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2008年山东高考文科数学真题及答案.doc
2008 年山东高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷(共 60 分)
参考公式：
锥体的体积公式：V=
1
3
Sh .其中 S是锥体的底面积，h是锥体的高.
球的表面积公式：S＝－4πR2,其中 R是球的半径.
如果事件 A、B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B).
一、
选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
(1)满足 M ｛a1·a2·a3·a4｝,则 M ｛a1·a2·a3｝=｛a1·a2｝的集合 M的个数是
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
(2)设 z的共轭复数是 z ，若 z+ z =4,z· z =8,则
z
z
等于
(A)i
(3)函数 y=lncosx(-
(B)－i
2
＜x＜
2
(C) 1
(D) i
＝的图象是
(4)给出命题：若函数 y=f(x)是幂函数，则函数 y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、
否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是
(A)3
(B)2
(C)1
(D)0
2
x
x
(5)设函数 f (x)=
1
2
x
(A)
15
16
(B) -
(C)
则 f
f
1,
x
2,
1,
x
＞
27
16
的值为
(D)18
1
(2)
8
9
(6)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
(A)9
(B)10
(C)11
(D)12
(7)不等式
x
x
5
1)
(
2
≥2 的解集是
(A)[-3,
]
1
2
1 ,1
2
1
2
(B)[-
(D)
,3]
1 ,1
2
1,3
1,3
(C)
(8)已知 a,b,c为△ABC的三个内角 A,B,C的对边，向量 m = ( 3, 1 ),n=(cosA,sinA),若
m n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B的大小分别为
3 6
2 ,
3
6
6 3
(A)
(C)
,
,
(B)
(D)
3 3
,
(9)从某项综合能力或抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为
分数 5
4
3
2
1
人数 20
10
30
30
10
(A) 3
(B)
2 10
5
(C)3
(D)
8
5
(10)已知 cos（a
）+sina=
6
4 3
5
,则 sin(a+
7
6
)的值是
(A)
2 3
5
(B)
2 3
5
(C)
4
5
(D)
4
5
(11)若圆 C的半径为 1,圆心在第一象限，且与直线 4x-3y=0 和 x轴都相切，则该圆的标准
方程是
(A)(x-3)2+(
y )2=1
7
3
(C)(x-1)2+(y-3)2=1
(B)(x-2)2+(y-1)2=1
D.(
x )2+(y-1)2=1
3
2
(12)已知函数 ( )
f x
log (2
a
x
b
1)(
a
1,
a
的图象如图所示，则 a,b满足的关系是
1)
(A)0＜a－1＜b＜1
(C) 0＜b－1＜a＜1
(B)0＜b＜a－1＜1
(D) 0＜a－1＜b－1＜1
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
(13)已知圆 C：x2+y2-6x-4y+8=0。以圆 C与坐标轴的交点分别
作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标
准方程为
2
x
4
2
y
12
。
1
(14)执行右边的程序框图，若 p=0.8,则输出的 n=
4
.
(15)已知
f
x
(3 )
x
4 log 3 233
2
，则 f(2)+(4)+f(8)+…+f(28
的值等于
2008
.
(16)设 x,y满足约束条件
值为 11
.
2 0,
10 0,
x
y
5
x
y
0,
x
0,
y
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。
(17)（本小题满分 12 分）
则 z＝2x+y的最大
3 sin(
已知函数 ( )
f x
cos(
y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .
2
)
x
(Ⅰ)求 (
f
的值;
)
8
)(0
x
,
为偶函数，且函数
0)
(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移
调递减区间.
解：(Ⅰ) ( )
f x
3 sin(
)
x
cos(
)
x
6
个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，求 g(x)的单
＝2
3
2
sin(
)
x
1
2
cos(
)
x
= 2sin(
x
)
6
.
因为 f(x)为偶函数,
所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
即 sin
cos
因此 sin(
整理得sin
x
)
6
)
6
cos(
cos(
x
x
sin(
x
).
