2019年天津卷文科数学高考真题及答案.doc-资料库

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：第Ⅰ卷 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 ( P A B  )  ( ) P A  ( P B ) . ·圆柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式 V  1 3 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合 { 1,1,2,3,5},   A B  {2,3,4}, C   { x R |1 x  3} ，则 ( A C  )  B  （A）{2} （B）{2，3} （C）{-1，2，3} （D）{1，2，3，4} （2）设变量 x，y 满足约束条件 2 0, 2 0, x         x   x   y  y y   1, 1, 则目标函数 z   4 x  的最大值为 y （A）2 （B）3 （C）5 （D）6 （3）设 x  R ，则“0 5x  ”是“| x   ”的 1| 1 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（A）5 （B）8 （C）24 （D）29 （5）已知 a  log 7, 2 b  log 8, 3 c  0.3 0.2 ，则 a，b，c 的大小关系为   （A） c b （c）b c   a a （B） a b c   （D） c a b   （6）已知抛物线 2 y x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线 4 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的两条渐近线分别 0) 交于点 A 和点 B，且| AB | 4 |  OF | （O 为原点），则双曲线的离心率为（A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5 （7）已知函数 ( ) f x  A sin( )(    x A  0,   0,|   是奇函数，且  | π) f x 的最小正周期为π，将  y   f x  的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为   g x . 若 g    π 4     2 ，则 f    3π 8    

（A）-2 （B） 2 （C） 2 （D）2 （8）已知函数 ( ) f x     则 a 的取值范围为 x , 0   x 1, x  1. 2 1 , x 若关于 x 的方程 ( ) f x   1 4 ( x a a   R 恰有两个互异的实数解， ) （A）    5 9, 4 4    （B）    5 9, 4 4    （C）    5 9, 4 4     {1} （D）    5 9, 4 4     {1} 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．（9）i 是虚数单位，则 5 i  1 i  的值为__________. （10）设 x R ，使不等式 23 x x   成立的 x 的取值范围为__________. 2 0 （11）曲线 cos  y x  在点 (0,1) 处的切线方程为__________. x 2 （12）已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. （13）设 0,  x y  0, x  2 y  ，则 4 y  1) ( x  1)(2 xy 的最小值为__________. （14）在四边形 ABCD 中， AD BC AB ∥ ,  2 3, AD  5,   A 30  ，点 E 在线段CB 的延长线上，   且 AE BE ，则 BD AE  __________. 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分 13 分）

2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 , 情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. , A B C D E F .享受 , , , 员工项目子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人 A ○ × × ○ × ○ B ○ × × ○ × ○ C × ○ × × ○ × D ○ × ○ × × × E × ○ × ○ × × F ○ ○ × ○ × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率. （16）（本小题满分 13 分）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .已知 b c   ，3 sin 2 a c B  4 sin a C . （Ⅰ）求 cos B 的值； πB  （Ⅱ）求sin 2   6   的值. （17）（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P ABCD  中，底面 ABCD 为平行四边形， PCD△ 为等边三角形，平面 PAC  平面 PCD ， PA CD CD  ,  2, AD 3  .

（Ⅰ）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH∥平面 PAD ；（Ⅱ）求证： PA  平面 PCD ；（Ⅲ）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. （18）（本小题满分 13 分）设{ }na 是等差数列，{ }nb 是等比数列，公比大于 0，已知 1 a  b 1  3, b 2  , a b 3 3  4 a 2 3  . （Ⅰ）求{ }na 和{ }nb 的通项公式；（Ⅱ）设数列{ }nc 满足 c n 1 n   ，为奇数, ，为偶数.求 b n  2 n （19）（本小题满分 14 分） a c 1 1  a c 2 2    a c 2 n 2 ( n n *  N ) . 2 2 x a  2 2 y b  1( a 设椭圆原点）.   的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已知 3 | 0) b OA | 2 |  OB | （O 为（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点 F 且斜率为 3 4 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x=4 上，且OC AP∥ ，求椭圆的方程. （20）（本小题满分 14 分）设函数 ( ) f x  ln ( x a x   1)e x ，其中 a R . （Ⅰ）若 a≤0，讨论 ( ) f x 的单调性；（Ⅱ）若 0 a  ， 1 e （i）证明 ( ) f x 恰有两个零点；（ii）设 0x 为 ( ) f x 的极值点， 1x 为 ( ) f x 的零点，且 1 x x ，证明 0 x 3 0 x 1 2  .

