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考研数学内部班必背考研数学公式.pdf
一、高等数学
(一) 函数、极限、连续
(二) 一元函数微分学
(三)一元函数积分学
(四) 向量代数和空间解析几何
(五)多元函数微分学
(六)多元函数积分学
(七)无穷级数
(八)常微分方程
二、线性代数
(一) 行列式
(二)矩阵
(三) 向量
(四)线性方程组
(五)矩阵的特征值和特征向量
(六)二次型
三、概率论与数理统计
(一)随机事件和概率
(二)随机变量及其概率分布
(三)多维随机变量及其分布
(四)随机变量的数字特征
(五)大数定律和中心极限定理
(六)数理统计的基本概念
(七)参数估计
(八)假设检验
经常用到的初等数学公式
平面几何
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目 录
一、高等数学........................................................................................2
(一) 函数、极限、连续.......................................................2
(二) 一元函数微分学...........................................................5
(三)一元函数积分学...........................................................10
(四) 向量代数和空间解析几何........................................ 15
(五)多元函数微分学...........................................................23
(六)多元函数积分学...........................................................27
(七)无穷级数.......................................................................30
(八)常微分方程...................................................................35
二、线性代数......................................................................................39
(一) 行列式.........................................................................39
(二)矩阵...............................................................................40
(三) 向量.............................................................................42
(四)线性方程组...................................................................44
(五)矩阵的特征值和特征向量.......................................... 45
(六)二次型...........................................................................46
三、概率论与数理统计..................................................................... 48
(一)随机事件和概率...........................................................48
(二)随机变量及其概率分布...............................................50
(三)多维随机变量及其分布...............................................52
(四)随机变量的数字特征...................................................54
(五)大数定律和中心极限定理.......................................... 56
(六)数理统计的基本概念...................................................57
(七)参数估计.......................................................................58
(八)假设检验.......................................................................60
经常用到的初等数学公式................................................................. 61
平面几何............................................................................. 65
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一、高等数学
(一) 函数、极限、连续
考试内容
公式、定理、概念
函数和隐
函数
函数：设有两个变量 x 和 y ，变量 x 的定义域为 D ，如果对于 D 中
的每一个 x 值，按照一定的法则，变量 y 有一个确定的值与之
对应，则称变量 y 为变量 x 的函数，记作：
y
f x
基本初等函数包括五类函数:
1 幂函数:
y
x
R
;
2 指数函数
y
x
a
(
a 且 1a );
0
y
x
(
3 对数函数:
x y
4 三角函数:如 sin ,
loga
y
a 且 1a );
tan
0
x y
cos ,
x
等;
5 反三角函数:如
y
x y
arcsin ,
x y
arccos ,
arctan
x
等.
初等函数：由常数 C 和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复
合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初
等函数.
1
f x
lim ( )
x
x
0
A
f
(
x
)
0
f
(
x
)
0
A
2
f x
lim ( )
x
x
0
A
f x
(
)
0
A a x
( ),
a x
lim ( )
其中
x
x
0
0
3(保号定理)
f x
lim ( )
x
设
x
0
A
,
A
又
0(
A
或
0),
则 一个
0
,
当
x
(
x
,
x
0
0
),
x
且
x
0
时，
f x
( )
0(
或
f x
( )
0)
基本初等
函数的性
质及其图
形，初等函
数，函数关
系的建立：
数 列 极 限
与 函 数 极
限 的 定 义
及其性质，
函 数 的 左
极 限 与 右
极限
无穷小和
无穷大的
概念及其
关系，无穷
小 的 性 质
及 无 穷 小
的比较
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设 （
lim
x
)
x
0,lim ( )
0
(1)
若
lim
x
( )
x
( )
0,
则 是比 （ 高阶的无穷小，
x
( )
x
)
记为 (x)=o( (x)).
