) 处切处的倾斜角的取值范围为 ,0[  ] 4 ，则 P 到曲线 )(xf 对称轴距离的取值范围为（） y  ]1,0[ a A． 8．已知方程 2 ( x  2 A．1 B． ] 1,0[ 2 a 2 nx   2 )( xmx  B． 3 4 C． |,0[ b 2 a |] )  0 的四个根组成的一个首项为 C． 1 2 D． 3 8 1 4 D． |,0[ 1 b  2 a |] 的等差数列，则 |  | nm  （） 9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ),0,7( 直线 y  x 1 与其相交于则此双曲线的方程是（） 2 M、N 两点，MN 中点的横坐标为 , 3 A． 2 x 3 2  y 4  1 B． 2 x 4 2  y 3  1 C． 2 x 5 2  y 2  1 D． 2 x 2 2  y 5  1 10．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3 和 P4（入射角等于反射角）设 P4 的坐标为（x4，0），若 2 ，则 tan 的取值范围是（），1） A．（ 11． lim n  1 3 2 C 2 ( Cn 2 C  3 1 C  2 1 3 2 C  4 1 C  4 A．3 ） 1 B．  x 4  1( 2, 3 3 2 C    n 1 C    n 1 3 B． C． 2( 5 1, 2 ) D． 2( 5 2, 3 ) )  （） C． 1 6 D．6 12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A．3π B．4π C． 33 D．6π 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上. 13． ( 2 x  1 2 x 9 ) 展开式中 9x 的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（以数字作答） 16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥面 MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

P M N ① P N M M P ② M N P ④ ③ P N N M ⑤ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知函数 )( xf  sin2 x (sin x （1）求函数 )(xf 的最小正周期和最大值； cos x ) .  （2）在给出的直角坐标系中，画出函数 y  )(xf 在区间 [   ] 2 2 , y 上的图象. 18．（本小题满分 12 分） O x 如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. （Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离. C 1 A 1 B 1 19．（本小题满分 12 分）设 0a ，求函数 )( xf  x  ln( )( xax   ,0(  ) 的单调区间. 20．（本小题满分 12 分） A A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A1，A2，A3，B 队队员是 B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 D E C G B A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3 2 3 2 5 2 5 1 3 3 5 3 5 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η （1）求ξ、η的概率分布；（2）求 Eξ，Eη.

21．（本小题满分 14 分）已知常数 a>0，向量 c=（0，a），i=（1，0），经过原点 O 以 c+λi 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i－2λc 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分 14 分）设 0a 为常数，且 a n n 1   3 （1）证明对任意 n  ,1 a n  （2）假设对任意 1n 有 a n a n  2 1 5 a  n 3[ ( Nn  ) 1   )1( n 1   n ]2  )1( n n  2 a ； 0 n ，求 0a 的取值范围. 1

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分 13． 21 2 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分 12 分. 解：（1） )( xf  sin2 2  x sin2 x x 1  cos 1  2 (sin 2 x cos  cos 2 x sin cos  4  2 x  ) 4 2sin x 1  2 sin( 2 x   ) 4 所以函数 )(xf 的最小正周期为，最大值为 1 2 . （2）由（1）知  x y  3 5  8 8 1 1 3 8  8 1 8  2 1 2 1 故函数 y  )(xf 在区间 [   ] 2 2 , 上的图象是 18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一：（Ⅰ）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， A 1 A C 1 D C K E G F B 1 B , ED  连结 2 EF 1 , 是 , CC 分别是 ADB GDE  1 3 FD FG    BA 1 的重心 , 的中点又 , G  DC DF 平面 ABC ,   . 在直角三角形 CDEF EFD 中为矩形 2 FD ,  EF ,1  FD .3  4( 分 ) 1  2  于是 ED  ,2  FC  CD   sin EBG  EG  3 AB  6 3   ,2 EG EB . 6 3 BA 1 2 3 ,22 1 3   ,32 EB  .3 .  BA 1 与平面 ABD 所成的角是 arcsin 2 3 .

