2017湖南考研数学二真题及答案.doc-资料库

2017 湖南考研数学二真题及答案一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）   1    , xb cos ax 0  x , x  ,0 在 0x 处连续，则（） (B ) 1ab 2 。 D( 2ab 。（1）若函数 )( xf  (A ) 1ab 2 。 (C ) 0ab 。【答案】 ) (A 【解】 f )00(   lim 0 x  1  cos ax x  1 2 a ， f )0(  f )00(   b ，因为 )(xf 在 0x 处连续，所以 f )00(   f )0(  f )00(  ，从而 1ab 2 ，应选 ) (A 。（2）设二阶可导函数 )(xf 满足 f )1(  f 1)1(  ， f )0(  1 ，且 f  x )(  0 ，则（） 1 (A  ) 1 (C ) 0  1 )(xf  0 。 )( xf  1  0 )( xf dx 。【答案】 ) (B 【解】取 )( xf 2  x 2  1 1 ，显然 1 )(xf  0 。 )( xf  1  0 )( xf dx 。 1 (B  ) 1 0  1 (D ) )(xf  0 ，应选 ) (B 。（3）设数列 }{ nx 收敛，则（） (A 当 ) lim n  sin x n  0 时， lim  x  n n 0 。 (B 当 ) lim n  ( x n  | x n )|  0 时， lim  x  n n 0 。 (C 当 ) lim n  ( x n  x 2  ) n 0 时， lim  x  n n 0 。 ) (D 当 lim n  ( x n  sin x n )  0 时， lim  x  n n 0 。

【答案】 ) (D 【解】令 lim n  xn  A ，由 lim n  ( x n  sin x n )  A  sin A  0 得 0A 。（4）微分方程 y  4 y  8 y  e 2 x  1( cos )2 x 的特解可设为 y （） (A ) 2 x Ae  e (2 x B cos 2 Cx  )2sin x 。 (B ) 2 x Axe  xe (2 x B cos 2 Cx  )2sin x 。 (C ) 2 x Ae  xe (2 x B cos 2 Cx  )2sin x 。 ) (D 2 x Axe  xe (2 x B cos 2 Cx  )2sin x 。【答案】 ) (C 【解】特征方程为 2   4  8 0 ，特征值为  2,1 i22 。对方程 y  4 y  8 y  2 xe ，特征形式为 y 1  2 xAe ；对方程 y  4 y  8 y x 2 e cos 2 x ，特解形式为 y 2  xe (2 x B cos 2 Cx  )2sin x ，故方程 y  4 y  8 y  e 2 x  1( cos )2 x 的特解形式为 y  Ae 2 x  xe (2 x B cos 2 Cx  )2sin x ，应选 ) (C 。（5）设 ,( yxf ) 具有一阶偏导数，且对任意的 ,( yx 都有 ) ) ,( yxf  x   ,0 ) ,( yxf  y   0 ，则（） (A ) f )0,0(  f )1,1( 。 (B ) f )0,0(  f )1,1( 。 (C ) f )1,0(  f )0,1( 。 (D ) f )1,0(  f )0,1( 。【答案】 ) (D 【解】 ) ,( yxf  x   0 得 ,( yxf ) 关于 x 为增函数，从而 f ,1( y )  f ,0( y ) ；

由 ) ,( yxf  y   0 得 ,( yxf ) 关于 y 为减函数，从而 )0,( xf  )1,( xf ，由 f ,1( y )  f ,0( y ) 得 f )0,1(  f )0,0( ；由 )0,( xf  )1,( xf 得 f )0,0(  f )1,0( ，故 f )0,1(  f )1,0( ，应选 ) (D 。（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10 （单位： m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线 v  )(1 tv （单位： sm / ），虚线表示乙的速度曲线 v  )(2 tv ，三块阴影部分面积的数值依次为 3,20,10 ，计时开始后乙追甲的时刻为 0t （单位： s ），则（） (A ) 0 t 10 。 (B ) 15  t 0  20 。 (C ) 0 t 25 。 (D ) 0 t 25 。【答案】【解】（7）设 A 为 3 阶矩阵， 1 P 3 ( , , 2 ) 为可逆矩阵，使得 P 1AP        000 010 200      ，则 )  （） (B ) 2  3 2 。 (D ) 2  3 1 。 ( A 3   2 1 (A ) 1   。 2 (C ) 2   。 3 【答案】 ) (B 【解】由 P 1AP        000 010 200      得 AP  P      000 010 200      ，

于是 ( A  3   2 1 )  AP      1 1 1       P      000 010 200           1 1 1        ,0  3 2, 2       1 1 1        3  2 2 ，应选 ) (B 。（8）已知矩阵 A       002 120 100   ,    B       012 020 100   ,    C       001 020 200      ，则（） (A A 与C 相似， B 与C 相似。 ) (B A 与C 相似， B 与C 不相似。 ) (C A 与C 不相似， B 与C 相似。 ) (D A 与C 不相似， B 与C 不相似。 ) 【答案】 ) (B 【解】 CBA , , 的特征值为  2 1   ,2 3   1 ， 00 00 00      0 1  1      0 0 0      01  0 0 0 1      由 2 AE   由 2 BE   应选 ) (B 。得 2(  AEr 1)  ，则 A 可相似对角化，从而 CA ~ ；得 2(  BEr )  2 ，则 B 不可相似对角化，从而 B 与 CA, 不相似，二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）（9）曲线 y  x 1(  arcsin )2 x 的斜渐近线为 ________ 。【答案】 y 2 x 。【解】 lim x  y x  lim x  1(  arcsin 1)2  x ，

