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数学建模日本核辐射的影响.doc
核电站安全性分析与发展预测
陈宗则 熊桄清 张泽荣
摘要
本文意在解决核电站的发展预测问题。发展预测涉及到核电站的安全性考核
以及核电站经济效益的研究。为此本文一共分为问题提出、问题分析、模型假设、
模型建立与求解、模型评价、参考文献以及附录七大部分。其中包含三个模型的
研究，核泄漏放射性物质扩散模型——模型 I，核电站边际效益评估模型——模
型 II 以及核电站发展预测模型——模型 III。
模型 I 是为了模拟核泄漏的扩散范围与路径，运用了烟雾扩散模型，结论是
扩散面积约为 173.57 平方公里。
模型 II 是研究核电站的最大经济效益与技术进步的关系，模型为边际效益
模型。先建立经济收益 Y 的函数，在通过求导得出边际效益函数。边际效益为 0
时总经济收益最大化，一次可得出经济层面上，为使总经济收益最大化的合理核
电站数目与技术进步的配对组合解集。
模型 III 在模型 I、模型 II 的基础上从总经济收益函数出发，推导出综合
考虑安全因素与经济收益的发展预测模型。由此得出使中国现有 7 座核电站承担
起未来 20 年发生核泄露风险所要求的技术进步的临界值。如若现实的技术进步
大于临界值，则可以扩大建设核电站；反之则不宜扩建，但是核发电技术依然值
得发展。
三个模型综合研究了核电站的安全性、效益型以及发展趋势。同时在将情景
极可能简化的前提下，得出相对可信的预测结果。具有较强的参考价值。
关键词：烟雾扩散模型 边际效益分析模型 量化分析 控制变量法
一、问题的提出
2011 年 3 月 11 日，日本遭受了 9 级大地震并引发了强烈的海啸。这次大
地震及其引发的海啸不仅给日本以重创，而且由此造成的福岛核电站的核泄漏更
是引起了全世界对核电站及其安全的重新思考。
请从互联网或报刊上搜集有关数据，根据这些数据建立评估核电站安全的
数学模型。考虑：
（1）随着人们生活水平的提高，用电量大幅增加，假设不建设核电站，
用电量和发电量之间的差距有多大？建设一个某种规格的核电站能
提供多少电力？建设核电站的经济成本和效益如何？目前国内有几
个核电站、在建或准备建设的有几个？也就是要求建立建设核电站
必要性的数学模型并分析；
（2）以秦山或大亚湾核电站为例（选一个），如果这些地方出现了严重的
自然灾害造成了核泄漏（需要你自己作出合理假设），那么，在一定
气象条件（一定风向、风力、下雨等）的情况下建立核扩散的数学
模型，并讨论对周围多大范围的居民进行疏散以及其他的应对措施
和可能的后果；
综合前两问给出核电站的发展前景预测。
二、问题的分析
自然灾害造成核电站的核泄漏问题具有不可预测性与严重性。不可预测性
指的是自然灾害发生的不可预测；严重性指的是核泄漏带来的居民生命财产损失
的危害严重。不可预测性与严重性使对于核电站安全的评估问题转化为对从事发
之后补救措施实施过程的有效性和成本的评估问题。而对于事后补救措施研究的
首要问题就是对于核泄漏影响区域的模拟。为此我们建立了核泄露放射性物质泄
露模型——模型 I。模型 I 采用了烟雾扩散模型，通过量化固定风向风力和降雨
等因素，定量分析了发射性物质可能的扩散范围。基于此，我们定性将讨论在污
染范围内所需采取的补救措施的可行性，已经经济成本。从而对核电站安全性进
行评估。
对于核电站的发展预测问题，我们分为三大步：第一步是利用扩散模型模拟
出核泄漏可能污染的区域，从而计算损失成本；第二步是建立边际效益模型，并
且利用分离变量法，研究技术进步对于效益的影响，从而得出效益关于技术进步
的函数，由此我们建立了核电站边际效益模型——模型 II；第三步基于扩散模
型得出污染范围以及边际效益模型得出效益—技术进步函数，我们建立了发展预
测模型——模型 III，讨论在不同技术进步的假设下，核电站的发展趋势。
三、模型假设
一、核泄露放射性物质泄露模型——模型 I
1、核泄漏看作在地面某一点向四周等强度低随时释放放射性物质，放射性物质
在无穷空间扩赛，不计地形影响。
2、放射性物质扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的
浓度梯度成正比。
3、放射性物质在穿过降雨时，其强度由于雨水的吸收而减少，减少比率为常数。
4、风的影响只考虑放射原点的某一风向、某一风速的影响。风的影响范围，随
着时间而减小。
二、核电站边际效益评估模型——模型 II
1、排除通货膨胀影响因素，以及假设现金回报率为 0。
2、以大亚湾核电站为标准核电站
3、由于大亚湾核电站截止 2009 年 7 月 31 日，大亚湾核电站 1 号机组实现安 全
运行 2539 天，创造了国内核电站单机组安全运行最高纪录。所以假定安全运行
