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随机过程讲义 (内部交流)

目录目录 1 Poisson 过程舱舮舱定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舲另一个等价定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舳艐良艩艳艳良艮过程的其它性质舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舳舮舱顺序统计量舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舳舮舲过程的稀疏舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舴复合艐良艩艳艳良艮过程及应用舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舴舮舱复合艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舴舮舲复合艐良艩艳艳良艮过程在保险风险理论中的应用舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舵艐良艩艳艳良艮过程的其它扩展舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舵舮舱非齐次艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舵舮舲条件艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舮舵舮舳艐良艩艳艳良艮随机测度舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮 2 离散时间马氏链舲舮舱定义与例舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舲状态分类舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舲舮舱状态空间的分解舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舲舮舲状态的常返舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舲舮舳状态的周期性舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舳不变测度和平稳分布舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舴极限定理舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舴舮舱极限分布舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舴舮舲比率定理舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舮舵一些例子舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮 3 连续时间马氏链舳舮舱定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舱舮舱马氏性与等价条件舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舱舮舲转移概率舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舲标准转移矩阵的分析性质舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舳 Q 矩阵及其概率意义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舴向前与向后微分方程组舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舵一类马氏链的构造舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舮舶强马氏性舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮 1 舱舳舵舵舶舷舷舸舱舰舱舰舱舰舱舱 12 舱舲舱舴舱舴舱舵舲舰舲舰舲舳舲舳舲舶舲舷 33 舳舳舳舳舳舵舳舶舳船舴舳舴舶舴舸舭艩舭

第一章艐良艩艳艳良艮过程第一章 Poisson 过程称随机变量 X 服从参数为 λ 的艐良艩艳艳良艮分布，若 P (X = k) = e−λ λk k! 般 k = 0, 1, . . .舮称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，若 P (X > t) = e−λt舮此时，X 的密度函数为 λe−λt般 t > 0般分布函数为 1 − e−λt般 t > 0舮指数分布满足无记忆性，即 P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s). 引理 1.1 设随机变量 X, Y 独立，f : R × R → R 有界可测。令 g(x) = E[f (x, Y )]. 则 g(X) 可积，且 E[f (X, Y )] = E[g(X)]. 称 {N (t), t ≥ 0} 为计数过程，若 N (t) 表示在时刻 t 之前发生事件的次数。因此，计数过程 N (t) 满足：舨艩舩 N (t) ≥ 0舻舨艩艩舩 N (t) 为整数值；舨艩艩艩舩对 0 ≥ s ≤ t般 N (s) ≤ N (t)舻舨艩艶舩对 0 ≤ s < t般 N (t) − N (s) 表在区间 (s, t] 发生事件的次数。定义 1.1 称 {N (t), t ≥ 0} 为参数为 λ 的（齐次） Poisson 过程，若 §1.1 定义 (i) N (t)是计数过程，N (0) = 0; (ii) N (t) 具有平稳独立增量，即对任意的 0 ≤ t0 < t1 < ··· < tn, t ≥ 0, h > 0, 有 N (t1)− N (t0), . . ., N (tn)− N (tn−1) 独立，且 N (t + h)− N (t) 与 N (h) 同分布； (iii) 当 h ↓ 0 时， P (N (h) = 1) = λh + o(h), P (N (h) ≥ 2) = o(h). 舨舱舮舱舩定理 1.2 设 N (t) 是参数为 λ 的 Poisson 过程，则对任意的 h > 0, P (N (t + h) − N (t) = k) = e−λt (λt)k k! , k = 0, 1, . . . . 舨舱舮舲舩舭舱舭

第一章艐良艩艳艳良艮过程证明记 pn(t) = P (N (t) = n) = P (N (t + s) − N (s) = n)舮艩舩先考虑 n = 0 的情形。对 h > 0般有 p0(t + h) = P (N (t + h) = 0) = P (N (t) = 0, N (t + h) − N (t) = 0) = P (N (t) = 0)P (N (t + h) − N (t) = 0) = p0(t)p0(h). 应用得 p0(h) = P (N (h) = 0) = 1 − P (N (h) = 1) − P (N (h) ≥ 2) = 1 − λh + o(h), p0(t + h) − p0(t) = (1 − p0(h))p0(t) = λhp0(t) + o(h). 从而 p0(t) 在 t 右可导，且右导数为 −λp0(t)舮而 p0(t − h) − p0(t) h = = p0(t − h) − p0(t − h)p0(h) 1 − p0(h) h p0(t) p0(h) , h 令 h → 0 可得 p0(t) 在 t 的左导数也存在，且为 −λp0(t)舮这样 0(t) = −λp0(t), p p0(0) = 1, 于是 p0(t) = e−λt舮艩艩舩当 n > 0 时 pn(t + h) = P (N (t + h) = n) = P (N (t) = n, N (t + h) − N (t) = 0) + P (N (t) = n − 1, N (t + h) − N (t) = 1) + P (N (t + h) = n, N (t + h) − N (t) ≥ 2) = pn(t)p0(h) + pn−1(t)p1(h) + o(h) = (1 − λh)pn(t) + λhpn−1(t) + o(h). 对 h > 0般有 pn(t + h) − pn(t) h = −λpn(t) + λpn−1(t) + o(h) , h 从而 pn(t) 在 t 的右导数为 −λpn(t) + λpn−1(t)舮类似的可知 pn(t) 的左导数也存在。这样 n(t) = −λpn(t) + λpn−1(t), p pn(0) = 0, n ≥ 1. 上面方程等价于容易得到 (eλtpn(t)) = eλtpn−1(t). pn(t) = e−λt (λt)n n! . 舭舲舭