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分. （1）D （5）A （2）C （6）D （3）B （7）C （4）B （8）D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分. （9） 13 （12）  4 三.解答题 21, 3    （10）（13）    9 2 （11） +2 x y  2=0 （14） 1 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分. 解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为 6 : 9 : 10 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人. （Ⅱ）（i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 { , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }, A B A C A D A E A F B C { , },{ , },{ , },{ , B D B E B F C D C E { , }, { , } }, C F , { , },{ , },{ , } D E D F E F ，共 15 种. （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 { , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , A B A D A E A F E B F B D B 所以，事件 M 发生的概率 ( P M  ) 11 15 . { , },{ , },{ , },{ , }, C E C F D F E F ，共 11 种. } （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分 13 分.  b sin B . 又因为 b ，得 sin c sin C b c   ，得到 2 a C c  sin 4 3 B ，又由3 sin c B  4 sin a C ，， c a 2 3 . 由余弦定理可得 b a （Ⅰ）解：在 ABC△ 中，由正弦定理得 3 sin b C  4 sin a C ，即 3 b 4 a cos B  2 a 2 b 2 c   2 ac  2 a 2 a  4 9 2  2 a a  16 9 a  2 3   1 4 .

（ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可得 sin B  1 cos  2 B  15 4 ，从而 sin 2 B  2sin cos B B   15 8 ， cos 2 B  2 cos B  sin 2 B   ，故 7 8  sin 2   B    6   sin 2 cos B  6  cos 2 sin B  6   15 8  3 2     7 1 8 2 3 5 7  16 . （17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分 13 分.  ，BH DH .又由 BG = PG ，故GH PD∥ .又因为GH  （Ⅰ）证明：连接 BD ，易知 AC BD H 平面 PAD， PD  平面 PAD，所以GH∥平面 PAD. （Ⅱ）证明：取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DN⊥PC，又因为平面 PAC  平面 PCD，平面 PAC  平面 PCD PC CD DN D ，所以 DN  平面 PAC，又 PA  平面 PAC，故 DN PA .又已知 PA CD ，  ，所以 PA  平面 PCD. （Ⅲ）解：连接 AN，由（Ⅱ）中 DN  平面 PAC，可知 DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所成的角，因为 PCD△ 为等边三角形，CD=2 且 N 为 PC 的中点，所以 DN  3 .又 DN AN ，在 Rt AND△ 中， sin  DAN  DN AD  3 3 . 所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 . （18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.

3 q （Ⅰ）解：设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q .依题意，得 2 3 q 3 2 , d   15 4 , d      解得 n a 故 3, 3,   3 3( d    q 所以， na 的通项公式为 na n ， nb 的通项公式为 3 nb  3n . n 1) 3 , n   b n 3 3   n 1   n 3 . a c （Ⅱ）解： 1 1  a c 2 2   a c 2 2n n   a 1  a 3  a 5    a 2 n 1     a b 2 1  a b 4 2  a b 6 3    a b 2 n n      n 3   1) ( n n  2  6     1 (6 3   12 3  2  18 3  3    6 n  n 3 )  2 3 n   1 6 1 3 2 3    2  n   3 n  . 记 nT 2 3     1 1 3 2  n   3n ,① 则 3 nT 1 3   2 2 3   3  n   3 n 1  ,② ②−①得， 2 T n 3 3    2  3 3    n 3  n  3 n 1    n   3 1 3  3 1    n 3 n 1   (2 n  n 1   3 . 1)3 2 所以， a c 1 1  a c 2 2    a c 2 2 n n  2 3 n  6 T n  2 3 n 3   n 1   3 (2 n  1)3 2 (2 n  1)3 n   2 2  2 6 n  9    N .  n （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分 14 分. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 c，由已知有 3 a b ，又由 2 a 2  2 b 解得 c a 1  . 2 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， 2 , c b  a  3 c ，故椭圆方程为 2 x 4 c 2  2 y 3 c 2 2  ，消去 b 得 c 2 a      3 2 a 2      2 c ，  .由题意， ( F 1 c , 0) ，则直线l 的

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