是核电站的常规状态，既不考虑发生事故。
4、假设目前只有火电站（化石燃料为能源的发电站）和核电站（新兴绿色能源
核电站）
5、假设投入到研究核电技术的资金等于技术进步带来的经济收益
三、核电站发展预测模型——模型 III
1、满足模型 I、II 假设
2、核电站发生事故的概率与全世界核电站的发生泄露概率频率相等
四、模型的建立与求解
核泄露放射性物质泄露模型——模型 I
一、模型设计
放射性扩散的范围和强度主要受到放射源的自然扩散、风以及降雨的影响。自然
扩散符合烟雾扩散模型，在给定放射源浓度等数据时，可以求出静态扩散范围。
风力具有加大扩散面积的作用，而降雨具有吸收稀释放射性元素的作用。
二、变量解释
k:扩散系数
Q：放射性物质泄漏总量
C：某一点的放射性物质浓度
t:扩散的时间
r：降雨对于放射性物质的吸收比率
ws：风速
wa：风向
wd：风力影响范围每天减小量
三、模型建立与求解
1、建立空间坐标轴
将核泄漏时设为 t0=0，以核电站为坐标原点，建立以正东为 x 正方向，正北为 y
正方向，建立三维直角坐标系。
2、推导放射源自然辐射范围半径：
时刻 t 无穷空间中任意一点（x,y,z）的放射性物质浓度记为 C。根据假设 2，单
位时间通过单位法相面的流量为：
q=-k×gradC……………………………………………………（1）
k 是扩散系数，grad 表示梯度，负号表示有浓度高香浓度低的地方扩散。
考察空间域Ω，Ω的体积为 V，包围Ω的曲面为 S，S 的外法线向量为 n,则在[t,t+
Δt]内通过Ω的流量为：
Q1=∫tt+Δt∫S∫q×ndσdt………………………………………（2）
而Ω内放射性物质的增量为：
Q2=∫∫v∫C（t）-C(t+Δt)dV……………………………………（3）
有质量守恒定律：
Q1= Q2……………………………………………………………………
（4）
根据曲面面积分的奥氏公式：
∫S∫q×ndσ=∫∫v∫div q dV……………………………………（5）
其中 div 是散度记号。
有（1）~（5）不难得到：
=kdiv(gradC)=k(а2C/аx2+а2C/аy2+а2C/аz2)，
t>0,- ∞
这个结果表明。对于任意时刻 t，放射性物质浓度 C 的等值面是球面 x2+y2+z2=R2,
并且随着球面半径 R 的增加 C 的只是连续减少的；当 R—>∞或 t—>∞时，C—>0
通过将 x2+y2+z2=R2 代入方程（8）可以解除 R：
R2=(-4)kt×ln((C/Q) ×(4Πkt)3/2……………（9）
R 为在给定扩散系数 k，影响时间 t，放射性物质浓度 C，以及放射源总泄漏量 Q
的情况下的受自然扩散影响范围的半径，即在不考虑风力、降雨情况下的影响范
围。
通过 matlab，可以实现该模型的图像生成，如图一。
在此假定：
k=0.00001(扩散系数)
Q=1000000（放射源总量）
C=100（放射性物质浓度）
t=1000000(秒)（扩散时间）
（ 程 序 见 附 录 一 ， 此 次 输 入 参 数 为 ：
expand(0.00001,1000000,100,1000000,0.5,0,0,0)）
计算机生成图像为：
球面半径 R=7.12 公里，即距离放射源 7.12 公里内均有受到污染
图一
3、考虑风力与降雨因素的影响:
降雨因素：
假设降雨对于放射性物质的吸收率为 r,则方程（9）变为：
R2=(-4)kt×ln((C/((1-r)Q)) ×(4Πkt)3/2……………（10）
风力因素：
只考虑产生在辐射原点某一角度 wa，某一强度 ws 的风力影响。
风力的影响范围从 R 开始每天减少 wd，并且对于影响范围内每一点的作用相同。
具体计算机模拟实现见附录一。
综上两个因素，在 matlab 上生成考虑了风速和降雨因素的影响范围图像
（程序见附录一，输入参数为：
expand(0.00001,1000000,100,1000000,0.5,0.04,0.785,0.3)）
变量假设：
k=0.00001(扩散系数)，参考了其他元素粒子的扩散系数均为此数量级
Q=1000000 毫西弗（放射源总量），发生七级核泄漏时的放射性物质泄漏量
C=100 毫西弗（放射性物质浓度），会对人体产生危害的浓度
t=1000000(秒)（扩散时间）
r=0.5(假设雨水对于放射性物质的吸收率为 50%)
ws=0.04(公里每小时)（假设作用在放射源的风速为 40 米/小时）
wa=0.785（假设风向与 x0y 面平行，且与 x 轴成正 45 度角）
wd=0.3（假设风力影响范围从 R 开始，每天减弱 300 米）
计算机生成图像为：
图二
注：
图形最大半径球的半径 R=7.12 公里，最小半径球的半径 R0=3.52 公里，图形中