6
)
6
sin(
x
6
) 0.
sin
cos(
x
)
6
cos
sin(
x
)
6
因为＞0,且 x ,R
) 0.
所以 cos(
又因为 0＜＜，
6
x
.
故－
6
2
所以 ( )
2sin(
f x
2
所以 ＝2.
故 f(x)=2cos2x.
由题意得
2
.
2
)
2
2cos
.
x
因此
f
(
8
)
2cos
4
2.
（Ⅱ）将 f(x)的图象向右平移
所以 ( )
g x
(
f x
)
2cos[2(
x
6
2
k
6
3
个单位后，得到 (
f x
的图象.
)
6
)] 2cos(2
x
3
).
6
Z),
当
即
2
k
2
x
6
(
k
2 (
k
3
k
x
k
时，g(x)单调递减.
Z)
因此 g(x)的单调递减区间为
[
k
（18）（本小题满分 12 分）
6
,
k
2
3
](
k
Z).
现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语，B1、B2、B3 通晓俄语，C1、
C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组.
（Ⅰ）求 A1 被选中的概率;
（Ⅱ）求 B1 和 C1 不全被选中的概率.
解：（Ⅰ）从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事
件空间
={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2)
,(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C2),(A3,B1,C2),(A1,B2,C1),(A3,B2,C2)
,(A3,B3,C1),
(A3,B3,C2)}
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本
事件的发生是等可能的.
用 M表示“A1 恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B2,C2) }
事件 M由 6 个基本事件组成，
因而
(
P M
)
6
18
1
3
.
（Ⅱ）用 N表示“B1、C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被
选中”这一事件，
由于 N ＝{(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 有 3 个基本事件组成，
所以
(
P N
)
，由对立事件的概率公式得
3
18
(
P N
1
6
) 1
(
P N
) 1
1
6
5
6
.
（19）（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC,
△PAD是等边三角形，已知 BD＝2AD=8, AB=2DC= 4 5 .
（Ⅰ）设 M是 PC上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD;
（Ⅱ）求四棱锥 P-ABCD的体积.
（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于 AD=4,BD=8,AB= 4 5 ，
所以 AD2+BD2=AB2.
故 AD⊥BD.
又 平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD, BD 平面 ABCD，
所以 BD⊥平面 PAD,
又
故
BD 平面 MBD，
平面 MBD⊥平面 PAD.
（Ⅱ）解：过 P作 PO⊥AD交 AD于 O，
由于 平面 PAD⊥平面 ABCD，
所以 PO⊥平面 ABCD.
因此 PO为四棱锥 P-ABCD的高，
又
△PAD是边长为 4 的等边三角形，
因此
PO
3 4
2
2 3.
在底面四边形 ABCD中，AB∥DC, AB=2DC,
所以 四边形 ABCD是梯形，在 Rt△ADB中，斜边 AB边上的高为
4 8
4 5
8 5 ,
5
此即为梯形 ABCD的高，
所以 四边形 ABCD 的面积为
故
V
P ABCD
S
2 5
2
1 24 2 3 16 3.
3
4 5
8 5
5
24.
（20）（本小题满分 12 分）
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5
a7 a8
……
a6
a9 a10
记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn}，b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前 n项和，
且满足
2 n
b
S
n
b S
n
2
n
＝1（n≥2）.
(Ⅰ)证明数列
1
nS
成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比
为同一个正数，当 81
a 时，求上表中第 k(k≥3)行所有项的和.
4
91
(Ⅰ)证明：由已知，当
n
2
b
n
时，
b S
n
n
S
2
n
1
，
又
S
n
所以
(
S
2(
S
n
S
1
S
S
1
n
即
所以
又
b
n
,
S
2
n
1.
)
1
S
n
)
S
1
)
n
1,
b
b
2
1
2(
S
n
S
S
n
S
n
n
1
n
b
1
S
n
1
a
1
,
1
2
1.
