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2014年广东高考文科数学真题及答案.doc
2014 年广东高考文科数学真题及答案
一、选择题
1. 已知集合
M
2,3,4 ,
N
0,2,3,5 ,
则
M N
(
)
A.
0,2
B.
2,3
C.
3,4
D.
3,5
2. 已知复数 z 满足 (3 4 )
i z
，则 z （
25
）
A. 3 4i
B. 3 4i
C.3 4i
D.3 4i
3. 已知向量 (1,2), (3,1)
a
b
，则b a （
）
A.（-2，1）
B.（2，-1）
C.（2，0）
D.（4，3）
4. 若变量 ,x y 满足约束条件
8
2
x
y
0
4
x
3
0
y
，则 2
z
x
的最大值等于（
y
）
A.7
B.8
C.10
D.11
5. 下列函数为奇函数的是（
）
A.
x
2
1
x
2
B.
x sin3
x
C.
cos2
x
1
D.
x
2
x
2
6. 为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的
间隔为（
）
A.50
B.40
C.25
D.20
7. 在 ABC
中，角 ,
,A B C 所对应的边分别为 ,
,a b c ，则“ a b ”是“sin
A
sin
B
”的（ ）
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
8. 若实数 k 满足 0
k ，则曲线
5
2
x
16
2
y
k
5
1
与曲线
2
x
16
k
2
y
5
1
的（
）
A.实半轴长相等
B.虚半轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
l
9. 若空间中四条两两不同的直线 1
,
l
2
,
l
3
,
l ，满足 1
l
4
l
2
,
l
2
//
l
3
,
l
3
（
）
，则下列结论一定正确的是
l
4
l
A. 1
l
4
l
B. 1
//
l
4
C. 1l 与 4l 既不垂直也不平行
D. 1l 与 4l 的位置关系不确定
10. 对任意复数 1
, ，定义 1
*
2
2
1
2
，其中 2 是 2 的共轭复数，对任意复数 1
,
z z
2
,
z ，有
3
z
；
)
3
如下四个命题：
z
① 1
(
z
2
)
z
3
(
z
1
z
3
)
(
z
2
z
3
);
z
② 1
(
z
2
z
3
)
(
z
1
z
2
)
(
z
1
z
③ 1
(
z
2
)
z
3
z
1
(
z
2
z
3
);
z
④ 1
z
2
z
2
z
；
1
则真命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
(一)必做题（11-13）
11. 曲线
y
5
e
3x
在点（0，-2）处的切线方程为______________________
12. 从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为__________________
13. 等比数列 na 的各项均为正数，且 1 5
log
a a ，则 2
+log
+log
+log
a
2
a
4
a
3
a
1
4
+log
a
5
=
2
2
2
2
________.
14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1C 与 2C 的方程分别为
2 cos
2
sin
与
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
cos =1
则曲线 1C 与 2C 交点的直角坐标为____________________
15. （几何证明选讲选做题）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，且
EB
2
AE
，AC
与 DE 交于点 F ，则
CDF
AEF
的周长
的周长
=____________
三、解答题
16.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( )
f x
A
sin(
x
),
3
x R
，且
f
(
5
)
12
3 2
2
（1） 求 A 的值；
（2） 若 ( )
f
f
(
)
3,
(0,
)
2
f
，求 (
6
)
17. 某车间 20 名工人年龄数据如下表:
（1）求这 20 名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图；
（3）求这 20 名工人年龄的方差。
2
，
AB
ABCD
平面
18. 如图 2，四边形 ABCD 为矩形， PD
，做如图 3 折叠：
折痕 //EF DC ，其中点 ,E F 分别在线段 ,PD PC 上，沿 EF 折叠后，点 P 叠在线段 AD 上的
点记为 M ，并且 MF CF
（1）证明：CF
平面
（2）求三棱锥 M CDE
BC PC
的体积。
MDF
1,
。
19. 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 nS 满足
S
2
n
2
(
n
n
3)
S
n
2
3(
n
n
) 0,
n N
（1）求 1a 的值；
（2）求数列 na 的通项公式；
1
（3）证明：对一切正整数 n ，有
aa
1
1
1
1
aa
2
2
1
1
n aa
n
1
1
3
.