分线长度为：7.12+11.11（球心位移）+3.52=21.75（公里）。即放射性物质最远
可 达 沿 风 向 距 离 放 射 源 21.75 公 里 处 。 图 形 面 积 为 ：
(14.24+7.04)*7/2+pi*7.12^2/2+π*3.52^2/2=173.57（平方公里）
模型的分析结果说明在给定的条件下，扩散的最远距离为 21.75 公里。由于现实
四、模型结果分析
中风向的不确定性，出于安全考虑，在核泄漏的中心周边 21.75 公里范围的居民
都应该撤离。
从模型可以看出，主要影响范围的因素主要有核泄漏的总量，以及核泄漏在扩散
过程中的稀释。因此控制核泄漏主要有两点可以考虑。一个是核泄漏源，一个是
风力对于核泄漏影响过程。从核泄漏源考虑，可以通过注水，封堆等控制方法减
少核泄漏的量。比如建立一个检测系统，一旦发生核泄漏，可以自动注水或者封
堆，以减少核物质的泄露总量。
从核泄漏扩散过程考虑，可以通过人工降水来吸收泄露出的核物质，或者在核电
站的选址时考虑地形因素，尽量选择背风点选址。
核电站边际效益评估——模型 II：
一、模型设计
本模型拟用核电站的边际经济效用来衡量核电站的存在必要性。
假设核电站的总经济效用主要受以下因素影响：
1、建设核电站的投资的产出与成本
2、用于技术研发的资金
3、发电量供需缺口
4、环保优势
二、变量解释
Y：所有核电站总经济效益产出
D：全国对于用供电经济效用总需求缺口
N：现有核电站总数目
I：建设一座核电站所需投资的金额（元）
Qn：一座核电站年发电量（千瓦时）
Qc：全国每年的用电量（千瓦时）
Pe：电价(元/每千瓦时）
R：真实 GDP 增长率
r:环境治理投资占 GDP 的比重
Ep:环保系数
Cn:核电站碳排放量
Cf:火电站太排放量
Td：投资于单个核电站促进技术进步的资金所带来的经济效益
t:研究的时间范围
k：中国用于研究开发领域经费占国内生产总值的比重
三、模型建立
本模型通过研究边际分析，研究核电站最优数量，如果最有数量等于或大于目前
我国已有核电站数目+在建核电站数目+计划建设核电站数目，那么我们认为核电
在有继续建设的需求；反之，则没有必要性。
模型为：
一、本模型认为所有核电站的总经济效益分三部分影响因素：
1、核电站在研究时间范围内通过发电产生的经济收益，即：
(Qn×N×Pe ×t ×(1-r) -Ep……………………（1.1）
其中 Qn×N 为所有核电站总发电量，Pe 为电价，t 为有效时间；
因为考虑到核电站为绿色能源，解约了治理环境的成本，所以出去了治理环境的
成本。在这里假设核电站用于治理环境的资金占总产出的比例与中国投入环境治
理的费用占 GDP 的比重相同，即 r。与此同时，引入判断核电站是否为绿色电站
的指标环保系数 Ep，如果 Cn÷(Cn+Cf)>0.5,则 Ep=0，反之为 1。
2、建设时投入的建设成本，即：
I×N…………………………………………………（1.2）
其中 I 为投资成本，N 为核电站的数量
3、由于技术进步带来的经济效益，即：
Td×N…………………………………………………（1.3）
其中 Td 为一座核电站由于技术进步产生的经济收益
综合（1.1）、（1.2）、（1.3），得出所有核电站的总经济效益函数 Y：
Y= (Qn×Pe×(1+r) ×Ep×t×N–I×N+Td×N…………（1）
二、本模型技术进步主要受国内对于发展该技术的投资的影响：
1、假设国内对于发展核电站的需求是国内总发电量与所有核电站发电量得差值
的货币表示，即：
C=( Qc- Qn×N) ×Pe× (1+R)t………………………（2.1）
其中，Qc- Qn×N 为国内总发电量与所有核电站发电量得差值，Pe 为电价，目的
在于将该差值用货币表示；与此同时，考虑到对于技术进步的需求会随着经济增
长而增加，所以在此假设对于技术进步的需求每年以真实 GDP 增长率增长，即：
(1+R)t。
2、对于技术进步的投资为对于技术进步的需求的函数，即：
k×C…………………………………………………（2.2）
在此假定对于核电站技术进步的投资额占需求额的比重与我国投资于研究开发
领域资金占 GDP 的比重相等，即为 k。
3、技术进步带来的单位核电站经济产出等于技术进步的投资，即：
Td=k×C………………………………………………（2）
在此假设技术是可以无成本复刻的，所以一旦技术进步了，所有的核电站的经济
效益都同时提升相同量，且等于投资额。
三、将所有核电站的总经济效益 Y 变形:
将（2.1）、（2）代入（1）中，得：
Y= (Qn×Pe×(1-r)-1×Ep×t–I+ k× Qc×Pe× (1+R)t)×N- k×Qn ×Pe× (1+R)t×N2
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