1
n
1
所以数列
1
nS
是首项为 1，公差为
1
2
的等差数列.
1
1
2
(
n
1)
n
1
2
.
由上可知
即
nS
n
n
1
S
2 .
1
所以
当
n
2
b
时，
n
S
n
S
n
1
2
1
n
2
n
2
(
n n
.
1)
因此
b
n
1,
2
(
n n
1)
,
n
1,
n
2.
(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q，且 q>0.
因为 1+2+…+12＝
12 13
2
＝78，
所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项，
故 a81 在表中第 13 行第三列，
因此
又
所以
4 .
91
,
a
81
2
b q
13
2
13 14
b
13
q=2.
记表中第 (k k ≥3)行所有项的和为 S，
则
S
kb
k
)
(1
q
1
q
2
(
k k
k
(1 2 )
1) 1 2
2
(
k k
1)
(1 2 )(
k
k
3)
.
（21）（本小题满分 12 分）
设函数
( )
f x
2
x e
x
1
2
ax
(Ⅰ)求 a和 b的值；
(Ⅱ)讨论 ( )
f x 的单调性；
2
，已知
bx
x
2
.
和 为 的极值点
( )
f x
1
x
(Ⅲ)设
( )
g x
解：(Ⅰ)因为
3
x
2
3
( )
f x
2
，试比较 ( )
f x 与 ( )g x 的大小.
x
e
x
1
(2
x
2
x
) 3
ax
2
2
bx
xxe
1(
x
2)
(3
x ax
2 ).
b
又
x
因此
2
f
和 为 的极值点，所以
( )
f x
1
x
( 2)
f
(1) 0.
6
a
3 3
a
2
b
2
b
0,
0,
解方程组得
(Ⅱ)因为
a
1.
b
1 ,
3
b
1,
a
1 ,
3
( )
f x
(
x x
2)(
1
x
e
1),
所以
令
因为
( ) 0,
f x
x
解得
1
2,
x
2
0,
x
3
1.
当
x
, 2)
(
(0,1)
时，
f x
( ) 0;
当
x
( 2,0)
(1,
)
时，
f x
( ) 0;
所以
( )
f x 在（-2，0）和（1，+ ）上是单调递增的；
在（- ，-2）和（0，1）上是单调递减的.
(Ⅲ)由（Ⅰ）可知
( )
f x
2
x e
x
1
1
3
x
3
x
x
2
,
),
x
1
x
1
x
1
3
x
则
故
故
令
令
所以
2
(
x e
2
( )
( )
x e
g x
f x
1
,
( )
x
x
e
h x
1.
( )
e
h x
1,
( ) 0,
x
h x
得
,1
(
( ) 0,
x
h x
时，
因为
( )
.
,1
(
h x
x
上单调递减
在
,1
(
( )
(1) 0;
x
h x
h
时，
)
( ) 0,
1,
x
h x
时，
)
( )
.
1,
h x
x
上单调递增
在
)
(1) 0.
1,
( )
h x
x
故
时，
( ) 0,
,
(
h x
x
所以 对任意
( ) 0,
( )
g x
f x
(
,
x
故 对任意
因此
h
恒有
( )
f x
所以
恒有
因为
),
),
又
2
x
0,
( ).
g x
(22)（本小题满分 14 分）
已知曲线 C2=
|
|
x
a
|
y
b
| 1(
a
所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线 C3 的内切
0)
b
圆半径为
2 5
3
，记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点顶点的椭圆.
(I)求椭圆 C2的标准方程；
(II)设 AB是过椭圆 C2中心的任意弦，l是线段 AB的垂直平分线，M是 l上异于椭圆中
心的点.
（1）若|MO|=|OA|(O 为坐标原点)，当点 A在椭圆 C2 上运动时，求点 M的轨迹方程；
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