( y  x )  lim x  lim x  12  x 1  arcsin 1 x  2 ，斜渐近线为 y 2 x 。（10）设函数 y  )(xy 由参数方程    x y t , t  sin  e t 确定，则 2 yd 2 dx | t 0 ____ 。【答案】 1 。 8 【解】 dy dx  dy dx / / dt dt  cos t te 1  ， t ) t 1( e  1( e  1 e   2 ) t t e cos t 1(  t e  sin) 1(  t e  t ) t e 3 cos t ，  sin t 2 yd 2 dx | t  0 d ( cos t t 1 e  / dx dt )  则 2 yd 2 dx | t 0 1 8 。（11）  0 1ln( 1(   x ) x 2 ) dx  ________ 。【答案】 2 。【解】   0 1ln( 1(   x ) x 2 ) dx    0 1ln(  1() dx 1  ) x  ) 1ln( x  1 x  |  0    0 1 x  2 ) 1( dx 1  1  1 x |  0  2 （12）设函数 ,( yxf ) 具有一阶连续的偏导数，且 ,( yxdf )  ye y dx  x 1(  ) ey y dy ， f )0,0(  0 ，则 ,( yxf ) _______ 。【答案】 y xye 【解】由 ,( yxdf )  ye y dx  x 1(  ) ey y dy  d ( xye y ) 得

,( yxf ) xye y  C ，再由 f )0,0(  0 得 0C ，故 ,( yxf ) y xye 。（13） 1  0 dy x tan1  x y dx  _______ 。【答案】 ln 1cos 【解】 1  0 dy 1  y x tan x dx  1  0 x tan x dx x  0 dy  1  0 tan xdx  ln cos x 1 | 0  ln 1cos 。（14）设矩阵 A  14 21 13      2  a 1       【答案】 1a 。的一个特征向量为      1 1 2      ，则 a ________ 。【解】由 14 21 13      2  a 1            1 1 2             1 1 2      得 1 ,     a23    ，解得  1a 。三、解答题（15）（本题满分 10 分）求 lim 0 x  x  0 t dtet 3 x  x 。【解】则 lim 0 x  x  t dtet utx   x  0 x  0 eu ux  du  x e x  0  u eu du ， x  0 t dtet 3 x  x  lim 0 x  x e  x  0  u du 3 eu x  lim 0 x  x  0  u du 3 eu x  lim 0 x   2 3 。  x x ex 3 2 （16）（本题满分 10 分）

设函数 ),( vuf 具有二阶连续的偏导数， y  x ( ef , cos x ) ，求 dy dx | x 0 ， 2 yd 2 dx | x 0 。【解】 dy dx  x fe  1 sin fx   2 ， dy dx |  f 1 0 )1,1( x ； 2 yd 2 dx  x fe  1 x x fee (  11 sin fx   ) 12 cos fx   2 sin x ( fex  21 sin fx   22 ) ，则 2 yd 2 dx |  f 0 1 )1,1( x  f 11 )1,1(  f 2 )1,1( 。（17）（本题满分 10 分）求  lim n  n k 1  k 2 n 1ln(  k n ) 。【解】 lim n  n  k 1  k 2 n 1ln(  1  0 1ln(  () xdx 2 )  k n 1 2 )  lim n  1 n n  k 1  k n 1ln(  k n )  1  0 x 1ln(  x ) dx 2 x 1ln(  x 1 |) 0  1 2 1  0 ( x 2 1)1  1 x  dx   1 2 1 2 2ln  1 2 1  0 ( x 1  1  1 x ) dx  1 2 2ln 1 4  1 2 1 2 2ln  1 4 。（18）（本题满分 10 分）已知函数 )(xy 由方程 x 3  3 y  3 x  3 y  2 0 确定，求 )(xy 的极值。【解】 3 x  3 y  3 x  3 y  2 0 两边对 x 求导得 2 3 x  3 2 yy  33 y  0 ，令 0y 得 x 1  ,1 2 x  1 ，对应的函数值为 1 y 0 ， 2 y 1 ； 2 3 x  3 2 yy  33 y  0 两边再对 x 求导得 6 x  6 yy  2 3 2 yy  3 y  0 ，由 y )1( 2 0 得 1x 为极小点，极小值为 0y ；

由 y )1( 01 得 1x 为极大点，极大值为 1y 。（19）（本题满分 10 分）设函数 )(xf 在 ]1,0[ 上二阶可导且 f )1(  0 ， lim 0 x  )( xf x  0 。证明：（ I ）方程 )(xf 在 )1,0( 内至少有一个实根；（ II ）方程 )( fxf  )( x  f 2 )( x  0 在 )1,0( 内至少有两个不同的实根。【证明】（ I ）由 lim 0 x  )( xf x  0 得 f )0(  0 ，又存在 0 ，当 ,0( x ) 时， )( xf x 于是存在 ,0( c ) ，使得 )( cf 0 ，  0 ，即当 ,0( x ) 时 )( xf 0 ，因为 )( fcf )1(  0 ，所以存在 x 0  c )1,(  )1,0( ，使得 ( 0 xf ) 0 。（ II ）令  )( x )( fxf  )( x ，因为 ( x )0(  ) 0  0 ，所以由罗尔定理，存在  ,0(  x ) 0  )1,0( ，使得   )(  0 ，而  )( x  )( fxf  )( x  f 2 x )( ，故 f  )( )(  f  f 2 )(   0 ，即 )( fxf  )( x  f 2 )( x  0 在 )1,0( 内至少一个实根。（20）（本题满分 11 分）已知平面区域 D  ,{( yx |) 2 x  2 y  }2 y ，计算二重积分 D ( x  【解】由对称性得 ( x  )1 2 d    D  D 2 ( x  )1 d  ， 2)1 d 。

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