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数学模型程序代码-Matlab-姜启源-第一章-建立数学模型.pdf
第 1 章 建立数学模型
教材中给出原始数据， 结合模型， 得到结果。 但如何求得结果这一过程没有
给出，实际上要用 MATLAB 软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。
考虑到上学期同学们刚学习 MATLAB 语言，编程能力不强，所以有关的程序给
出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。
1.（求解，编程）如何施救药物中毒 p10~11
人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型） ：
d
x
d
t
d
y
d
t
,
x
x
(0)
1100
x
,
y
y
(0)
0
(
,
0)
其中，x(t)为 t 时刻胃肠道中的药量， y(t)为 t 时刻血液系统中的药量， t=0 为
服药时刻。
1.1（求解）模型求解 p10~11
要求：
① 用 MATLAB 求解微分方程函数 dsolve求解该微分方程（符号运算） 。
② 用 MATLAB 的化简函数 simplify 化简所得结果。
③ 结果与教材 P11上的内容比较。
提示： dsolve和 simplify 的用法可用 help 查询。建议在命令窗口中操作。
★ 求解的语句及运行结果：
>> [x,y]= dsolve( 'Dx=-a*x' ,'Dy=a*x-b*y'
>> disp([x,y])
[ 1100*exp(-a*t), exp(-a*t)*exp(-b*t)*((1100*a*exp(a*t))/(a - b) - (1100*a*exp(b*t))/(a - b))]
,'x(0)=1100' ,'y(0)=0' );
1
>> disp(simplify([x,y]));
[ 1100*exp(-a*t), (1100*a*exp(-t*(a + b))*(exp(a*t) - exp(b*t)))/(a - b)]
1.2（编程）结果分析 p11
已知 λ=0.1386, μ=0.1155，将上题中得到 x(t)和 y(t)两条曲线画在同一个图形
窗口内。参考图形如下。
x(t)
y(t)
1200
1000
800
600
400
200
g
/m
x,y
0
0
提示：
参 考 答 案
5
10
15
20
25
t /h
MATLAB 命令 plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text。
★ 编写的程序和运行结果：
程序 1：用 plot
clc;clear;
a=0.1386; b=0.1155;
t=0:0.01:25;
x=1100./exp(a*t);
y=-(1100*a*(1./exp(a*t) -1./exp(b*t)))/(a - b);
plot(t,x,t,y);
grid on;
xlabel('{\itt} /h' ); ylabel('{\itx},{\ity} /mg' );
2
text(2,1100/exp(a*2),'
text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)))/(a - b), '
{\itx}({\itt})' );
{\ity}({\itt})' );
程序 2：用 fplot 和匿名函数
clc;clear;
a=0.1386; b=0.1155;
fplot(@(t)[1100/exp(a*t),-(1100*a*(1/exp(a*t) - 1/exp(b*t)))/(a - b)],[0 25]);
grid on;
xlabel('{\itt} /h' ); ylabel('{\itx},{\ity} /mg' );
text(2,1100/exp(a*2),'
text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)))/(a - b), '
{\ity}({\itt})' );
{\itx}({\itt})' );
2.（编程，验证）商人们怎样安全过河 p8~9
三名商人各带一个随从乘船渡河， 一只小船只能容纳二人， 由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何
乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？
[模型构成 ]
决策： 每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。
要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多） ，经有限步使全体人员
过河。
xk 第 k 次渡河前此岸的商人数
yk 第 k 次渡河前此岸的随从数
xk , yk=0,1,2,3; k=1,2,
过程的状态
sk=(xk , yk)
允许状态集合 S={(x, y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk 第 k 次渡船上的商人数
vk 第 k 次渡船上的随从数
uk , vk=0,1,2; k=1,2,
3
决策 dk=(uk , vk)
允许决策集合 D={(u , v) u+v =1, 2}
状态转移律
sk+1=sk+(-1)kdk
[多步决策问题 ]
求 dk D(k=1, 2,
, n), 使 sk S, 并按转移律由 s1=(3,3) 到达 sn+1=(0,0)。
2.1（编程）求允许决策集合 D 和允许状态集合 S
D 是 2 行多列矩阵，每一列是一个决策。
S 是 2 行多列矩阵，每一列是一种状态。
要求：
① 编写程序求 D 和 S，并输出。
② S 的第一列是 [3,3]'，最后一列是 [0,0] '。
★ 编写的程序和运行结果：
程序：
clear; clc;
% 求允许决策集合 D（2×n1，n1 种决策）
D=[];
for u=0:2
for v=0:2
if u+v==1||u+v==2
D=[D,[u;v]];
end
end
end
% 求允许状态集合 S（2×n2，n2 种状态）
S=[];
for x=3:-1:0
for y=3:-1:0
4
if x==0||x==3||x==y
S=[S,[x;y]];
end
end
end% 首列状态 ( 商人数 , 仆从数 )' = ( 3, 3 )' ，末列为 ( 0, 0 )'
D, S
运行结果：
2.2（验证）求动态允许状态集合 SS 和状态转移矩阵 A
上面允许状态集合 S 没有指明当时船是在此岸还是在彼岸， 应该将 S 中的每
一种状态再分为两种状态，需增加一个元素（值为 -1 或 1）放在第三行。
定义动态允许状态集合
SS={(x, y, z)' x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2;z=-1,1}
(x, y, -1)，表示从此岸渡河前此岸的允许状态 (x, y)。
(x, y, 1)，表示从彼岸渡河前此岸的允许状态 (x, y)。
SS 是三行多列矩阵，每一列表示一种状态，列下标为其编号。
定义状态转移矩阵 A，其中， A(i, j)=1 表示 D 中存在决策使状态 i 转到 j，
否则 A(i, j)=0。
程序如下（输入时，不必把注释也输入）：
5
程序运行结果（参考） ：
要求：
① 将程序接在上题的程序之后 （去掉最后多余的输出语句） ，程序最后给出
6
显示 SS和 A 的语句。
② 运行程序，输出 SS 和 A。对照参考答案，如数值不一致，请检查程序。
MATLAB 函数 all 的用法见提示。
★ 运行的完整程序和运行结果：
程序：
clear; clc;
% 求允许决策集合 D（2×n1，n1 种决策）
D=[];
for u=0:2
for v=0:2
if u+v==1||u+v==2
D=[D,[u;v]];
end
end
end
% 求允许状态集合 S（2×n2，n2 种状态）
S=[];
for x=3:-1:0
for y=3:-1:0
if x==0||x==3||x==y
S=[S,[x;y]];
end
end
end% 首列状态 ( 商人数 , 仆从数 )' = ( 3, 3 )' ，末列为 ( 0, 0 )'
% 动态允许状态集合 SS（3×n3，n3 种状态）
%-1 ，从此岸渡河前此岸的允许状态
%1 ，从彼岸渡河前此岸的允许状态
SS=[[S;-ones(1,size(S,2))],[S;ones(1,size(S,2))]];
SSnum=size(SS,2);% 状态总数， SS中的列下标对应状态的编号
%SS(:,1)=[3,3,-1]' （起点）， SS(:,end)=[0,0,1]'（终点）
7
% 状态转移矩阵 A，A(i,j)=1 表示存在决策使状态 i 转到 j，其它为 0
A=zeros(SSnum);
for i=1:SSnum
for j=1:SSnum
for d=D% 顺序取 D 的每一列给 d
s=[SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i)];
if all(s==SS(:,j))% 所有元素不为 0 时为真
A(i,j)=1; break;
end
end
end
end
SS, A
运行结果：
2.3（验证）给出一个商人们安全过河的方案
程序如下（输入时，不必把注释也输入） ：
8
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