课程编号： 北京理工大学 2006-2007 学年第二学期 2005 级数学物理方程期末试题（A 卷） 班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________ 一、填空（请写在答题纸上，每题 5 分，共计 40 分） 1. 三维泊松方程是______________________________。 2. 边界为  的区域  上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题 u  tt  | u  t   0 2 u ， xx 2 u x  ， t      | t x 0  0  的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出 4 阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设 2( ) J x 为 2 阶贝塞尔函数，则 2 d x J kx 2( dx   )   =__________________。 8. 设弦一端在 0 x  处固定，另一端在 x l 处做自由运动。则弦振动问题的 边界条件为：________________________________。 二、（10 分）求解定解问题： 2 a u ， xx ) ( t u l  ， x ) x    u t  (0 u  x  ( u x ，0 ，  ) 0  t ， x l   0 t  ， ， 0 x l   0 . t ， ，  0 

三、（10 分）设      ，求解定解问题： , y 0 x  0 yy 5 4 u u u   xy xx 0 ( ) u x  ，0 ) 2 ( u x  ，0 y x      四、（10 分）设 u  ， ，用积分变换法求解下面问题： ( u x y )  0 1 xyu y y x    ， ，  ) 1 (1 y u  ，   ) ( x u x  ，0  2 五、（12 分）求拉普拉斯方程在半空间 2 x  内的格林函数；并求解定解问题： 0 2 x   ， ) ( y z  ， ，   xx (2 z ， ， u yy y    y z ，   u ) zz  u   u  六、（12 分）求满足下面定解问题的解：   x  ， t  0 u u   tt xx  ) (0 u t ，   ( ) u x ，0     sin 2 0 x ， ) 0 ( t u   ， ( ) 0 u x  ，0 t 七、（6 分）求解定解问题： u  tt  | u   | u  x   0 t t ，  0, 0 u x   ， xx 0, t t   ， 0 0. t   ， x t  （提示：多项式 ( nt n  0,1,2, ! n  的 Laplace 变换为 1 p  ） n )