2 2 3 3 第 37 卷 　第 1 期 Vol. 37 　No. 1 　　　　　　　　　　 　文章编号 :0559 7234 (2002) 01 0058 03 山 　东 　大 　学 　学 　报 (自然科学版) JOURNAL OF SHANDON G UN IV ERSIT Y 　　　　　　　　　2002 年 3 月 March 2002 基于小波变换的图像振铃效应去除方法 江 铭 炎 (山东大学 信息科学与工程学院 ,山东 济南 250100) 摘要 :采用小波变换及自适应阈值方法对有振铃效应的图像进行处理 ,实验结果表明该方法可实 时完成对图像的有效处理 ,并对采用模糊方法处理图像进行了讨论. 关键词 :振铃效应 ;小波变换 ;阈值 中图分类号 : TN915 　　　文献标识码 :B U SIN G D YAD IC WAV EL ETS TO R EDUCE THE RIN GIN G AR TIFACTS ( School of i nf orm ation science and engi neeri ng , S handon g U niv . , Ji nan 250100 , S handon g , Chi na) J IAN G Ming yan Abstract :The met hod of dyadic wavelet and adaptive t hreshold is used to reduce t he ringing artifacts. The test results indicate t hat t he met hod is efficient ,and t he ringing image can be processed timely. Key words :ringing artifacts ;wavelet transform ;t hreshold 　　对图像进行二维理想低通滤波时 ,由于截断频 率的直上直下 ,其输出图像会变得模糊和有振铃现 象产生. 在医学上 ,核磁共振 ( NMR) 成像中为节省 成像时间 ,往往只采集一部分 NMR 信号 ,余下部分 用 0 补足 ,致使重构的图像产生振铃效应[ 1 ] . 振铃效 应会降低图像的质量 ,已有许多消除方法 :频域的处 理方法主要有外推法[ 2 ]和预测法[ 3 ] ,空域的处理方 法有最大似然法[ 4 ] 、Markov 随机场法[ 5 ]等 ,另外还 有基于先验知识的目标建模与参数估计法[ 6 ] 、多层 神经网络法[ 7 ] 、小波收缩法[ 8 ] 等. 这些方法有的很 麻烦 ,有的计算量很大 ,有的适用面不广 ,对不同的 图像要调整算法 ,有的对参数和噪声敏感. 针对以上 存在的问题 ,本文提出采用小波变换结合自适应阈 值的方法去除图像中的振铃效应 ,取得了较好的效 果. 1 　基于二进小波变换的图像分解和重构 1. 1 　定义 ψ1 2 j ( x , y) = 2 - 2 jψ1 ( x 2 j , y 2 j ) 与 ψ2 2 j ( x , y) = 2 - 2 jψ2 ( x 2 j , y 2 j ) ,二维信号 f ( x , y) ∈L 2 ( R 2) 的小波 变换 有 两 个 部 分 : W 1 j ( x , y) 与 Jf ( x , y) = f 2 ψ2 W 2 j ( x , y) , 称 函 数 集 W f = 2 2 [ W 1 Jf ( x , y) ] j ∈Z 为 f ( x , y) 的二进小 2 波变换. Jf ( x , y) = f jf ( x , y) , W 2 2 ψ1 2 22 11 收稿日期 :2001 基金项目 :山东大学青年科学基金资助课题. 作者简介 :江铭炎 (1964 - ) ,男 ,硕士 ,副教授 ,从事信息处理技术方面的研究. 

