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2005年山东高考理科数学真题及答案.doc
2005 年山东高考理科数学真题及答案
第 I 卷（共 60 分）
参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
如果事件 A、B 相互独立，那么 (
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
一．选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一
个符合题目要求的选项.
1
i
（1）
1
i
（A）i
（2）函数
（A）
y
y
2
1
i
1
i
2
x
x
1
x
（ ）
（D） 1
（ ）
（D）
y
（C）1
y
（C）
（B） i
的反函数图像大致是
0
（B）
1
x
y
o
1
o
x
o
1
x
1
o
x
（3）已知函数 sin
y
x
12
cos
x
12
，则下列判断正确的是（ ）
（A）此函数的最小周期为 2，其图像的一个对称中心是
12
,0
（B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是
12
,0
（C）此函数的最小周期为 2，其图像的一个对称中心是 ,0
6
（D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是 ,0
6
（4）下列函数既是奇函数，又在区间
1,1 上单调递减的是（
）
（A） ( )
f x
sin
x
（B） ( )
f x
（C）
x
1
( )
f x
x
a
x
a
1
2
（D）
( )
f x
ln
2
2
x
x
（5）如果
3
x
n
1
x
2
3
的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中
1
3
x
的系数是（ ）
（A）7
（6）函数
( )
f x
（B） 7
sin(
), 1
x
1
x
0.
,
x
e
x
2
（C）21
（D） 21
0,
，若 (10
f
( )
f a
则 a 的所有可能值为（
2,
）
（A）1
（B）
2
2
（C）
1,
（7）已知向量 ,a b
AB a
2 ,
b BC
5
a
6
b
，且
，
2
2
CD
（D）
1,
2
2
a
2
b
7
，则一定共线的三点
是（ ）
（ A）A、B、D
（8）设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬 45 东经120 ，乙地位于南纬 75 东经120 ，
则甲、乙两地的球面距离为（
（C）B、C、D （D）A、C、D
（B）A、B、C
）
6
R
（B）
（A） 3R
2
3
（9）10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（
11
12
的（
1
2
（10）设集合 A、B 是全集U 的两个子集，则 A B 是
5
6
B U
3
10
1
12
（D）
（A）
（D）
（C）
（B）
（C）
UC A
R
R
）
）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件
1a ，下列不等式一定成立的是（
）
(1
)
a
log
a
)
(1
a
)
(1
)
a
log
（B） (1
2
(1
)
a
log
a
)
(1
a
)
(1
)
a
（11） 0
log
（A） (1
log
（C） (1
a
)
(1
)
a
log
(1
a
)
(1
)
a
log
(1
a
)
(1
)
a
log
(1
a
)
(1
)
a
log
（D） (1
a
)
(1
)
a
log
(1
a
)
(1
)
a
log
(1
a
)
(1
)
a
log
(1
a
)
(1
)
a
（12）设直线 : 2
l
x
y 关于原点对称的直线为l ，若l 与椭圆
2 0
2
x
2
y
4
的交点为
1
）
A、B、，点 P 为椭圆上的动点，则使 PAB
的面积为
（A）1
（B）2
的点 P 的个数为（
1
2
（C）3
（D）4
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上.
第 II 卷（共 90 分）
（13）
lim
n
2
C
2
n
(
2
C
1)
n
n
n
2
__________
.
(14)设双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的右焦点为 F ，右准线l 与两条渐近线交于 P、Q 两
0)
点，如果 PQF
是直角三角形，则双曲线的离心率 ___________
e
.
(15)设 x 、y 满足约束条件
12,
x
y
3
2
y
x
0
x
0
y
5,
3,
4.
则使得目标函数 6
z
x
的最大的点 ( ,
x y 是
5
y
)
________ .
(16)已知 m n、 是不同的直线， 、 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 //
,
则 //m n
m
n
,
,
②若 ,
m n
,
m
//
,
则 // ③若
m
,
n
,
//
m n
，则 // ④ ,m n 是两条异面直线，
,
,
,
n
n
//
//
//
m
m
，则 //
若 //
上面的命题中，真命题的序号是 ______ （写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分 12 分）
2 sin ,cos
,2
,
m n
， 且
8 2 ,
5
求
已 知 向 量
m
(cos ,sin )
n
和
cos
2
8
的值.
(18)(本小题满分 12 分)
袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为
1 ,
7
现有甲、乙两人从袋中轮
流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时
既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求随机变量的概率分布；
（III）求甲取到白球的概率.
（19）（本小题满分 12 分）
3
3(
m
1)
x
2
nx
已知 1x 是函数
( )
f x mx
（I）求 m 与 n 的关系式；
（II）求 ( )
f x 的单调区间；
1
的一个极值点，其中 ,
m n R m
,
，
0
（III）当
x 时，函数
1,1
y
( )
f x
的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ，求 m 的
取值范围.
