分数阶傅里叶变换及其应用.pdf-资料库

第期年月电子学报翅分数阶变换及其应用孙晓兵保铮西安电子科技大学电子工程研究所 , 西安什提要介绍了本文介绍了一种崭新的信号分析工具 —分数阶。盯变换的几种不同的引人途径和其基本性质之后 , 在时一频平面对本文在简单进行了研究 , 用经典的。盯变换的观点对进行了解释 , 并推导了与一变换的关系最后 , 根据的特点 , 提出了它在时频信号分析中的两种新的应用途径关键词盯变换 , 分数阶盯变换 , 时一频信号分析一 , , 一一 , , 一 , , 一一、引言盯变换是一种常用的数学工具 , 在数学、物理及工程技术领域都得到了十分广泛的应用究成果还不多 , 但作为一种新的信号分析方法 , 既与经典的。盯变换有天然的联系 , 又提供了变换所不具备的新手段可以预料 , 必将对信号分析与信号处理理论产生重要的变换也是信号分析与信号处理理论最重要影响 , 也必将会在实际中得到较为广泛的应用的基础之一人们已经将盯变换用到了实际的信号处理系统的许多方面近年来 , 人们又从不同的角度提出了一种广义化的 , 变换 —分数阶 , 变换的概念二‘ , , 二, 虽本文首先介绍的几种不同的引人途径 , 简要讨论了的基本性质然后在时一频平面用变换的观点对进行了分析与解释 , 并推导了提出了与一变换的关系最后在时一频分析中的两种新的应用途然在数学上这种概念提出来的比较早 , 。径年川 , 但一直未能引起工程界的重视近两年来 , 又有人分别从光学方面 · 一一和信号处理方面仁月研究了二、的引入与基本性质这种变换的物理概念和工程应用由于与工程技术信号二的。盯变换定义为的结合还只是近年的事迄今为止 , 有关的研年月收到年月修改定稿电科院基金资助项目盆 , , 一一一 , ‘

第期 ‘臼 , 一了〔了孙晓兵等分数阶变换及其应用 , 〕一六二一‘ ,二 ‘一 , 叫 ,“ , “ , 对一函数进行、一粤, 乙。 , 口一 , 一变换 , 有一冬。。 ‘ , 由此定义厌 ·〔一一合 , , ‘, 的算子乡的特征方程为 · ‘· , , 〕一‘一一合一 , 其对应的反变换为一了一 ‘ 。一念丁一田 ,一少田忿 ,“ 注意 , 这里我们采用了对称的系数 , 即正、反变换都有系数、任石这里尹表示。盯变换算子如果对 , 连续地进行。变换 , 则有厌尹二」了仁二〕二一 , 、一。和笋 ’ 一二通常我们是将与、画在不同的坐标系下但如果考虑到上述的性质 , 我们可以将轴与。轴画成一个直角坐标系 , 将每次的盯变换都看作是坐标轴的旋转 , 在旋转的同时变化信号的表示形式 , 则这种坐标系所定义的时一频平面满足了变换的上述性质 , 如图所示图变换的时频平面表示我们既然已经知道了盯算子多整次幂的结果 , 也知道了时一频平面的旋转对应于一次变换 , 我们就不禁要问 , 变换的非整次幂该如何定义时一频平面的任意角度一尸 · 二 , 尸不为整数旋转又对应于什么这都可以归结为如何定义算子乡尹尸 , 这里尸可以是任意实数甚至是复数这正是分数阶变换所要回答的问题下面 , 我们分别从不同的角度来引人的定义 , 并说明其相互关系 , 给出统一的定义形式从数学上的引入最早在年从值与特征函数的角度定义了变换的特征 , 他注意到算子 ·了的一组特征值为 , · , 息。 , 其对应的特征函数为一函数一。 , 这里。是阶的多项式 , 即。 , 卜一一 , 券二。一 , 即夕一的特征函数仍为一函数 , 但其对应的特征值由 , ” 袭。变为少 ” 袭。 , 这里可以不是整数通过推导他得到了的积分表达形式后来 , 又有人对的公式进行了一些修正川 , 使其可以适用于任何的实数文献中还证明了所定义的满足所期望的迭加性质 , 即乙笋乡乡了 , ‘ 乒夕一尸且当尸一时 , 乡尹就变成了通常意义下的盯变换 , 当尸时 , 了尸〔二 , 当尸 , 乡尸一这就满足了将当做广义化的变换的要求在数学上可以将用于求解利用经典的变换所不能解的常微分与偏微分方程 , 即利用做为一个可调的参数 , 可以使变换后的方程更容易求解川光学上的引入经典的盯变换在光学信息处理中有着广泛的应用近年来 , 等人根据光在许多情况下传播过程中的现象 , 特别是光在阶次指数一 , 介质中的传播 , 定义了〕一个函数的尸阶是这样定义的设原函数是介质一边的输人 , 即在一处光的分布 , 则在一。处光的分布就对应于输人函数的尸一。阶的这里是一个特征距离 , 在一处光的分布对应于输人函数的盯变换与此同时 , 根据分布函数也定义了一种川设一个函数二的分布为 , 。 , 如果将这个分布在时一频平面旋转一个一尸 · 二的角度 , 然后对该分布进行反变换 , 所得到的函数即为原来信号的尸阶的结果 ,, 从这个概念出发 , 他得到了两种十分简单的光学组合 , 可以很方便地实现尽管上面两种定义的出发点不同 , 但可以证明 , 这两种定义是完全等价的〕, 并且也与数学上的定