20. 已知椭圆
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
（1）求椭圆C 的标准方程；
的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为
0)
b
5
3
（2）若动点 0
0
(
P x y 为椭圆C 外一点，且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程。
)
,
21. 已知函数
( )
f x
1
3
3
x
2
x
ax
1(
a R
)
（1）求函数 ( )
f x 的单调区间；
（2）当 0
a 时，试讨论是否存在 0
x
(0,
1
2
)
(
1
2
,1)
(
f x
，使得 0
)= (
f
1
2
)
参考答案
1.B
2.D
3.B
11. 5
x
y
2 0
4.C
12.
2
5
5.A
6.C
7.A
8.D
9.D
10.B
13. 5
14. （1，2）
15. 3
16.(本小题满分 12 分)
解：
（1）
f
(
5
)
12
A
sin(
5
)
3
12
A
sin
3
4
3 2
2
,
A
3 2
2
2
3.
（2）由（1）得： ( ) 3 sin(
f x
x
f
( )
f
(
) 3 sin(
)
3
) 3 sin(
3
3
3
cos
)
3
3
3(sin cos
sin ) 3(sin(
)cos
3
cos(
)sin )
3
6cos
sin
3 3 cos
3
6
(
f
,
1
3
cos
17.解：
) 3sin(
6
3
) 3sin(
2
) 3cos
3
1
3
1
（1）这 20 名工人年的众数为 30，极差为 40-19=21
（2）茎叶图如下:
1 9
2 8 8 8 9 9 9
3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
4 0
（3）年龄的平均数为：
(19 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40)
20
30
故这 20 名工人年龄的方差为：
2
5 0
2
3 2
2
4 1
2
2
10
s
3 ( 1)
2
2
( 11)
3 ( 2)
1
20
1 (121 12 3 4 12 100)
20
1
20
252
=12.6
18.（1）证明：
PD
平面
ABCD PD PCD
,
平面
PCD
平面
ABCD
平面
PCD
平面
ABCD CD MD
,
MD
平面
PCD
CF
平面
PCD
CF MD
平面
ABCD MD CD
,
平面
MDF MD MF M
,
又
CF MF MD MF
,
,
平面
CF
MDF
.
（2）解： CF
平面
MDF
CF DF
又易知
PCD
060
030
CD
=
1
2
从而
CDF
1
2
EF DC
CF
=
∥
DE CF
DP CP
，即
1
2=
2
DE
3
DE
3
4
,
PE
S
CDE
1
2
CD DE
3 3
4
3
8
MD
2
ME DE
2
2
PE DE
2
(
3 3
4
2
)
(
3
4
2
)
6
2
V
M CDE
1
3
S
MD
CDE
1
3
3 8
6
2
2
16
19.解：
（1）令 1n ，得： 2
S
1
( 1)
S
1
，
3 2 0
即 2
S
1
S
1 6 0
，
(
S
1
3)(
S
1
2) 0
S
1
0
，所以 1
S ，即 1
a
2
2
（2）由 2
S
n
2
(
n
n
3)
S
n
2
3(
n
n
) 0
，得
(
S
3)
S
n
n
2
(
n
n
)
0
na
0(
n N
)
，
nS ，从而
0
nS ，
3 0
nS
2
n
n
所以，当 2
n 时，
a
S
n
S
n
1
n
2
n
n
(
n
2
1)
(
n
1)
2
n
a ，
2 1
2
又 1
na
2 (
n n N
)
（3）当 k N 时， 2
k
2
k
1
(
a a
k
k
1)
k
2
1
2 (2
k
k
1)
(
k
3
k
2 16
1