(20)(本小题满分 12 分)
如图，已知长方体
1,
ABCD A B C D
1 1 1
AB
2,
AA
1
1,
1A
A
F
1C
E
C
1B
B
1D
D
直线 BD 与平面 1 1
AA B B 所成的角为30 ， AE 垂直 BD 于
E ， F 为 1 1A B 的中点.
（I）求异面直线 AE 与 BF 所成的角；
（II）求平面 BDF 与平面 1AA B 所成的二面角；
（III）求点 A 到平面 BDF 的距离.
（21）（本小题满分 12 分）
已知数列 na 的首项 1
a 前 n 项和为 nS ，且
5,
S
1
S
n
n
5(
n N
*
)
n
（I）证明数列
1na 是等比数列；
（II） 令
( )
f x
a x a x
1
2
2
a x
n
n
2 (1)
f 与 2
23
n
13
n 的大小.
(22)(本小题满分 14 分)
， 求函 数 ( )
f x 在 点 1x 处 的导 数 (1)
f 并 比较
已知动圆过定点 ,0
p
2
，且与直线
x 相切，其中
p
2
0
p .
（I）求动圆圆心C 的轨迹的方程；
（II）设 A、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为和
，当 ,变化且 为定值 (0
时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点
)
的坐标.
参考答案
一．选择题
题
号
答
案
1
D
2
B
3
B
4
D
5
C
6
C
7
A
8
D
9
D
10
11
12
A
A
B
二．填空题
13．
3
2
14.
e
2
15.
2,3
16.
③④
三.解答题
17.考查知识点：（三角和向量相结合）
cos
sin
sin
cos
sin
(cos
sin )
2
=
解:
m n
m n
2,cos
2
2
4 2 2(cos
sin )
= 4 4cos
4
= 2 1 cos
4
由已知
m n
2
cos (
cos
)
2
8
2
8
8 2 ,
5
16
25
,得
cos
4
7
25
,2
2
8
) 1
又
2
2cos (
cos
4
9
5
8
8
2
8
0
cos
8
2
4
5
18.（考查知识点：概率及分布列）
解:(I)设袋中原有 n 个白球,由题意知
1
7
C
C
2
n
2
7
1)
(
n n
2
7 6
2
1)
(
n n
7 6
可得 3n 或
n (舍去)即袋中原有 3 个白球.
2
(II)由题意,的可能取值为 1,2,3,4,5
(
P
1)
P
2
(
P
3)
(
P
4)
(
P
5)
;
2
7
3
;
7
4 3
7 6
4 3 2
7 6 5
4 3 2 3
7 6 5 4
4 3 2 1 3
7 6 5 4 3
6
35
;
3
35
;
1
35
;
所以的分布列为:
P
1
3
7
2
2
7
3
6
35
4
3
35
5
1
35
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事
件 A ,则
(
)
P A
P
1
P
3
P
5
19.（考查知识点：函数结合导数）
22
35
解(I)
( ) 3
f x
mx
2
6(
m
1)
因为 1x 是函数 ( )
x n
f x 的一个极值点,所以 (1) 0
,
f
即3
m
6(
m
1)
，所以 3
m
0
n
n
6
（II）由（I）知，
( ) 3
f x
mx
2
6(
m
1)
x m
3
=
6
3 (
m x
1)
x
1
2
m
当
0m 时，有
1 1
，当 x 变化时， ( )
f x 与 ( )
f x 的变化如下表：
1
2
m
0
1
2
m
,1
0
1
0
1,
0
2
m
2
m
,1
0
x
f x
( )
( )
f x
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当
0m 时， ( )
f x 在
,1
2
m
单调递减，在
(1
2
m
,1)
单调递增，在 (1,
)
上单调递减.