电子学报年义相符由于在光学上有着许多直接的现象 , 下面我们简要地列出的几条主要性质 , 其光学实现也很简单 , 可以预料 , 这种方法将会对光有关其证明及其它性质 , 可参看文献〔 , 〕学信息处理产生较大的影响时移特性从信号处理的角度研究了口 , 并将其解释为时一频平面的旋转变换 , 推导一系列在信号分析和信号处理中有用的性质定义与性质如果要将理解为一种广义化的变换 , 并用时一频平面旋转的观点来解释之旋转角度一尸 · 二 , 则这个算子乡尹尸至少应当满足下列特性一乡厂由、零度旋转对应于信号自身卜尹。一二旋转对应于。盯变换卜尹 , 一 , 旋转具有连续可加性卜多月乡于一尹尸 , 几 , 两个要求可以得到肠的旋转对应于信号的定义 , 将这里我们采用自身 , 即尹 ‘ 的变换核定义为。 , 、、一一一了孟人、占八叮了‘ 矛千了 , ’ , 一口。一万 , 一频移特性二 · 〔 ‘ 一〕一 · 一 · 一一 , 誓· 一尺度特性、· 〔一〕一了碧恶 · 。 · 黑 · , 不下 ‘ 「 , 刀、一了哭下了」少一任这里渭 , 刀冗微分特性一 , 。要 , 。。加。 , 。用夕月 —‘ 、 ·〔, 二〔卜一 , · 二关, ·二 · · 倍乘特性、还满足关系一一乙 — 口一 —八口干亡刀兀沉口 , · ‘ , 一 , 由此可以推出 , 一一了】‘了 · , 具有能量守恒的特性兀一一 , , 一 ·‘· , · 这里为整数注意这个核函数对是完全连续的 , 即在广义函数的意义上 , 有。。二由式所定义的核 , 可以得到阶次为尸二的为、 , · 一丁二工 , 厅二灭谕丫一丁于一 , ·‘, , · , ‘ 。“ 万 ‘ 、「 ’ 一、去 ’ 。 , 荟。乙。一 , 望己 , 。并二了了一兀万可以证明 , 由式所定义的完全满足上面的三条基本要求根据的基本特性 , 可以得到的逆变换为了一乡于 · 、· 〔一一 · · , 一 , , · ‘ 最重要的一点是是一种线性变换 , 即满足了‘’ 式中 , 为常数 , 〕。尸三、与时频信号分析在这一节中 , 我们将在时一频平面对进行解释正如前面所提到的那样 , 几种定义中的一种的出发点就是由分布的旋转来得到的文献「中也证明了 , 信号二的分布二 , 。与其阶变换尸的分布几 , 是完全相同的 · 其中。 , 轴分别是 , “ 轴旋转角后得到的 , 如图所示我们可以认为尸的就是的在新的坐标系 , 下的表示这里的坐标变换公式为一气田以口、乙气文献中还说明了对于修正的短时盯变换