（Ⅱ）连结 A1D，有 V A 1  AED  V EAAD 1  ED ,  AB ED  1平面 ED ABA  EF , 又 EF  AB  F , , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h，则 S  AED h  S  ABA 1  ED  KA 1  62 3 . 故 A1 到平面 AED 的距离为 62 3 . 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分 12 分.  (1 ax  x  )0 . 解：  )( xf  当 a  ,0 x  1 2 0 x 时 f  )( x  0 x 2 f  )( x  0 x 2 2( a  )4 ax  2  0 . 2( a  )4 ax  2  0 （i）当 1a 时，对所有 0x ，有 2 x  2( a  )4  2 a  0 . 即 f  x )(  0 ，此时 )(xf 在 ,0(  内单调递增. ) （ii）当 1a 时，对 1x ，有 x 2  2( a  )4 ax  2  0 ，即 f  x )(  0 ，此时 )(xf 在（0，1）内单调递增，又知函数 )(xf 在 x=1 处连续，因此，函数 )(xf 在（0，+  ）内单调递增（iii）当 0  a 时，令 1 f  x )(  0 ，即 2 x  2( a  )4 ax  2  0 . 解得 x  a 2 12  a , 或 x  a 2 12  a . 因此，函数 )(xf 在区间 2,0(  a 12  a ) 内单调递增，在区间 2(  a 12  a ,  ) 内也单调递增. 令 f  )( x  ,0 即 2 x  2( a  )4 ax  2  0 ，解得 2  a 12  a a x 2 12  a . 因此，函数 )(xf 在区间 （ 2 a 12-  a 2,  a 12  a ) 内单调递减. 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分 12 分）. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为 3，2，1，0. ( P )3 ( P )2   2 3 2 3 2 5 2 5 2 5 3 5 8 75 2 5 1 3  2 5 2 3 3 5 2 5 28 75

( P )1  1 3 2 5 3 5 1 3 3 5 2 5 ， 2 5 3 5 3 5 3 5 3 5  2 3 1 3 1 2 2   . S  ABA  1 62 3 ( P )0 又 S AEB  1 h 2  6 2 3 25 1 4 ABAA 1   2 ， S AED   1 2 AE  ED  ， 6 2 解法二：（1）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a，则 A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（  GE  GE   BA 1  , ( aa 3 3 BD  2, ), 3 2 2 a 3 ),2,2,2(  2 a 3 BD 2 3   BG  cos BGA 1  BA 1 BA 1  || BG BG | ）. 2, a 3 )1,2,0(  1, 3  a ，，解得 a=1. ), 0  2( 4, 1,  3 3 3 3/14 132  3  |  . 7 3 21 A1B 与平面 ABD 所成角是 arccos z C 1 D C K E G F A 1 A x . 7 3 B 1 B y （2）由（1）有 A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）   0   ED  01,1()1,1,1( AE AA ，）， 1  ED 平面 AA1E，又 ED  平面 AED. ∴平面 AED⊥平面 AA1E，又面 AED 面 AA1E=AE， ∴点 A 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上. ED   )0,1,1()2,0,0(   0

设 AK  AE ，则 AAKA 1  1  AK (  ，即 2   0 ，由 KA 1  KA 1  AE  2(  3 0 2, 3 4,  3 ) 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)= P(η=2)=P(ξ=1)= （2） 3 E 8 75 2 5 2  , P(η=3)=P(ξ=0)= 28 75 21  5 0 3 25  22 15 8 75 3 25 . , , )2   2 . 3 解得 , P(η=1)=P(ξ=2)= 28 75 ；因为ξ+η=3，所以 E   3 E   23 15 . 21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分 12 分. 解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值. ∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）. 因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为和 . y 2 ax a y  ax 消去参数λ，得点 ,( yxP ) 的坐标满足方程 ( ayy  )  22 xa 2 . 整理得 2 ) ( y  ( a 2 2 )  a 2 2 x 1 8 ……①  .1 因为 ,0a 所以得：（i）当 2a 2 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ii）当 0  a 2 2 时，方程①表示椭圆，焦点（iii）当 2a 2 定点. 时，方程①也表示椭圆，焦点 E E 1( 2 1,0( 2 1 2  a 2 a , 2 和 ) F 1(  2 ( a  a 2  1 2 和 )) F  1 2 1,0( 2 a 2 a , 2 ) 为合乎题意的两个定点； ( a  a 2  1 2 )) 为合乎题意的两个 22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分 14 分. （1）证法一：（i）当 n=1 时，由已知 a1=1－2a0，等式成立；（ii）假设当 n=k（k≥1）等式成立，则 a k 3[ k  )1( k 1  k ]2  ,2)1( 0 a k 那么 a k 1   k 3  2 a k  k 3   1 5 2 5 3[ k 3[  )1( k 1   2)1( k k 1  a 0 k 1   2)1( k k 1  ]  )1( k 1  2 1 ak  . 0  1 5 k ]2 也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何 n∈N，成立. 证法二：如果设 a n n 1   3  (2 a n 1   a 3 n 1  ), 用 a n  3 n 1   2 a n 1  代入，可解出 1a 5 .

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