,
x
( )
则 是比 （ 低阶的无穷小，
x
)
c c
(
0),
则 与 （ 是同阶无穷小，
x
( )
x
)
1,
则 与 （ 是等价的无穷小，
x
( )
x
)
(2)
若
(3)
若
(4)
若
lim
lim
x
( )
x
( )
x
( )
x
( )
x
( )
x
( )
(x)
x
( )
k
x
( )
lim
lim
记为 (x)
(5)
若
c c
(
0),
k
0,
则 是 （ 的k阶无穷小
x
( )
x
)
常用的等阶无穷小：当
x
0
时
x
x
sin
arcsin
x
tan
x
arctan
x
)
ln(1
1x
e
x
,
1 cos
x
1
2
2
x
(1
x
)
1
1n
1
n
x
无穷小的性质
（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小
（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小
（3） 无穷小乘以有界变量为无穷小
Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；
非零的无穷小的倒数为无穷大
f x
lim ( )
A
g x
,lim ( )
则
B
.
(1) lim(
f x
( )
g x
( ))
；
A B
f x g x
(2)lim ( ) ( )
；
A B
(3)lim
f x
( )
g x
( )
A B
(
B
0)
1 (
x
)
夹逼定理）设在 的邻域内，恒有 （
x
0
f x
( )
x
( ),
且
x
lim ( )
x
x
0
x
lim ( )
x
x
0
A
,
则
f x
lim ( )
x
x
0
A
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限
3 两个重要极限：
极限的四
则运算
极限存在
的两个准
则：单调有
界 准 则 和
夹逼准则，
两 个 重 要
极限：
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(1)lim
0
x
x
sin
x
1
(2)lim(1
x
0
1
x
x
)
e
重要公式：
lim
x
n
a x
0
m
b x
0
n
a x
1
m
b x
1
1
1
1
a x a
n
x b
b
m
1
n
m
a
0
b
0
0,
,
n m
n m
n m
,
4 几个常用极限特例
lim
n
1,
n
n
lim arctan
x
lim arccot
x
x
2
x
2
0,
lim arctan
x
x
lim arccot
x
x
x
lim e
x
0,
x
lim e
x
,
x
x
lim
x
0
1,
连续函数在闭区间上的性质：
(1) (连续函数的有界性)设函数
f x 在
,a b 上连续,则
f x
在
,a b 上有界,即 常数
f x M
.
0M ，对任意的
,
a b
x
,恒有
(2) (最值定理)设函数
f x 在
,a b 上连续,则在
,a b 上
f x 至少取得最大值与最小值各一次,即 , 使得:
f
f
max
a x b
f x
,
a b
,
；
min
a x b
f x
,
a b
,
.
(3) (介值定理)若函数
f x 在
,a b 上连续, 是介于
f a 与
函数连续
的概念：函
数间断
点的类
型：初等函
数 的 连 续
性：闭区间
上 连 续 函
数的性质
f b (或最大值 M 与最小值 m )之间的任一实数,则在
,a b
上至少 一个,使得
f
.
a
b
(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数
f x 在
,a b 上连
续,且
f a
f b
,则在
0
,a b 内至少 一个,使得
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f
0.
a
b
(二) 一元函数微分学
考试内容
导数和微
分的概念
左右导数
导数的几
何意义和
物理意义
函数的可
导性与连
续性之间
的关系，
平面曲线
的切线和
法线
导数和微
分的四则
运算，初
等函数的
导数，
1导数定义 ：
f x
'(
0
)
lim
x
0
对应公式、定理、概念
f x
(
0
f x
(
0
)
（1）
或
f
'(
x
0
)
lim
x
x
0
)
0
（2）
x
)
x
f x
(
x
0
f x
( )
x
f x 在 0x 处的左、右导数分别定义为：
2 函数 ( )
左导数：
f
(
x
0
)
lim
x
0
f x
(
0
x
)
x
f x
(
0
)
右导数：
f
(
x
0
)
lim
x
0
f x
(
0
Th1: 函数 ( )
Th2: 若函数
y
f x 在 0x 处可微
0
lim
x
x
x
)
x
f x
( )
f x
( )
x
)
f x
(
0
)
f x
(
0
x
0
,(
x
x
0
x
)
lim
x
x
0
f x
( )
x
)
f x
(
0
x
0
f x
( )
在点 0x 处可导，则
在点 0x 处
在 0x 处可导
f x
( )
y
连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.
f x 存在
(
)
(
)
f
f
x
0
x
0
Th3:
x
设函数 在
x
0
处可导，则 在
f x M x y
( )
,
0
(
)
0
处的
)
0(
f x
( )
切 线 方 程 ：
法 线 方 程 :
y
y
-
-
y
0
y
0
f
'(
f
x
)(
0
1
x
'(
0
x
x
0
)
(
x
x
0
),
f
'(
x
0
)
0.