3 第 1 期 　　　　　　　　　　　江铭炎 :基于小波变换的图像振铃效应去除方法 　　　 95 1. 2 　二维信号的小波变换和反变换的快速算法 计 算图像 S d 1 f 的二维离散小波变换的算法如 j +1 f , jf 分解为 S d 2 下 ,对于每个尺度 2 j , 算法将 S d 2 W 1 2 j +1 df . 分解算法由[9 ] 给出 : j +1 df , W 2 2 W 1 2 j +1 df = j = 1 while ( j < J) 1 λj +1 1 λj +1 jf j +1 f = S d 2 j +1 df = W 2 2 S d 2 S d 2 jf ( Gj , D) S d 2 jf ( D , Gj) ( Hj , Hj) j = j + 1 end of while 式中 D 为 Dirac 滤波器 ,其中 H 、G 、K 、L 为滤波器 系数. 重构算法在每个尺度 2 j 将 S d 2 jf , W d 2 1 j f , W d2 2 jf 合 成为 S d 2 j - 1 f ,最后重构 S d 1 f . j = J while ( j > 0) S d 2 j - 1 f = λj W d 2 1 jf ( Kj - 1 , L j - 1) + λj W d 2 2 jf ( L j - 1 , Kj - 1) + S d 2 jf ( Hj - 1 , Hj - 1) j = j - 1 end of while 图 1 为 Lena 图像的一级小波变换 , 其水平 、垂 直 、对角图像为原图像的细节高频图像 ,最左上角图 像为原图像的低频平滑图像 , 根据需要可对平滑图 像再进行二级或多级的小波变换 , 小波变换具有将 图像在时域和频域进行局部分析的能力. 2 　图像振铃效应的消除方法 2. 1 　算法 一般在对图像进行二维理想低通滤波时 , 由于 截断频率的直上直下 , 其输出图像会有振铃现象产 生. 在医学上 ,核磁共振成像系统中常用的断层成像 方法是二维离散傅立叶变换重建法 ,其中 Y 方向上 采用 相 位 编 码 , 在 X 方 向 上 采 用 频 率 编 码 , 对 N 数据图像 ,为节省成像时间 ,往往只采集一部 N 分中间 m ( m < N ) 次相位编码信号 ,余下部分用 0 补足 ,致使重构的图像产生振铃效应. 由于只在 Y 方向上缺少高频成分 , 振铃效应只沿 Y 方向扩散 , 故可以一列列地处理图像. 将具有振铃效应的图像 Ⅰ进行三级小波变换 ,将细节高频图像的值全部取 零 , 再进行图像的二进小波三级反变换重构图像 Ⅱ. 重构的平滑图像 Ⅱ虽然消除了振铃效应 , 但同 时由于缺少高频分量使图像的强边缘也被光滑. 为 获得好的重构图像 (即消除振铃效应又具有强的边 缘) ,要考虑在 Y 方向上增加相应高频分量的同时 , 又能去除导致振铃效应的那部分高频分量. 取振铃效应的原图 Ⅰ的任一列 X i , 对应的平 滑图像的列为 X i ,其差值即是被去除的那部分高频 分量. 设 Y ( j , f ( j) ) ,其中 f ( j) 为 X j 中的第 j 个点 X i 中的第 j 个点的灰度值. 令 δ 的灰度值 , f ( j) 为 f ( j) | ,当 Y 是 X i 的极值点时 , 则δ就 f ( j) - = | 大 ;当 Y 是 X i 平坦部分的极值点时 ,δ就小. 故极值 点处δ的值可作为判定该极值点是否位于强边缘的 判据. 考虑取一阈值 T , 当 δ > T 时则保留原图像 列中该点及周围的数据 , 否则用平滑图像列中对应 点及周围的数据 ,这样既能保持强边缘 ,又能平滑平 坦部分的振铃效应. 但这种修正会导致灰度值的不 连续. 为解决这一问题 , [1 ] 采用了非线性 S 函数进 行修正 :引入 X i 和 X i , 其值由下式确定 : X i = αX i + (1 - α) X i . 其中 α = S (δ - T) , 而 S ( x ) 为 S 形的函数 : S ( x ) = 1/ (1 + e - βx) ,其中β > 0 为控制 S ( x) 陡度的参数. 由 X i 构成的新图像 I 既消除了振铃效应 ,又有很好的空间分辨率. 阈值 T 的确定较困难 , 同一图像要通过实验进行调整. 对不同的图像选择更困难 ,也不能实现实时应用. 2. 2 　自适应阈值的取得 X i 的加权 从以上分析可知 ,取得较好的处理图像 (既消除 振铃效应又具有强的边缘) ,即对各列差δ = | f ( j) f ( j) | 进行有效的处理 , 二进小波重构的平滑图 - 像及原图像的差即为高频细节. 若按以上方法即便 找到阈值 T , 将其作为高频细节图像各列的统一阈 值也是不适合的. 这是因为各列之间的 δ = | f ( j) f ( j) | 变化很大 ,用统一的 T 阈值导致获得的处 - 理图像不很令人满意. 考虑取自适应阈值 T i , 由 X i 和 X i 差值获得各列高频细节的差 ,对各列的高频细 节差值计算其标准偏差 , T i 取各列差值的标准偏差 的 (0. 5 ～ 0. 9) 倍 ,这样既能保持强边缘 , 又能平滑 平坦部分的振铃效应. 由于考虑了各列高频偏差的 不同 ,获得的处理图像比前面介绍的通过实验取得 的单一阈值的方法好得多. 3 　实验结果与讨论 (1) 实验选择 Lena 图像 ,分别为原始图像 ,有振 铃效应图像和经过小波变换和自适应阈值处理得到 的图像见图 2 ～ 4. 采用自适应阈值法 , 免去了通过 

