2007年辽宁高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年辽宁高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共 60 分）参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P B ( P A B ( ) P A    ) ) 如果事件 A B，相互独立，那么 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 球的表面积公式 S  2 4π R 其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 V  n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) P k n 0 1 2 n ，，，， C p (1 n k     p k n ( n ) k ) 3 4 π R 3 其中 R 表示球的半径一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 U  ，，，，， {1 3} {1 2 3 4 5} A  ，， {2 3 4} B  ，，，则  痧 U A   B  U （） A．{1} B．{2} C．{2 4}， D．{1 2 3 4}，，， 2．若函数 y  ( ) f x 的反函数图象过点 (1 5)，，则函数 y  ( ) f x 的图象必过点（） A．(11)， B．(1 5)， C．(51)， D．(5 5)， 3．角为（） A．0 B． π 6 C． π 3 D． π 2 9 4．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 S  ， 6 S  ，则 7 a 36  a 8  a 9  （） A．63 B．45 C．36 D．27 5．若     3 4 ）（ A．第一象限 5π ，，则复数 (cos 4    π   sin )   (sin   cos )i  在复平面内所对应的点在 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若函数 y  ( ) f x 的图象按向量平移后，得到函数 y  ( f x 1) 2   的图象，则向量

（） A．( 1  ， 2) B．(1 2)， C．( 1 2)  ， D．(1 2)， 7．若 m n，是两条不同的直线，  ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（） A．若 m    ，  ，则 m  B．若   m   n ， m n∥ ，则 ∥ C．若 m  ， m ∥ ，则  D．若  ， ⊥ ，则  8．已知变量 x y，满足约束条件 2 x y     1 x ≥ ，     7 x y  ≤ ， 0 则 ≤ ， 0 y x 的取值范围是（） A．    9 6  ，  5  B．     9 ， 5     6   ，  C．   3 ，， 6     D．[3 6]， 9．一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是（） A． 1 22 B． 1 11 C． 3 22 D． 2 11 10．设 p q，是两个命题： p : log (| 1 2 x | 3) 0   ， : q x 2  5 6 x   1 6 0 ，则 p 是 q 的（） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11 ．设 P 为双曲线 2 x  2 y 12 1  上的一点， 1 F F，是该双曲线的两个焦点，若 2 | PF 1 |:| PF  | 3: 2 2 ，则 PF F△ 1 2 的面积为（） A．6 3 B．12 C．12 3 D． 24 12．已知 ( ) f x 与 ( )g x 是定义在 R 上的连续函数，如果 ( ) f x 与 ( )g x 仅当 0 x  时的函数值为 0，且 ( ) f x ( ) g x≥ ，那么下列情形不可能．．．出现的是（） A．0 是 ( ) f x 的极大值，也是 ( )g x 的极大值 B．0 是 ( ) f x 的极小值，也是 ( )g x 的极小值

C．0 是 ( ) f x 的极大值，但不是 ( )g x 的极值 D．0 是 ( ) f x 的极小值，但不是 ( )g x 的极值第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．已知函数 ( ) f x     a x 0) cos ( x x ≥ ， 2 0) 1( x   在点 0 x  处连续，则 a  ．  上一点 P 到左准线的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满 1 14．设椭圆  OM  足 2 2 x y 25 16   1 ( OP DF 2  ) ，则|  |OM = ． 15．若一个底面边长为 3 2 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的．体积为 16．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第i 个数为 i(i 1 2 a  ，，，，若 1 1 a  ， 3 6) a  ， 3 a  ， 1 a 5 5  a 3  ，则不同的排列方法有 a 5 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  sin x      π 6     sin x      π 6     2cos 2 x  2 （I）求函数 ( ) f x 的值域； R，  x （其中 0 ）（II）若对任意的 a R ，函数 y  ( ) f x ， (  x a a ， π] 的图象与直线 y   有且仅有 1 两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数 y  ( ) f x  R， x 的单调增区间． 18．（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中， ACB  90  ， AC BC a  ， D E，分别为棱  AB BC，的中点， M 为棱 1AA 上的点，二面角 M DE A  为30 ．  A B （I）证明： 1 1 （II）求 MA 的长，并求点C 到平面 MDE 的距离． C D ； 1