)
四则运算法则:设函数
(1) (
(2) (
u v
)
)uv
u
v
v
u
vu
uv
vu
uv v
(
2
v
(3)
(
)
u x
u
( )
d u v
(
)
d uv
(
)
0)
d
(
，
udv
)u
v
在点 x 可导则
v x
v
( )
du dv
vdu
vdu udv
2
v
基本导数与微分表
(1) y
c （常数）
y
0
dy
0
(2) y
x
(为实数)
y
1
x
dy
dx
x
1
(3)
y
x
a
y
a
lnx
a
dy
a
lnx
adx
特例
x
(e )
x
e
d
x
(e )
x
e
dx
(4)
y
1
ln
x
a
dy
1
ln
x
a
dx
特例
y
ln
x
(ln )x
1
x
d
x
(ln )
1
x
dx
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y
y
sin
cos
x
x
(5)
(6)
(7)
y
tan
x
y
(8)
y
cot
x
(9)
(10)
y
y
sec
csc
x
x
y
y
y
(11)
y
arcsin
x
y
y
x
cos
x
sin
1
2
cos
1
2
sin
x
x
sec tan
x
y
x
x
x
csc cot
1
x
1
1
1
x
(12)
y
arccos
x
y
d
x
(arccos )
2
(13)
y
arctan
x
y
1
(14)
y
arccot
x
y
(15) y
(16) y
shx
chx
y
y
2
1
x
1
x
1
chx
shx
d
x
(arctan )
1
2
d
(arccot
x
)
d shx
(
d chx
(
)
)
chxdx
shxdx
x
d
(sin )
d
x
(cos )
cos
sin
xdx
xdx
2
sec
x
d
x
(tan )
2
sec
xdx
2
csc
x
d
(cot
x
)
csc
2
xdx
d
x
(sec )
d
x
(csc )
sec tan
csc cot
xdx
xdx
d
x
(arcsin )
2
x
x
1
1
dx
2
dx
2
x
x
1
2
1
1
x
1
x
1
dx
dx
2
1 反函数的运算法则: 设
y
f x
( )
在点 x 的某邻域内单调连
f x
续，在点 x 处可导且 ( )
，则其反函数在点 x 所对应的
0
f
f
(
y
y
dy
dx
( )x
y 处可导，并且有
)可导,则复合函数
f
)
在点 x 可
在点 x 可导,而
y
x
( ( ))
1
dx
dy
2 复合函数的运算法则:若
在对应点 (
( )x
导,且
x
(
( )
)
3 隐函数导数 dy
dx
(1)方程两边对 x 求导，要记住 y 是 x 的函数，则 y 的函数是
x 的复合函数.例如 1
y
对 x 求导应按复合函数连锁法则做.
F x y
( ,
(2)公式法.由 ( ,
x
F x y
( ,
y
， 2y ， ln y ， e y 等均是 x 的复合函数.
的求法一般有三种方法：
,其中， ( ,
xF x y
F x y 知
0
dy
dx
，
)
)
)
)
yF x y
( ,
)
分别表示 ( ,
F x y 对 x 和 y 的偏导数
)
(3)利用微分形式不变性
常用高阶导数公式
（1） ( )
n
a
(
)
x
x
a
n
ln
a
(
a
0)
x
(e )
n
( )
x
e
复合函
数，反函
数，隐函
数以及参
数方程所
确定的函
数的微分
法，
高 阶 导
数，一阶
微分形式
的 不 变
性，
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（2）
(sin
kx
)
n
( )
n
k
sin(
kx n
（3）
(cos
kx
)
n
( )
n
k
cos(
kx n
)
2
)
2
（4）
(
x
m
)
n
( )
m m -
(
1)
(
m - n+ x
1)
m-n
（5）
x
(ln )
n
( )
( 1)
1) (
n
(
n
（6）莱布尼兹公式：若 ( )
1)!