第一章艐良艩艳艳良艮过程这样，艐良艩艳艳良艮过程有如下的等价定义。定义 1.2 称 {N (t), t ≥ 0} 为参数为 λ 的 Poisson 过程，若 (i) N (t) 是计数过程，且 N (0) = 0; (ii) N (t) 是独立增量过程； (iii) 对任意的 t ≥ 0, h > 0, 有 P (N (t + h) − N (t) = k) = e−λt (λt)k k! , k = 0, 1, . . . . §1.2 另一个等价定义设 N (t) 是参数为 λ 的艐良艩艳艳良艮过程。令 S0 = 0般 Sn = inf{t > 0, N (t) ≥ n}般 Tn = Sn − Sn−1般 n = 1, 2, . . .舮定理 1.3 Tn, n = 1, 2, . . . 独立同分布且服从参数 λ 的指数分布。证明由 P (T1 > t) = P (N (t) = 0) = e−λt, T1 服从参数为 λ 的指数分布。对 0 < t1 < t2 和充分小的 h1般 h2 > 0般 P (t1 − h1 < S1 ≤ t1 + h1, t2 − h2 < S2 ≤ t2 + h2) =P (N (t1 − h1) = 0, N (t1 + h1) − N (t1 − h1) = 1, N (t2 − h2) − N (t1 + h1) = 0, N (t2 + h2) − N (t2 − h2) = 1) =e−λ(t1−h1) · λ2h1e−2λh1 · e−λ(t2−h2−t1−h1) · λ2h2e−2λh2 =4λ2h1h2e−λ(t2+h2). 所以，(S1, S2) 的联合密度函数为 g(s1, s2) = λ2e−λs2, 0 < s1 < s2; 0, 其它。由T1 = S1般 T2 = S2 − S1般 (T1, T2) 的联合密度函数为 λ2e−λ(t1+t2), 0, f (t1, t2) = ti ≥ 0; 其它。这样，T1般 T2 独立同分布。一般的情形类似可证。舭舳舭舨舱舮舳舩

第一章艐良艩艳艳良艮过程定理 1.4 设 T1, T2, . . . 独立同分布且同服从参数为 λ 的指数分布。令 S0 = 0, Sn = T1 + ··· + Tn, n = 1, 2, . . .. 则 N (t) = sup{n : Sn ≤ t} 是参数为 λ 的 Poisson 过程。证明当 h → 0 时，有 P (N (h) ≥ 2) = P (S2 ≤ h) = h 0 λ2se−λsds ≤ λ2h h 0 e−λsds = o(h). 及 P (N (h) = 1) = P (S1 ≤ h < S2) = P (S1 ≤ h) + o(h) = 1 − e−λh + o(h) = λh + o(h), 为使得定理成立，只需要再证明 N (t) 具有平稳独立增量。我们只证明对任意的 n般 k般 P (N (t + s) − N (t) = k, N (t) = n) = P (N (s) = k, N (t) = n). 一般情形类似可证。注意到 {S(n) ≤ t} = {N (t) ≥ n}. 舨舱舮舴舩我们分下面几种情况来讨论。舨艩舩设 k = 0般 n = 0舮由指数分布的无记忆性， P (N (t + s) − N (t) = 0, N (t) = 0) = P (N (t + s) = 0) = P (S1 > t + s) =P (S1 > s)P (S1 > t) = P (N (s) = 0)P (N (t) = 0). 舨艩艩舩设 k = 0般 n ≥ 1舮 P (N (t + s) − N (t) = 0, N (t) = n) = P (Sn ≤ t < t + s < Sn+1) =P (Sn ≤ t < t + s < Sn + Tn+1) = P (t + s < u + Tn+1)dP (Sn ≤ u) P (S1 > s)P (Tn+1 > t − u)dP (Sn ≤ u) = P (N (s) = 0)P (N (t) = n). 0 t = t 0 舨艩艩艩舩设 k ≥ 1般 n = 0舮 P (N (t + s) − N (t) = k, N (t) = 0) = P (t < S1 ≤ Sk ≤ t + s < Sk+1) =P (t < S1 ≤ S1 + Ti ≤ t + s < S1 + k k+1 Ti) s k = P ( k+1 i=2 Ti ≤ s − u < 0 i=2 i=2 i=2 Ti)dP (S1 ≤ t + u). 舭舴舭