1A M A 1C C 1B D E B 19．（本小题满分 12 分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量 q 的函数关系式为 3 qC  3  23 q  20 q  10( q  0) 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 p 与产量 q 的函数关系式如下表所示：市场情形好中差概率 0.4 0.4 0.2 价格 p 与产量 q 的函数关系式 p  164 3 q  p  101 3 q  p  70 4  q 设 1 L，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 k ，表示当产量为 q ，而市 L L 2 3 场前景无法确定的利润．（I）分别求利润 1 L，，与产量 q 的函数关系式； L L 2 3 （II）当产量 q 确定时，求期望 kE ；（III）试问产量 q 取何值时， kE 取得最大值．

x 上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 2 20．（本小题满分 14 分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线 2 y 的内接圆（点C 为圆心）（I）求圆C 的方程；（II）设圆 M 的方程为 4 7cos )   x ( 2 7cos )    作圆C 的两条切线 PE PF，，切点为 E F，，求CE CF    y ( 2 1  ，过圆 M 上任意一点 P 分别，的最大值和最小值． 21．（本小题满分 12 分）已知数列{ }na ，{ }nb 与函数 ( ) f x ， ( )g x ， x R 满足条件： a n b ， n ( f b n )  ( g b n )( n 1  N* . ) （I）若 ( ) f x ≥ tx  值范围； 1 t ，， 0  t  2 ， ( ) g x x ， ( ) f b 2  ( ) g b ， lim n a n  存在，求 x 的取（II）若函数 y  ( ) f x 为 R 上的增函数， ( ) g x ( ) x f 1 ， 1b  ， (1) 1  ，证明对任意 f n N* ， lim n a n  （用t 表示）．

22．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  x 2 t  2 ( t x 2  x )  2 x 2  2 t 1  ， ( ) g x  1 2 ( ) f x ．（I）证明：当 2 2 t  时， ( )g x 在 R 上是增函数；（II）对于给定的闭区间[ a b，，试说明存在实数 k ，当 t ] k 时， ( )g x 在闭区间 [ a b，上是减函数； ] （III）证明： ( ) f x ≥ ． 3 2 一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。参考答案 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，共 16 分。 13．1 14．72 15．4 3 n 16．2 三、解答题 17．（本小题满分 12 分）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分 12 分。（Ⅰ）解：分组 [500 ， [900 ， [1100 ， [1300 ， [1500 ， [1700 ， [1900 ，

900］ 1100） 1300） 1500） 1700） 1900）  ）频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ……4 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是 1500 小时的频率为 0.6.……8 分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1 只灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P=0.6.根据在 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得 P 1 )2(  P 3 )3(  C 1 1  6.0 2  4.0  6.0 2  .0 648 。所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648.……12 分 18．（本小题满分 12 分）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分 12 分。（Ⅰ）证明：连结 CD， ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱。 ∴CC1⊥平面 ABC， ∴CD 为 C1D 在平面 ABC 内的射影， ∵△ABC 中，AC=BC，D 为 AB 中点。 ∴AB⊥CD， ∴AB⊥C1D， ∵A1B1∥AB， ∴A1B1⊥C1D。（Ⅱ）解法一：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连结 MF.

∵D、E 分别为 AB、BC 的中点。 ∴DE∥AC。又∵AF∥CE，CE⊥AC， ∴AF⊥DE。 ∵MA⊥平面 ABC， ∴AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影。 ∴MF⊥DE， ∴∠MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角，∠MFA＝30°。  , a 2 MFA  30  , 在 Rt△MAF 中，AF＝ 1 2 BC ∴AM= 3 6 a 作 AC⊥MF，垂足为 G。 ∵MF⊥DE,AF⊥DE, ∴DE⊥平面 AMF, ∴平面 MDE⊥平面 AMF. ∴AG⊥平面 MDE 在 Rt△GAF 中，∠GFA＝30°，AF= a , 2 ∴AG= a ,即 A 到平面 MDE 的距离为 4 a 。 4 ∵CA∥DE,∴CA∥平面 MDE, ∴C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等，为 a 。 4 解法二：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连结 MF， ∵D、E 分别为 AB、CB 的中点， DE∥AC, 又∵AF∥CE,CE⊥AC, ∴AF⊥DE, ∵MA⊥平面 ABC, ∴AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影，

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