（III）由已知得 ( ) 3
，即 2 2(
mx
m
m
x
2 0
又
0m 所以 2
x
即
0
2
x
1)
2
m
(
m
1)
x
2
m
0,
x
①
1,1
设
( )
g x
2
x
2(1
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以
g
g
( 1) 0
(1) 0
0
解之得
又
m
4
3
0m 所以
4
3
m
0
f x
2
m
2
m
)
x
1)
x
2
m
2
2
m m
(
m
1
m
1 2
1 0
即 m 的取值范围为
4 ,0
3
20．(考查知识点：立体几何)
解：在长方体
ABCD A B C D
1
1 1 1
中，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴，
1AA 所在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系
由已知
AB
2,
AA
1
可得 (0,0,0),
1,
A
B
(2,0,0)
， (1,0,1)
F
又 AD 平面 1 1
AA B B ，从而 BD 与平面 1 1
AA B B 所成的角为
DBA
30
，又
AB ，
2
AE BD
，
AE
1,
AD
2 3
3
从而易得
E
3
1
,
2 2
,0 ,
D
0,
2 3
3
,0
（I）因为
AE
1
3,
2 2
,0 ,
BF
1,0,1
所以
cos
AE BF
,
AE BF
=
AE BF
1
2
2
2
4
易知异面直线 AE BF、 所成的角为
arccos
2
4
（II）易知平面 1AA B 的一个法向量
m
(0,1,0)
n
设 ( ,
, )
x y z
是平面 BDF 的一个法向量，
n BF
n BD
m n
m n
0
x
z
2 3
3
2
x
y
z
x
3
x
y
0
即平面 BDF 与平面 1AA B 所成的二面角的
0
0
15
5
BD
( 2,
2 3
3
,0)
由
n BF
n BD
即
n
1, 3,1
所以
cos
,
m n
大小（锐角）为
arccos
15
5
（III）点 A 到平面 BDF 的距离，即 AB
在平面 BDF 的法向量 n
上的投影的绝对值，
所以距离
d
AB
cos
,
AB n
=
21．（考查知识点:数列）
AB n
n
2 5
5
所以点 A 到平面 BDF 的距离为
2 5
5
解：由已知
S
1
n
S
n
n
5(
n N
*
)
可得
n
2,
S
n
2
S
n
1
两式相减得
n
4
S
n
1
S
n
2
S
n
S
n
1
1
即
a
1
n
2
a
n
1
从 而
a
1 1 2
n
a
n
1
当
1n 时
S
2
12
S
1 5
a
所以 2
a
1
12
a
又 1
a 所以 2 11
a 从而
6
5
a
2
1 2
a
1
1
故总有 1 1 2(
a
n
a
n
1)
，
n N 又 1
a
*
15,
a
从而 1 1
1 0
1
a
n
a
n
2
即数列
1na 是等
比数列；
（II）由（I）知
3 2
na
1n
因为
( )
f x
a x a x
1
2
2
a x
n
n
所以
( )
f x
a
1
2
a x
2
1
n
na x
n
从而
f
(1)
a
1
2
a
2
na
n
=
3 2 1
2
1
(3 2
n
n
1)
2 3 2
=
3
12 2
n
n
n
-
2
1 2
n
1
1)
(
n n
2
6
n =
1
=
3 2 2 2
2
由上
2 (1)
f
n
-
1 2
23
n
2
13
n
12
n
1 2 n
2 n
12
n
1 2
n
12
n
1 (2
n
1)
=12(
n
n
1) 2
(2
n
1)
①
当 1n 时，①式=0 所以
2 (1)
f
2
23
n
13
n
；
当 2
n 时，①式=-12 0 所以
2 (1) 23
n
f
2
13
n
当 3n 时， 1 0
n 又
n
2
1 1 n
C C
0
n
1
n
C
n
n
1
C
n
n
2
n
2
2
n
1
所以
n
n
1 2
2
n
1
即① 0 从而 2 (1)
f
0
2
23
n
13
n
22．（考查知识点:圆锥曲线）
解：（I）如图，设 M 为动圆圆心， ,0
p
2
为记为 F ，过点 M 作直线
x 的垂线，垂
p
2
足为 N ，由题意知： MF MN
即动点 M 到定点 F 与定直线
物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中
pF
2
,0
为焦点，
方程为 2
y
2
(
px P
；
0)
x 的距离相等，由抛
x 为准线，所以轨迹
p
2
p
2
（II）如图，设
x
A x y B x y ，由题意得 1
,
,
,
1
1
2
2
x （否则
）且 1
2
x x 所
0
,
2
以直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y
kx b
，显然
x
1
2
y
1
2
p
2,
x
，将 y
y
2
2
2
p
kx b
与
2
y
2
y
1
y
2
(
px P
2
,p
k
0)
联 立 消 去 x ， 得 2 2
ky
py
2
pb
由 韦 达 定 理 知
0
y y
1
2
2
pb
k
①
（1）当
时，即
2
时， tan
2
tan
y
1
所以 1
x
1
2
y
x
2
1,
x x
1 2
y y
1 2
，
0
2
2
y y
1
2
2
4
p
y y
1 2
所以
0
y y
1 2
4
p
2
由①知：
2
pb
k
2
4
p
所以 2
b
pk
.
因此直线 AB 的方程可
表示为
y
kx
2
Pk
，即 (
k x
2 )
P
所以直线 AB 恒过定点
y
0
2 ,0p
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