第一章艐良艩艳艳良艮过程由 dP (S1 ≤ t + u) = −dP (S1 > t + u) = −P (S1 > t)dP (S1 > u) = P (S1 > t)dP (S1 ≤ u), 可得 P (N (t + s) − N (t) = k, N (t) = 0) Ti ≤ s − u < k k+1 =P (S1 > t) P ( s 0 i=2 i=2 =P (N (s) = k)P (N (t) = 0). Ti)dP (S1 ≤ u) 舨艩艶舩设 k ≥ 1般 n ≥ 1舮 P (N (t + s) − N (t) = k, N (t) = n) = P (Sn ≤ t < Sn+1 ≤ Sn+k ≤ t + s < Sn+k+1) = P (t − u < S1 ≤ Sk ≤ t + s − u < Sk+1)dP (Sn ≤ u) P (N (t − u) = 0)dP (Sn ≤ u) = P (N (s) = k)P (N (t) = n). 0 §1.3 Poisson过程的其它性质 §1.3.1 顺序统计量假定艐良艩艳艳良艮过程在时刻 t 之前恰好有一次事件发生，即 N (t) = 1舮由于 N (t) 具有独立增量，事件发生的时刻应服从 (0, t] 上的均匀分布。事实上， P (S1 < s|N (t) = 1) = P (N (s) = 1, N (t) − N (s) = 0) P (S1 < s, N (t) = 1) P (N (t) = 1) λse−λse−λ(t−s) λte−λt = P (N (t) = 1) = = s t . 为推广这一结果，我们引入顺序统计量的概念。设 Y1般 Y2般 . . .般 Yn 是 n 个随机变量，{Y(1), Y(2), . . . , Y(n)} = {Y1, Y2, . . . , Yn}般且 Y(1) ≤ Y(2) ≤ ··· ≤ Y(n)般则称 Y(1)般 . . .般 Y(n) 为对应于 Y1般 Y2般 . . .般 Yn 的顺序统计量。若 Y1般 . . .般 Yn 独立同分布，且具有密度函数 f (x)般则 Y(1)般 . . .般 Y(n) 的密度函数为 t t 0 =P (N (s) = k) n f (y1, . . . , yn) = n! f (yi), y1 < ··· < yn. 特别的，当服从 (0, t) 上均匀分布时，密度函数为 i=1 f (y1, . . . , yn) = n! tn , 0 < y1 < ··· < yn < t. 舭舵舭

第一章艐良艩艳艳良艮过程定理 1.5 假设在时间 t > 0 前已经发生了 n 次事件，即已知 N (t) = n, 则随机向量 (S1, S2, . . . , Sn) 的分布与区间 [0, t] 上 n 个独立均匀分布的顺序统计量具有相同的分布，即它的联合密度函数为 f (t1,··· , tn) = n! tn , 0 < t1 < ··· < tn < t. 证明我们只对 n = 2 证明。由于 S1般 . . .般 Sn 的联合密度为 g(s1, . . . , sn) = λne−λsn, s1 < ··· < sn, 所以因此， P (S1 ≤ s1, S2 ≤ s2, N (t) = 2) = P (S1 ≤ s1, S2 ≤ s2, S2 ≤ t < S3} s1 s2 ∞ λ3e−λx3dx3dx2dx1 = =λ2e−λt(s1s2 − s2 x1 0 t 1/2). P (S1 ≤ s1, S2 ≤ s2|N (t) = 2) = λ2e−λt(s1s2 − s2 λ2t2e−λt/2 1/2) = 2 t2 (s1s2 − s2 1/2). §1.3.2 过程的稀疏定理 1.6 设 Poisson 过程 N (t) 表示到 t 时刻发生的事件个数。如果每个事件被记录的概率为 p, 且是否被记录是独立的，则被记录的事件个数 N1(t) 是强度为 λp 的 Poisson 过程。证明由全概率公式， ∞ m=0 P (N1(t) = n|N (t) = m + n)P (N (t) = m + n) P (N1(t) = n) = ∞ m + n ∞ = m=0 n =e−λt (λpt)n n! m=0 =e−λpt (λpt)n n! . pn(1 − p)me−λt (λt)m+n (m + n)! (λt(1 − p))m = e−λt (λpt)n n! m! eλt(1−p) 下面假设事件被记录的概率与发生的时间有关。具体的说，若某次事件发生在时刻 t般则以概率 p(t) 被记录，并且与其它事件是否被记录独立。记 N1(t) 为到时刻 t 被记录的事件个数，N2(t) = N (t) − N1(t) 为未记录事件的个数。舭舶舭

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