2 06 　　　　　　　　山 　东 　大 　学 　学 　报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　第 37 卷 实验选择阈值的麻烦 ,并可实时处理 ,可获得更好的 图像处理质量 ,具有较好的实用价值. (2) 图像处理中小波的选择不同对所取得的图 像处理的效果是不同的. 本文采用 dB 1 小波仅为验 证方法的可行性. 要获得较满意的处理图像 ,可选择 线性相位好 ,且滤波器阶数相对低的小波 ,还要对取 得的处理图像进行适当的高频增强处理. 图 1 　单尺度小波变换图 Fig. 1 　One scale WT image 图 2 　L ena 原图 (256 256) Fig. 2 　Original image 图 3 　振铃图 ( m = 30) 图 4 　处理图像 Fig. 3 　Ring image Fig. 4 　Processed image 　　(3) 采用模糊方法 应用极值点处δ的值作为判定该极值点是否位 于强边缘的判据 ,其与阈值 T 的差表明所取数值是 否含有振铃效应的成分是一个模糊概念. 考虑取隶 属函数μ[ f (δ- T) ] ,在 0 与 1 间连续取值 ,则处理 图像为 X i) . 隶属函 数的确定服从以下规则 :若 μ[ f (δ - T) ] 大则表明 含振铃效应频率成分的可能性大 ;若 μ[ f (δ - T) ] X i + μ[ f (δ - T) ] ( X i - X i = 小 ,则含有振铃效应频率成分的可能性小. 通过将模 糊因子作为控制手段 , 使对图像的处理具有自适应 能力 ,这样既能较好地保持图像的边缘高频信息 ,又 能去除振铃效应. 关键是隶属函数的确定 ,本文仅有 一条规则 ,可用阶梯函数近似逼近由 μ[ f (δ - T) ] X i | 确定的这一规则曲线 ,以确定μ[ f (δ 和 | X i - - T) ] 值 ,实验表明处理效果尚可 ,但这种近似不严 格. 在实际应用中可考虑某类图像的特征 ,取得多条 规则 ,则隶属函数由重心法来确定就容易得多 ,本文 提出这一思路 ,方法的可行性有待进一步研究. 参考文献 : [ 1 ]林宙辰 ,石青云. 用二进小波消除磁共振图像中的振铃效应[J ] . 模式识别与人工智能 ,1999 ,12 (3) :320～324. [ 2 ] Papoulis A. A New Algorthm in Spectral Analysis and Band Limited Extrapolation [ J ] . IEEE Ttans on Circuits and Systems , 1975 , 22 (9) :735～742. [ 3 ]Barone P ,Sebastiani G. A New Method of Magnetic Resonance Im age Reconstruction with Short Acquisition Time and Truncation Ar tifact Reduction[J ] . IEEE Trans on Medical Imaging ,1992 ,11 (2) : 250～259. [4 ] Fuderer M. Ringing Artifact Reduction by an Efficient Likelihood Improvement Method[ A ] . In : Proc SPIE ,1989 ,84～90. [ 5 ]Sebastiani G. Truncation Artifact Reduction in Magnetic Resonance Imaging by Markov Random Field Methods [ J ] . IEEE Trans on Medical Imaging ,1995 ,14 (3) :434～441. [ 6 ] Haacke E M ,Liang Z P. Superresolution Reconstruction through Ob ject Modeling and Parameter Estimation[J ] . IEEE Trans on Acous tics ,Speech and Signal Processing ,1989 ,37 (4) :592～595. [ 7 ] Yan H. Data Truncation Artifact Reduction in MR Imaging Using a Mutilayer Neural Network [ J ] . IEEE Trans on Medical Imaging , 1993 ,12 (1) :73～77. [ 8 ] Ko K C W. MRI Truncation Artifact Reduction via Wavelet Shrink age[ A ] . In : Proc SPIE ,1997 ,301～311. [9 ]徐佩霞 ,孙功宪. 小波分析与应用实例[ M ] . 合肥 :中国科技大学 出版社 ,1996.