4
1
(
k k
1
2
)
1
)(
k
4
1
4
(
3
4
)
k
1
4
1
)(
k
3
4
)
1
4
1
(
k
(
k
1
4
)
1)
1
4
1
4
1
k
1
4
1
1)
(
k
1
4
1
(
a a
1
1
1)
1
(
a a
2
2
1)
1
(
a a
n
n
1)
1
1
(
4 1
1
1
4
(
1
1
4
1
4
2
(
n
20.解：
)
(
1
1
4
1
1)
2
1
1
4
1
3
)
1
4
)
1
3
1
4
1
n
4
3
1
3
1
1)
(
n
1
n
1
4
1
4
（1）
c
5,
e
c
a
5
a
5
3
a
2
3,
b
2
a
2
c
9 5 4
所以，椭圆C 的标准方程为：
2
x
9
2
y
4
1
（2）若一切线垂直 x 轴，则另一切线垂直于 y 轴，则这样的点 P 共 4 个，
它们的坐标分别为 ( 3, 2),(3, 2)
，
若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为
y
y
0
(
k x
，
x
0
)
即
y
(
k x
x
0
)
，将之代入椭圆方程
y
0
2
x
9
2
y
4
中，并整理得：
1
2
(9
k
2
4)
x
18 (
k y
)
kx x
0
0
9 (
y
0
kx
2
)
0
4
，
0
依题意，
0
即：
2
(18 ) (
k
y
kx
0
2
)
0
36 (
y
0
kx
0
2
)
2
4 (9
k
4) 0
即：
4(
y
0
2
kx
0
)
4(9
k
2
4) 0
2
(
x
0
9)
k
2
2
x y k
0
0
2
y
0
4 0
因为两切线相互垂直，所以 1 2
k k ，即
1
2
2
0
y
x
0
4
9
1
所以 2
x
0
2
y
0
，显然 ( 3, 2),(3, 2)
13
这四点也满足以上方程，
所以，点 P 的轨迹方程为： 2
x
2
y
13
21.解：
（1）
( )
f x
2
x
2
，方程 2
x
x a
2
x a
的判别式
0
，
4 4a
所以，当 1a 时，
0,
f x
( ) 0
，此时 ( )
f x 在 (
上为增函数；
)
,
当 1a 时，方程 2
x
2
的两根为 1
x a
0
1 a
当 (
, 1
x
1
时， ( ) 0
f x
，此时 ( )
f x 为增函数；
a
)
当 ( 1
x
1
a
, 1
1
时， ( ) 0
f x
，此时 ( )
f x 为减函数；
a
)
当 ( 1
x
1
a
,
时， ( ) 0
f x
，此时 ( )
f x 为增函数；
)
综上 1a 时， ( )
f x 在 (
上为增函数；
)
,
当 1a 时， ( )
f x 的单调递增区间为 (
, 1
1
a
),( 1
1
a
,
，
)
f x 的单调递减区间为 ( 1
( )
1
a
, 1
1
a
)
（2）
(
f x
0
)
f
(
1
2
)
1
3
3
x
0
2
x
0
ax
0
1
1 1
(
3 2
3
)
(
1
2
2
)
a
(
1
2
) 1
1
3
1
3
3
x
0
(
1
2
3
)
2
x
0
(
1
2
2
)
(
a x
0
1
2
)
(
x
0
1
2
2
)(
x
0
x
0
2
1
4
)
(
x
0
1
2
)(
x
0
1
2
)
(
a x
0
1
2
)
(
x
0
1
2
)(
2
x
0
3
x
0
6
1
12
x
0
1
2
a
)
1
12
x
(
x
0
)
(0,
1
2
7 12
所以，若存在 0
必须 2
x
0
4
14
x
0
1
2
a
2
x
0
)(4
1
2
0
在
,1)
(
14
x
0
7 12 )
a
)
f
(
1
2
)
，
上有解，
(
f x
，使得 0
1
2
(0,
1
2
)
(
,1)
a
0,
14
2
16(7 12 )
a
4(21 48 ) 0
a
方程的两根为
14 2 21 48
8
a
7
a
21 48
4
，
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