北 京 航 空 航 天 大 学 研 究 生 课 程 试 卷 A 2014－2015 学年 第一学期期末试卷 学号 姓名 成绩 考试日期： 2015 年 1 月 13 日 考试科目：《应用数理统计》（A 层） 一、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 1．设 1 , , x x x， 2 2 n 是来自正态总体 N  的简单样本，则 c  ( ) , 2 时，统计 量   c m k   1  n 1 k m   ( x 2 k  x 2 k 1  2 ) ( x 2 k  x 2 k 1  2 ) 服从 F  分布。 2. 设 1 , x x x， 是来自正态总体 2 , n ˆ N  的简单样本，用 2  (0, ) 2  2 nx n 1   n ( 1  i x i 2 ) 估计 2 ，则均方误差 2 E   ˆ( 2 2 2 )  。 3．设总体 X 的密度函数为 ( ; p x 2 ,  x     2  0,  ) x  [0, ]  x  [0, ]  ，其中 0 ， 1 , x x 2 , 来自总体 X 简单样本，则 ( )q   的矩估计 ˆq  2 。 4．在双因素方差分析中，总离差平方和 TS 的分解式为 S T  S A  S B  S A B   S e x 是 , n 其中 S e  r p q  i 1  j 1  k 1  ( x ijk  2 x  ij ) ， x ij  1 r   ，则 eS 的自由度是 r x ijk 1  k 。 - 1 - 

北 京 航 空 航 天 大 学 研 究 生 课 程 试 卷 A 二、（本题 12 分）设总体 X 的密度函数为 ( ; f x )  1       1 1   , x 0, x  (0,1) x  (0,1) ，其中 0 ， , n , x 是来自总体 X 的简单样本。（1）求的极大似然估计 ˆ；（2）求的 , x x 1 2 一致最小方差无偏估计；（3）问的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证 明你的结论。 - 2 - 

北 京 航 空 航 天 大 学 研 究 生 课 程 试 卷 A 三、（本题 12 分）设 , xx 1  是来自正态总体 nx , , 2 N  的简单样本，其中 2 ( ) , 2 0 0 是 已知常数，是未知参数。考虑假设检验问题 H 0 :   0  H 1 :   0  （1）求显著性水平(0 1)  下的一致最优势检验（UMPT）；（2）求 UMPT 的势 函数，并给出犯一类错误和二类错误的概率。 - 3 - 

北 京 航 空 航 天 大 学 研 究 生 课 程 试 卷 A 四、（本题 10 分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子 , DCBA , , 外，还需考 察交互作用 BA ， A C 。今选用表 8L )2( 7 ，表头设计及试验数据如表所示，所 考虑指标是越小越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 1 1 1 1 2 2 2 2 B 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 BA C A C D 7 1 2 2 1 2 1 1 2 6 1 2 2 1 1 2 2 1 实验数据 1.02 0.78 1.06 0.94 1.12 1.16 0.85 0.97 5 1 2 1 2 2 1 2 1 - 4 - 

北 京 航 空 航 天 大 学 研 究 生 课 程 试 卷 A 五、（本题 10 分）随机向量 ( , xxx 1 3 , 2 ) 的相关系数矩阵 R       1     1     1    （1）根据主成分80% 的选取标准，若只选取一个主成分，求满足的条件。 （2）试求第一主成分。 - 5 -