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图像变换 二维离散傅里叶变换.docx
数字图像处理
图像变换——离散傅里叶变换专题
授课教授：张尤赛
电子信息学院 信号与信息处理专业 邱陈辉 112030016
傅立叶变换是一种正交变换，它广泛地应用于很多领域，掌握了它，人们就可以在
空域和频域中同时思考处理问题的方法。由于它不仅能把空间域中复杂的卷积运算转化
为频率域中的乘积运算，还能在频率域中简单而有效地实现增强处理和进行特征抽取，
因而在图像处理中也得到了广泛的应用。
一、二维傅立叶变换
对于二维信号或者图像信号来说，同样存在连续傅立叶变换和离散傅立叶变换，它
们的正变换和反变换分别如下式所表示：
二维连续傅立叶变换：
)
,(
eyxf
j
(2
ux
vy
)
dxdy
),(
vuF
,(
yxf
)
),(
evuF
j
(2
ux
vy
)
dudv
二维离散傅立叶变换：
),(
vuF
jeyxf
,(
)
(2
ux
M
vy
N
)
1
N
M
1
x
0
y
0
,(
yxf
)
1
MN
1
N
M
1
x
0
y
0
jevuF
),(
(2
ux
M
vy
N
)
（1.1）
（1.2）
（1.3）
（1.4）
二、二维离散傅立叶变换的性质
（1）平均值
傅立叶变换域原点的频谱分量
)0,0(F
是空间域的平均值的 N 倍，即
F
)0,0(
N
N
1
1
1
N
0
0
x
y
,(
yxf
)
N
1
N
2
N
1
N
1
x
0
y
0
,(
yxf
)
,(
yxfN
)
（1.5）
（2）变换的周期性
设 m，n 为整数，将 u+mN 和 v+nN 代入式中右边，有：
(
v
(
iz
u
1
N
N
1
(
uF
,
vmN
nN
)
,(
yxf
)
exp
1
N
x
0
y
0
)
xmN
N
nN
)
y
1
N
N
1
1
N
x
0
y
0
,(
yxf
)
exp
iz
ux
N
vy
exp
(
iz
mx
ny
)
（1.6）
上式中，右边第二个指数项
exp
(
iz
mx
ny
)
为单位值，因此傅立叶变换是周期性的，
即：
(
uF
,
vmN
nN
)
),(
vuF
（3）平移性
如果用
),(
yxf
),(
vuF
表示傅立叶变换对，则平移性是指：
,(
yxf
)
exp
iz
yv
(
xu
N
)
)
v
,
vuuF
(
(
xf
,
yx
y
)
),(
vuF
exp
yv
)
(
iz
xu
N
（1.7）
（1.8）
由于
),(
vuF
exp
yv
)
iz
(
xu
N
),(
vuF
，因而说明
),(
yxf
的移动并不影响它的傅
立叶变换的幅度。
（4）线性特性和比例性
设
,(
yxf
)
af
1
,(
yx
)
bf
2
,(
yx
)
，若
),(1
vuF
和
),(2
vuF
分别是
,(
yxf
1
)
和
f
2
,(
yx
)
的傅氏
变换，则根据定义可知其线性特性为：
),(
vuF
aF
1
),(
vu
),(
vuF
2
（1.9）
同时，也容易证明其比例性为：
auF
(
,
bv
)
1
ab
uF
(
a
,
v
b
)
（1.10）
（5）可分离性
可分离性的主要优点是可以通过两次一维变换来实现一个二维变换（或反变换）。
),(1
vxF
求一维离散傅立叶变换，得中间结果
可分为两步，第一步：先沿 y 轴对
),(
yxf
，
即：
,(
yxF
1
)
1
N
1
N
y
0
,(
yxf
)
exp(
Nvy
iz
/
)
（1.11）
第二步，再沿 x 轴对
),(1
vxF
求一维离散傅氏变换，得最后结果
),( vuF
，即：
),(
vuF
1
M
1
M
x
0
),(
vxF
1
exp(
Mux
iz
/
)
（1.12）
（6）微分性质
傅立叶变换的微分性质可表示为：
n
),(
yxf
n
x
(
),(
vuFuiz
)
n
n
和
)
,(
yxf
n
y
(
iz
),(
)
vuFv
n
（1.13）
作为特例，在图像增强中用到的拉普拉斯（Laplace）算式，可以定义为：
,(
yxf
)
2
,(
yxf
)
2
)
,(
yxf
2
x
2
)
,(
yxf
2
y
（1.14）
则由微分性质可知 laplace 算子的傅氏变换为
2
()2(
2
u
2
),(
vuFv
)
，即
,(
yxf
)
2
()2(
u
2
2
),(
vuFv
)
三、快速傅立叶变换（FFT）
对于一维的傅立叶变换
)(
uF
jexf
)(
2
ux
N
的计算来说，每次计算都需要进行 N
1
N
x
0
次复数乘法和 N－1 次加法，用这个公式计算 N 点的一维傅立叶变换就有计算 2N 次的
乘法和加法运算。而快速傅立叶变换把
exp
j 2
ux
N
只计算一次，然后把它存放在一
个表里，以备查用，这样可以使计算次数减少为
N
log ，因此原始变换算法与快速傅
N
2
立叶变换算法的计算量之比为
N
log/
2
N
，当 N 比较大时，计算量节省是相当可观的。
下面介绍一种逐次加倍法的快速傅立叶变换算法：
令：
WN
exp(
/2
j
N
)
其中 N 为 2 的正整数次幂，且
MN 2 ，则上式可表示
为：
)(
uF
N
1
x
0
)(
Wxf
ux
N
N
1
x
0
f
)2(
Wx
)2(
u
x
2
M
N
1
x
0
f
2(
Wx
)1
2(
u
2
M
x
)1
（1.15）
由于性质
W 2
ux
ux
M W
M
2
，所以可以将上式写为：
)(
uF
N
1
x
0
f
)2(
Wx