第期孙晓兵等分数阶。盯变换及其应用阶变换进行线性调频后的结果 , 其调制速率为一如果信号二自身就是信号 , 这两种修正都相当于改变二在时一频平面分布的斜率近年来 , 一变换常被用作一种对时变信号进行分析的有力工具工 , 它被认为是一种在噪声背景中对信号进行最大似然检测与估计的方法可以证明 , 一变换与信号去线性调频印是等价的定义信号为少 , 少。。分布为 , , 。二占。一一田。利公式 , 可以计算信号二与的内积平其用方为艺 , , , 一丁一 , 二一亡一 , 口。 , 一一一 ·“ , 田 , · ·“ , 田 ’“‘ 田一 · 二 ·“ , ·‘ 田。 ’“‘ 设 , 。。一 , 可得 , , , , 一丁工 ‘, 一 , 浮 , 一 , 李生 “ 一二一、。, , 一 , 。再设一。兴五 , 有二 , 夕 ’一二一 , , 刃刃图时频平面旋转与 , 也有相同的关系成立利用上面的时一频平面坐标变换关系 , 可以揭示出频的一个十分重要的特性若为线性调信号 , 它在 , 。平面的分布为一条斜线如果进行适当的坐标旋转 , 这条斜线在新的 , 坐标系下的分布可能成为平行或垂直于轴的直线 , 即所得到的的变换以是单谐波或冲激函数例如若州。 , 其分布为二占一一。。 , 即它只沿直线。。。分布将式、代人 , 可得一 · · 一。。若选择使得一 · , 即一 , 可以得到在 , 坐标系下的分布为二一。。一个单谐波函数若选择。使得。 · , 表示一。即一 , 则在 , 坐标下的分布为二占一。。 , 表示一个在。。时刻的冲激上式的积分项正好是信号二的一变函数我们再从盯变换的角度来对做出一个解释利用二 ‘, , 一一一 , , · 的逆变换公式 · · · 丁一可得一少少式中。一丫一。二 , 将积分前的指数项移到等式左边 , 并设 ’一。 , 有二 , · 少 · · ‘ 一 , ·介· · 二一 ,一 · 一 , , ’· · ‘ , 换 , 记为 , , 二 , ,心一二 · , 我们再利用式计算二 · 一曰爪二 , 泛奋妥弃云 , 可得 , 。对比式一二 , 。 , 掣乙 ‘ 一 , 赢 ‘ 与 , 再代人二丁澳一二 , 乙兀川式一二二。 , 。 , 、 , 由此 , 可以看出二 , 勺 · 与 , , 式。表明了信号的尸阶一 · 二的模一少是一对变换的关系这平方正好是方向上的一变换利用相当于要求以为参数对信号二进行修正先对上式的关系 , 对一的变换的许多研究进行尺度展宽 , 即展宽倍 , 再以速率成果可以直接应用到上来因为在许多场合 · 。。对展宽后的信号进行线性调频所得到下 , 我们更关心的模值情况的信号二的变换。就是对二的

电子学报年四、的应用除了在数学上解微分与偏微分方程及光学中有着直接的应用之外 , 它还提供了一种崭新的信号分析与信号处理方法 , 它与信号的分布及一变换有着直接的联系利用的特性 , 可以解决许多利用经典的。盯变换所不能解决的问题文献「中介绍了一种将用于扫频滤波器的方法由于扫频滤波器是一种时变滤波器 , 而经典的盯变换只能用于描述时不变系统 , 所以它对扫频滤波器没有简洁的表达方式采用 , 通过适当地选择阶次尸〔与扫频斜率有关 , 可以得到扫频滤波器的输人以与输出间的关系为图利用滤除噪声短时正如变换有其短时的变换一样 , 我们也可以对提出短时的 · , , 其定义为 , ·卜二 · ,“ 一 ‘ , · 一 , · 一 · 式中 , 为窗函数式中 , 为扫频滤波器中的时不变低通滤波器冲众所周知 , 对时一频平面的分割是矩形激响应的盯变换的 , 如图所示由于采用了线性调频的文献中提出了一种用进行时一频二维基 , 则短时的对时一频平面的分割是斜的如滤波的方法 , 当信号与噪声的时一频分布关系如图图所示注意这里的分割线是与轴垂直的所示时 , 则无论利用时间还是频率。都不能直接如果我们先对信号进行 , 再对变换后的信号将信号与噪声分开而利用 , 通过选择阶数进行 , 则可以得到如图所示的对时一频平尸 , 得到信号的 , 则在轴上可以很容易地利面的分割 , 它的分割线是与轴垂直的与相用常规的一维滤波方法将信号与噪声分开比 , 采用短时对具有线性调频特性的信号进这里我们提出两种新的的应用途径行分析时 , 能够得到更集中、有效的时一频信号分解今’’ 仪仪 ,,夕夕义义一丁的分割的分割。的分割图与短时对时一频平面的分割用于抑制时一频分布的互交叉项项的分布与变换后的轴基本平行 , 通过适信号的时一频分布类是双线性的 , 因此当选择具有带阻特性的窗函数的参数 , 再计算尸不可避免地存在着多分量信号间的互交叉项 , 这对的平滑分布 , 就可以有效地滤除这些交信号的分析与处理都造成很大的困难两个线性调叉项频信号二与二的分布如图所示由当然 , 上述两种应用途径都只是粗略的构想 , 其于它们的交叉项是时变的 , 在 , 。坐标系下很难直具体实现还有待于进一步研究由于可以广接滤除如果适当地选择的阶次尸 , 使得交叉义地等价于时一频平面的旋转 , 仅在信号的时一频分析

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