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2012年广东高考文科数学试题及答案.doc
2012 年广东高考文科数学试题及答案
本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
参考公式：
锥体的体积公式
V
1
3
Sh
，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高.
V
R
4
3
3
球的体积
，其中 R 为球的半径。
一组数据 1
,
x x
2
,
x 的标准差
,
n
s
1 [(
n
x
1
2
x
)
(
x
2
x
)
(
x
n
x
2
) ]
2
，其中 x 表示这组数
据的平均数。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出四个选项中，只有一项
符合题目要求。
1. 设i 为虚数单位，则复数
3 4i
i
=(
)
(
)A 4 3i
(
)B
4 3i
(
)C
i
(
)D
i
2．设集合
U
{1,2,3,4,5,6},
M
{1,3,5}
；则 UC M (
)
(
)A { ,
3. 若向量
, }
AB
(
)B {1,3,5}
BC
(3,4)
(
)C { ,
, }
(
)D U
；则 AC
(
)
(1,2),
(
)A (4,6)
(
)B ( 4, 6)
(
)C (
)
,
(
)D ( , )
4. 下列函数为偶函数的是(
)
(
)A
y
sin
x
(
)B
y
3
x
(
)C
y
x
e
(
)D
y
ln
x
1
y
x
1 0
x
1
x
y
，则
5. 已知变量 ,x y 满足约束条件
(
)A 3
)B 1
(
z
2
y
x
的最小值为(
(
)C 5
6. 在 ABC
中，若
A
60 ,
B
45 ,
BC
3 2
，则 AC (
(
)A 4 3
(
)B 2 3
(
)C
)
)D 6
(
)
(
)D
7．某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为(
)
(
)A 72
(
)B 48
(
)C
(
)D
2
2
相交于 ,A B 两点，则弦 AB 的
4
)
x
x
y
4
y
5 0
与圆
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线3
长等于(
)A 3 3
(
9. 执行如下图所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为(
(
)A 105
)B 2 3
(
)C
)B 16
(
)C
(
(
(
)D
)
)D
(
10.对任意两个非零的平面向量和，定义
；若两个非零的平面向量 ,a b
满足，a
的夹角
1
2
都在集合
(
)C
与b
(
)
4 2
,
，且
a b b a
,
n n Z
2
}
中，则 a b
(
)
)A
(
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题)
)B 1
)D
(
(
y
1x
x
11. 函数
的定义域为_________。
12. 等比数列{ }na 满足
a a
2 4
1
2
，则
2
1 3
a a a _____ 。
5
4
3
2
,
,
,
x x x x ，其平均数和中位数都是 2 ，且标准差等于1，则这组
13. 由正整数组成的一组数据 1
数据为_________。
(从小到大排列)
(二)选做题(14 - 15 题，考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 和 2C 的参数方程分别为
C
2
:
2
:
C
5 cos
5 sin
x
y
_______.
15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示，直线 PB 与圆 O 想切于点 B ， D 是弦 AC 上的点，
( t 是参数)，它们的交点坐标为
(是参数，
2
)和
0
t
t
1
x
y
2
2
2
2
PBA
DBA
，若
AD m AC n
,
，则 AB _______。
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
(本小题满分 12 分)已知函数
( )
f x
A
cos(
x
4
)(
6
x R
)
f
(
)
3
2
。
，且
(1)求 A 的值；(2)设
,
[0,
]
2
，
f
(4
4
)
3
30
17
,
f
(4
2
)
3
8
5
；求 cos(
) 的值
17.(本小题满分 13 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩
分组区间是：
[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(1)求图中 a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；
(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩相应分数段的人数( y )之比如下表所
示，求数学成绩在[50，90)之外的人数。
18.( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 下 图 5 所 示 ， 在 四 棱 锥 P ABCD
中 ， AB 平 面 PAD ，
AB CD PD AD
/ /
,
，E 是 PB 中点，F 是 DC 上的点，且
DF
1
2
AB
，PH 为 PAD
中 AD
边上的高。
(1)证明： PH 平面 ABCD ；
PH
1,
AD
2,
FC
1
，求三棱锥 E BCF
的体积；
(2)若
(3)证明： EF 平面 PAB ．
19.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 数 列 nS 的 前 n 项 和 为 nT ， 满 足
T
n
(1)求 1a 的值；(2)求数列 na 的通项公式。
2
，
n N
2
S
．
*
n
n
