1998年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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1998 年北京高考理科数学真题及答案一、选择题（共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分） 1．（4 分）sin330°等于（） A． B． C． D． 2．（4 分）函数 y＝a|x|（a＞1）的图象是（） A． C． B． D． 3．（4 分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（） A．（x+2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 B．（x﹣2）2+y2＝4 D．（x﹣4）2+y2＝16 4．（4 分）两条直线 A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0 垂直的充要条件是（） A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C． D． 5．（4 分）函数 f（x）（ x≠0）的反函数 f﹣1（x）＝（） A．x（x≠0） B．（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．（x≠0） 6．（4 分）若点 P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（） A． * B．

C． D． 7．（4 分）已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（） A．120° B．150° C．180° D．240° 8．（4 分）复数﹣i的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是（） A． i B． i C．± i D．± i 9．（4 分）如果棱台的两底面积分别是 S，S′，中截面的面积是 S0，那么（） A．2 B．S0 C．2S0＝S+S′ D．S0 2＝2S'S 10．（4 分）向高为 H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 V与水深 h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（） A． C． B． D． 11．（4 分）3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士．不同的分配方法共有（） A．90 种 B．180 种 C．270 种 D．540 种

12．（4 分）椭圆 1 的焦点为 F1 和 F2，点 P在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（） A．7 倍 B．5 倍 C．4 倍 D．3 倍 13．（4 分）球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这 3 个点的小圆的周长为 4π，那么这个球的半径为（） A．4 B．2 C．2 D． 14．（4 分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（） A．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin 15．（4 分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前 n项和 Sn满足 Sn ，那么 a1 的取值范围是（） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 16．（5 分）已知圆 C过双曲线 1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是． 17．（5 分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中 x10 的系数为（用数字作答）． 18．（5 分）如图，在直四棱柱 A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件时，有 A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

19．（5 分）关于函数 f（x）＝4sin （x∈R），有下列命题： ①由 f（x1）＝f（x2）＝0 可得 x1﹣x2 必是π的整数倍； ②y＝f（x）的表达式可改写为 y＝4cos ； ③y＝f（x）的图象关于点对称； ④y＝f（x）的图象关于直线 x 对称．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 20．（10 分）在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，设 a+c＝2b，A﹣C ．求 sinB 的值．以下公式供解题时参考： sinθ+sin∅ ＝2sin cos ， sinθ﹣sin∅ ＝2cos sin ， cosθ+cos∅ ＝2cos cos ， cosθ﹣cos∅ ＝﹣2sin sin ． 21．（12 分）如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1⊥l2，点 N∈l1．以 A，B为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM| ，|AN| ＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程． 22．（12 分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，

污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出．设箱体的长度为 a米，高度为 b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b的乘积 ab成反比．现有制箱材料 60 平方米．问当 a， b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）． 23．（12 分）已知如图，斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC垂直，∠ABC＝90°， BC＝2，AC＝2 ，且 AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求侧棱 A1A与底面 ABC所成角的大小；（2）求侧面 A1ABB1 与底面 ABC所成二面角的大小；（3）求顶点 C到侧面 A1ABB1 的距离． 24．（12 分）设曲线 C的方程是 y＝x3﹣x，将 C沿 x轴、y轴正向分别平行移动 t、s单位长度后得曲线 C1．（1）写出曲线 C1 的方程；（2）证明曲线 C与 C1 关于点 A（，）对称；（3）如果曲线 C与 C1 有且仅有一个公共点，证明 s t且 t≠0． 25．（12 分）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1+b2+…+b10＝145．（1）求数列{bn}的通项 bn；（2）设数列{an}的通项 an＝loga（1 ）（其中 a＞0，且 a≠1），记 Sn是数列{an}的前 n项和．试比较 Sn与 logabn+1 的大小，并证明你的结论．

1998 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分） 1．（4 分）sin330°等于（） A． B． C． D．【解答】解：∵ 故选：B． 2．（4 分）函数 y＝a|x|（a＞1）的图象是（） A． C． B． D．【解答】解：法一：由题设知 y ，又 a＞1．由指数函数图象易知答案为 B．法二：因 y＝a|x|是偶函数，又 a＞1．所以 a|x|≥1，排除 AC．当 x≥0，y＝ax，由指数函数图象知选 B．故选：B． 3．（4 分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（） A．（x+2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 B．（x﹣2）2+y2＝4 D．（x﹣4）2+y2＝16 【解答】解：将原极坐标方程ρ＝4cosθ，化为：

ρ2＝4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0，即 y2+（x﹣2）2＝4．故选：B． 4．（4 分）两条直线 A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0 垂直的充要条件是（） A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C． D．【解答】解：直线 A1x+B1y+C1＝0 的方向向量为（﹣B1，A1），直线 A2x+B2y+C2＝0 的方向向量为（﹣B2，A2），两条直线 A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0 垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为 0，即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）＝0 可得 A1A2+B1B2＝0 故选：A． 5．（4 分）函数 f（x）（ x≠0）的反函数 f﹣1（x）＝（） A．x（x≠0） B．（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．（x≠0）【解答】由 y 得 x 且 y≠0，所以反函数 f﹣1（x）且 x≠0 故选则 B 6．（4 分）若点 P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（） A． C． * B． D．【解答】解： ∵ ⇒ ⇒

故选：B． 7．（4 分）已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（） A．120° B．150° C．180° D．240° 【解答】解：圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么母线和底面半径的比为 2，设圆锥底面半径为 1，则圆锥母线长为 2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为 2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即 180° 故选：C． 8．（4 分）复数﹣i的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是（） A． i B． i C．± i D．± i 【解答】解：∵﹣i＝cos isin ，其立方根是 cos isin ， k∈0，1，2，即 i， i， i，故选：D． 9．（4 分）如果棱台的两底面积分别是 S，S′，中截面的面积是 S0，那么（） A．2 B．S0 C．2S0＝S+S′ D．S0 2＝2S'S 【解答】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为 2r，上部三棱锥的高为 a，根据相似比的性质可得：，可得：消去 r，可得 2 故选：A．

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