ux
M
现在可以定义：
N
1
x
0
f
2(
u
WWx
2
M
ux
M
)1
（1.16）
F
even
)(
u
F
odd
)(
u
1
M
1
M
1
M
x
0
1
M
x
0
f
)2(
Wx
ux
M
u
,1,0
M
1
（1.17）
f
2(
Wx
)1
ux
M
u
,1,0
M
1
（1.18）
因此可以将（1.15）简化为：
)(
uF
F
even
1
2
)(
u
F
odd
)(
Wu
2
u
M
同理，由
W
Mu
M
W
u
M
和
Mu
W
2
M
u
W
2
M
可得：
MuF
(
)
F
even
1
2
)(
u
F
odd
)(
Wu
2
u
M
（1.19）
（1.20）
现在我们来仔细分析式（1.17）和式（1.18），式（1.19）和式（1.20）表明 1 个 N
点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，对 )(uF 第一半的计算需要根据式（1.17）
和式（1.18）计算 2 个（N/2）点的变换，这样所得到的所得到的
F
even 和
)(
u
F
odd
)(
u
可以
代入式（1.19）和式（1.20）以得到
u
,1,0
N
12/
时的 )(uF 。对剩余的 )(uF 的计算
也与此类似。
因此该算法的关键是将输入数据排列成满足连续运用式（1.17）和式（1.18）的次
序。例如要计算 1 个 8 点
f
),0(
f
),1(
,
f
)7(
的快速傅立叶变换，需要将它们排列成
f
),0(
f
),4(
f
),2(
f
),6(
f
),1(
f
),5(
f
),3(
f
)7(
的形式，如下图所示，这样在第 1 层先计算 4
个 2 点变换，在第 2 层用以上 4 个结果计算 2 个 4 点变换，在第 3 层再用以上 2 个结果
计算 1 个 8 点变换。
图 1-1 快速傅立叶变换的输入数据排序
对输入数据的排序可根据一个简单的位对换规则进行，如用 x 表示 )(xf 的 1 个自变
量值，那么它排序后对应的值可通过把 x 表示成二进制，并左右对换各位得到。例如
32N
时， )6(f 排序后为 )3(f ，因为
6
110
，而反过来的
2
0112 。因此，只有把输
3
入数据进行重新排序，则输出结果才是正确的次序，对于傅立叶反变换可以类似计算。
四、图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换的本质是将一个时域上的信号转换到频率域。我们平时观测到的各种物
理量都是随时间的变化，进行傅立叶变换以后就是这些物理量在不同频率上的分布。
对于图像傅立叶变换的物理意义来说，是将以灰度信息表示的图像转变成以不同频
率信息表示的图像，换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为
图像的频率分布函数，而图像的频率信息是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标。
因此，跟对信号的傅立叶变换相似，任何图像的傅立叶变换也可以用许多基图像的
线性组合来表示，如图 1.2，图 1.3，图 1.4 所示。
u
v
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积
图 1-2 基函数图像
的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于 地表属性变换剧烈的边缘
区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换以前，图像是由对在连
续空间上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由
z=f(x,y)来 表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯
度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为
实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图
像上各点并不存在一一对应的关系，即使在 不移频的情况下也是没有。从傅立叶频谱图上我们看到
的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的
大小。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，
如图 1.3 和图 1.4 所示，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么
实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果 频谱图中亮的
点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。
图 1-3 以数字矩阵形式表示的图像傅立叶变换
图 1-4 以基函数表示图像傅立叶变换
五、基于傅立叶变换的图像处理举例
下面的图 1.5 所示是利用二维离散傅立叶变换在频域中沿纵轴方向对某频率区间进
行增强的图像变换例子。
a) 原图
b) 原图的频谱
c) 增强纵轴上某一谱段的强度
d) 傅里叶反变换的结果
图 1.5 图像的频谱在纵轴上增加强度
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