n
x
u x ,v x 均 n 阶可导，则
( )
n
( )
uv
(
)
n
i=
0
i
i
( )
c u v
n
(
n-i
)
，其中 (0)u = u ， (0)v = v
Th1(费马定理)若函数 ( )
f x 满足条件：
(1)函数 ( )
f x
( )
f x 在 0x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
f x
(
f x
( )
f x
(
或
)
)
,
0
0
(2)
f x 在 0x 处可导,则有
( )
f
x
0(
)
0
f x 满足条件：
Th2 (罗尔定理) 设函数 ( )
(1)在闭区间[ , ]a b 上连续；
(2)在 ( , )a b 内可导，则在 ( , )a b 内 一个，使
Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数 ( )
(1)在[ , ]a b 上连续；(2)在 ( , )a b 内可导；则在 ( , )a b 内 一个
f b
，使 ( )
f x 满足条件：
f
( )
f a
( )
0
f
( )
b a
微分中值
定理，必
达法则，
泰勒公式
Th4 (柯西中值定理) 设函数 ( )
f x ， ( )g x 满足条件：
g x 均存在，
f x ， ( )
(1)在[ , ]a b 上连续；(2)在 ( , )a b 内可导且 ( )
f b
f a
( )
则在 ( , )a b 内 一个，使 ( )
0
g b
g a
( )
( )
g x
且 ( )
( )
( )
f
g
洛必达法则：
法则Ⅰ ( 0
0
型)设函数
f x g x 满足条件：
,
lim
x
x
0
f x
0, lim
x
0
x
g x
;
0
f x g x 在 0x 的邻域内可导
,
(在 0x 处可除外)且
g x
;
0
x
f
g x
lim
x
x
0
存在(或 ).则
f x
g x
lim
x
x
0
lim
x
x
0
x
f
g x
.
法则 I
( 0
0
型)设函数
f x g x 满足条件：
,
lim
x
f x
0, lim
x
g x
; 一个 0X ,当 x
0
X
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时,
f x g x 可导,且
g x
,
;
0
lim
x
x
0
f
x
g x
存在(或 ).则
f x
g x
lim
x
x
0
lim
x
x
0
f
x
g x
.
型) 设函数
f x g x 满足条件：
,
法则Ⅱ(
f x
lim
x
x
0
, lim
x
x
0
g x
;
f x g x 在 0x 的邻域内可
,
导(在 0x 处可除外)且
g x
;
0
x
f
g x
lim
x
x
0
存在(或 ).则
f x
g x
lim
x
x
0
lim
x
x
0
x
f
g x
.
同理法则 II (
型)仿法则 I 可写出
泰勒公式: 设函数 ( )
f x 在点 0x 处的某邻域内具有 1n 阶导
数，则对该邻域内异于 0x 的任意点 x ，在 0x 与 x 之间至少
一个，使得
f x
(
)
f x
(
0
)
f
(
x
0
)(
x
x
0
)
1
2!
f
(
x
0
)(
x
x
0
2
)
(
f
n
)
x
(
n
!
) (
0
x
x
0
n
)
R x
( )
n
其中
R x
( )
n
f
(
(
n
n
1)
( )
1)!
(
x
x
0
)
n
1
称为 ( )
f x 在点 0x 处的 n
阶泰勒余项.令 0
x ，则 n阶泰勒公式
0
f x
(
)
f
(0)
f
(0)
x
1
2 !
f
(0)
x
2
(
n
)
f
n
(0)
!
n
x
R x
(
n
)
……(1)
f
(
R x
( )
n
其中
n
(
n
1)
( )
1)!
n
1
x
，在 0 与 x 之间.(1)式称为麦克
劳林公式
常用五种函数在 0
x 处的泰勒公式
0
x
e
1
x
21
x
2!
1
n
!
n
x
(
n
x
n
1
1)!
e
或
1
x
1
2 !
2
x
1
n
!
n
x
n
o x
(
)
sin
x
x
31
x
3!
x
n
n
!
sin
n
2
(
n
x
n
1
1)!
sin(
n
1
2
)
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