20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆
1( 1 0)
F ，
，
C
1
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
b
0)
的左焦点为
且点 (0 1)
P ， 在 1C 上。(1)求 1C 的方程；(2)设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线
2 :
C y
2
4
x 相切，求
直线l 的方程。
21.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 0
1a ， 集 合
A
B
| 2
x R x
{
2
3(1
)
a x
6
a
0}
，
x R x
{
|
0}
，
D A B
。(1)求集合 D (用区间表示)；(2)求函数
( )
f x
3
2
x
3(1
)
a x
2
6
ax
在 D 内的极值
点。
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分。
9
1
D
C
4
D
2
A
3
A
8
B
10
A
5
C
3 4
i
i
6
7
C
B
(3 4 )
i i
i
2
1. 【解析】选 D 依题意：
4 3
i
2．【解析】选 A
3. 【解析】选 A
UC M { ,
, }
AC AB BC
(4,6)
4. 【解析】选 D
y
sin
x
y
3
x 是奇函数,，
与
y
x
e 是非奇非偶函数
5. 【 解 析 】 选 C 约 束 条 件 对 应 ABC
边 际 及 内 的 区 域 ： (1,0),
A
B
( 1,2),
C
1, 2)
， 则
z
[ 5,3]
2
x
y
6. 【解析】选 B 由正弦定理得：
BC
sin
A
AC
sin
B
3 2
sin 60
AC
sin 45
AC
2 3
7 ．【 解 析 】 选 C
V
1 4
2 3
3
3
1
3
几 何 体 是 半 球 与 圆 锥 叠 加 而 成 ， 它 的 体 积 为
2
3
2
5
2
3
30
的圆心 (0,0)
O
4
到直线3
x
4
y
5 0
的距离
d
5
5
1
，弦 AB
8.【解析】选 B 圆
的长
2
x
2
y
AB
2
2
r
d
2
2 3
9. 【解析】选C
s
i
1
1
1
3
3
5
15
7
a b
a
b
cos
0,
b a
b
a
cos
0
(
a b
)
(
b a
)
cos
2
(0,
1
)
2
10. 【解析】选 A
a b b a
,
都在集合
n n Z
2
}
a b
(
)
(
b a
)
n n
1 2
4
(
,
n n
1
2
中得：
N
*
)
a b
1
2
。
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题)
(0,
)
y
，
1x
x
中的 x 满足：
x
1 0
0
x
1
x
0
或 0
x
9. 【解析】定义域为[ 1,0)
1
4 ，
2
a a a
1 3
10. 【解析】
5
a a
2 4
2
a
3
1
2
1
2
,
2
a a a
1 3
5
4
a
3
1
4
x
11. 【 解 析 】 这 组 数 据 为 1,1,3,3 ， 不 妨 设 1
x
2
x
3
x
4
得 ：
x
2
x
3
4,
x
1
x
2
x
3
x
4
8
x
1
x
4
4
2
s
1
(
x
1
2
2)
(
x
2
2
2)
(
x
3
2
2)
(
x
4
2
2)
x
4
2
i
0,1,2
①如果有一个数为 0 或 4 ；则其余数为 2 ，不合题意；②只能取
(二)选做题(14 - 15 题，考生只能从中选做一题)
14.【解析】它们的交点坐标为 (2,1) ，
5( ,
x y
:
C x
1
y
2
2
ix
2
1
；得：这组数据为1,1,3,3
0),
C y
:
2
x
解得：交点坐标为
1
(2,1)
15.【解析】 AB mn ，
PBA
DBA
ACB BAD
,
CAB
BAD
CAB
得：
AB
AC
AD
AB
2
AB
AC AD mn
AB
mn
。
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
f
(
)
3
2
A
cos
4
16.解：(1)
A
2
2
。
f
(4
(2)
4
)
3
30
17
cos(
)
2
15
17
sin
15
17
，
[0,
]
2
，
cos
8
17
。
f
(4
2
)
3
8
5
cos
4
5
，
cos(
)
cos
sin sin
cos
17.解：(1) (2
a
0.02 0.03 0.04) 10 1
[0,
]
2
，
4
8
5 17
a
sin
3
5
3 15
5 17
0.005
。
，
13
85
(2)平均分为55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73
。
(3)数学成绩在[50,90) 内的人数为
(0.005
1
2
0.04
4
3
0.03
5
4
学成绩在[50,90) 外的人数为100 90 10
人。
0.02) 10 100 90
人，数
答：(1)
a
0.005
；(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为 73 ；(3)数学成绩在[50,90) 外的人数为
10 人。
18.(1)证明： AB 平面 PAD ， PH 面 PAD
PH AB
，又
ABCD ，
PH AD AD AB
、
,
平面
AD AB A
PH
平面 ABCD 。
(2) E 是 PB 中点 点 E 到面 BCF 的距离
h
1
2
PH
1
2
，
三棱锥 E BCF
的体积
V
1
3
S
BCF
h
1 1
3 2
FC AD h
1
1
6
2
1
2
2
12
。
(3)取 PA 的中点为G ，连接 ,DG EG 。
PD AD
DG PA
，又 AB 平面 PAD ， AB 平面 PAB 平面 PAD 平面 PAB ，
又平面 PAD 平面 PAB PA ， DG 平面 PAD
DG 面 PAB ，
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