2016广西考研数学一真题及答案.doc

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2016 广西考研数学一真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分   0 1  1  a x dx x b  收敛，则（）   A a  1 b 且  1   B a  1 b 且  1   C a  1 且 a b   1   D a  1 且 a b   1 （2）已知函数  f x      2 x  ln , x x  1 , x 1   1 ，则   f x 的一个原函数是（）    A F x      C F x     x    x     x    x    x  2 1 1 , x    1 , ln x x    2 1 , 1 x    ln 1 1, x    1   x 2 2    B F x   1        D F x   x  1    2 1 1 , x x     ln 1, 1 x x     2  1 , x x       ln 1 x x     x  1 1 1, x  1 y （3）若  1  个解，则  q x  （）  2 , y   1  2 x 2   1 2  是微分方程 x y     p x y   q x  的两   A x  3 1  2 x   B    3 1 x  2 x   C  x x  2 1  D   x x  2 1 （4）已知函数  f x       0 , x x 1 n n  1  ,   x 1 1 n , n  1,2,  ，则（）（A） 0 x  是   f x 的第一类间断点（B） 0 x  是   f x 的第二类间断点（C）   f x 在 0 x  处连续但不可导（D）   f x 在 0 x  处可导（5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（）（A） TA 与 TB 相似（B） 1A 与 1B 相似（C） A A 与 T B B 相似（D） T A A 与 1 B B 相似 1 （6）设二次型  , f x x x 3 , 1 2   2 x 1  2 x 2  2 x 3  4 x x 1 2  4 x x 1 3  4 x x 2 3 ，则  f x x x  在 2 , ,  1 2 3 空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（C）柱面

  NX 2 ~ , （7）设随机变量（A） p 随着的增加而增加（C） p 随着的增加而减少 0 ，记  2  XPp （B） p 随着的增加而增加（D） p 随着的增加而减少，则（）（8）随机试验 E 有三种两两不相容的结果 AAA 1 3 , , 2 ，且三种结果发生的概率均为 1 3 ，将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 1A 发生的次数，Y 表示 2 次试验中结果 2A 发生的次数，则 X 与Y 的相关系数为（）二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 0  tx （9） lim 0 x   1ln 1  （10）向量场  t  cos sin 2 x  dt t  __________ , zyxA ,    x  y  iz  xyj  zk 的旋度 rotA  _________ （ 11 ）设函数  vuf , 可微， z   yxz , 由方程  x  1 z   2 y   2 xfx  yz , 确定，则 dz 1,0    _________ （12）设函数   xf  arctan x  x ax 2 1  ，且   1  0'' f ，则 a ________ （13）行列式  0 0 4  0 1   2 0 0 1  1   1   0 3 x 为来自总体  ____________. 2 n ,..., , x x 2 ,N  的简单随机样本，样本均值 9.5 x  ，参数的（14）设 1 置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0.95 的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）已知平面区域 D       ,  r 2   r 计算二重积分 xdxdy .  D  2 1 cos    ,   2       2  ，（16）（本题满分 10 分）设函数 ( ) y x 满足方程 '' y  '2 y  ky  其中 0 0, 1k  .   证明：反常积分  0 ( )y x dx 收敛；

  若 y (0) 1, y ' (0) 1,  求  0 ( )y x dx 的值. （17）（本题满分 10 分）设函数 ( , f x y 满足 ) ) ( , f x y  x   (2 x  1) e 2 x y  , 且 (0, f y )   y 1, L t 是从点 (0,0) 到点 (1, )t 的光滑曲线，计算曲线积分 ( ) I t   tL ) ( , f x y  x  dx  ) ( , f x y  y  dy ，并求 ( ) I t 的最小值 2 （18）设有界区域  由平面  12 dydz  计算曲面积分  x x I     y 2 z  2 与三个坐标平面围成， 为  整个表面的外侧，  2 ydzdx  3 zdxdy （19）（本题满分 10 分）已知函数 ( ) f x 可导，且 (0) 1  ， f 0  f '( ) x  ，设数列 nx 1 2 满足 1 x n   ( f x n )( n  1,2...) ，证明：（I）级数   x n 1  ( n 1  x n ) 绝对收敛；（II） lim n x n  存在，且 0 lim   n x n 2  . （20）（本题满分 11 分）设矩阵 2 1 a   当 a 为何值时，方程 AX B 无解、有唯一解、有无穷多解？ 1    1 ,   a  1  a 1 1 2 1            A B   2 a 2       1 （21）（本题满分 11 分）已知矩阵 A  0 2 0      1 1  3 0  0 0      （I）求 99A （II）设 3 阶矩阵 B   3 ( ,  , 2 ) 满足 2B BA ，记 100 B  (    1 3 , , 2 ) ,   分别表 , 将 1 2 3 示为 1 ,   的线性组合。 , 2 3 （22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 ( )X Y 在区域 , D    , x y  0   x 1, x 2   y  x 上服从均匀分布，令 U 1,    0,  X Y  X Y 

, )X Y 的概率密度；（I）写出 ( （II）问U 与 X 是否相互独立？并说明理由；（III）求 Z U X  的分布函数 ( )F z .  3 x （23）设总体 X 的概率密度为   , xf  3  2 0,     其他,0  x  ，其中   ，0 为未知参数， XXX , , 2 1 为来自总体 X 的简单随机样本，令 T  max 3  （1）求T 的概率密度（2）确定 a ，使得 aT 为的无偏估计参考答案： XXX , , 2 1 3 。

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