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2018湖南考研数学一真题及答案.doc
2018湖南考研数学一真题及答案
2018 湖南考研数学一真题及答案
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．若函数
( )
f x
1 cos
ax
,
b
（A）
ab （B）
1
2
x x
,
x
1
2
在 0
x 处连续，则
0
0
ab （C）
ab （D）
0
ab
2
1
x
2
ax
x 处连续，必须满足
0
0
x
lim ( )
f x
x
lim
0
x
1 cos
ax
b
．所以应该选（A）
，
1
2
a
lim
0
x
1
2
f x 是可导函数，且满足 ( )
1
2
a
f x f x
，则
( ) 0
ab
lim ( )
f x
0
x
【详解】
2．设函数 ( )
b
f
(0)
，要使函数在
（A） (1)
f
f
( )
（B） 1
( 1)
f
f
(
)
1
( )
（C） 1
f
f
(
)
( )
（D） 1
1
f
f
(
)
1
【详解】设
( )
g x
(
( ))
f x
2
，则 ( )
g x
2 ( )
f x f x
( ) 0
，也就是
( )
f x 是单调增加函数．也
2
就得到
f
(1)
2
f
( 1)
2
f
(1)
f
( 1)
，所以应该选（C）
3．函数
2
在点 (1,2,0) 处沿向量 (1,2,2)
n
的方向导数为
( ,
, )
f x y z
2
x y
（A）12 （B）6
f
y
f
x
2 ,
xy
z
(C） 4
f
z
,
2
x
【详解】
（D） 2
2
z
，所以函数在点 (1,2,0) 处的梯度为
gradf
4,1,0
，
所以
( ,
, )
f x y z
2
x y
2
在点 (1,2,0) 处沿向量 (1,2,2)
n
z
的方向导数为
f
n
0
gradf n
4,1,0
1
3
(1,2,2)
2
应该选（D）
４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲
的速度曲线
v
1( )
v t
（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线
v
2( )
v t
（单位：米/秒），
三块阴影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙
追上甲的时刻为 0t ，则（ ）
（A） 0
t
10
（B）
15
t
0
20
（C） 0
t
25
（D） 0
t
25
【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，
( )
S t
T
2
T
1
( )
v t dt
表
示 时 刻
2,T T 内 所 走 的 路 程 ． 本 题 中 的 阴 影 面 积 1
S
1
,
,
S S
2
3
分 别 表 示 在 时 间 段
0,10 , 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 25
t 时乙追上甲，应该
选（C）．
5．设为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
（A）
T
E
不可逆
（B）
T
E
不可逆
（C）
T
E
2
不可逆
（D） 2
T
E
不可逆
【 详 解 】 矩 阵
T 的 特 征 值 为 1 和
1n 个 0 ， 从 而
E
T
,
E
T
,
E
T
2
,
E
T
2
的 特 征 值 分 别 为 0,1,1, 1 ； 2,1,1,
,1 ；
1,1,1,
；3,1,1,
,1
,1 ．显然只有
T
E
存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．
6．已知矩阵
A
2 0 0
0 2 1
0 0 1
，
B
2 1 0
0 2 0
0 0 1
，
C
1 0 0
0 2 0
0 0 2
，则
（A） ,A C 相似， ,B C 相似
（B） ,A C 相似， ,B C 不相似
（C） ,A C 不相似， ,B C 相似
（D） ,A C 不相似， ,B C 不相似
【详解】矩阵 ,A B 的特征值都是 1
32,
2
．是否可对解化，只需要关心
1
2 的
情况．
对于矩阵 A ，
2
E A
0 0
0 0
0 0
0
1
1
，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值
2 存在两
个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 ~A C ．
对于矩阵 B ，
2
E B
0
0
0
1 0
0
0
0
1
，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值
2 只有一
个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 ,B C 不相似故选择（B）．
7．设 ,A B 是两个随机事件，若 0
(
P A
) 1
，0
(
P B
) 1
，则 (
P A B
/
)
(
P A B
/
)
的充
分必要条件是
（A） (
)
P B A
/
（C） (
)
P B A
/
)
(
P B A
/
)
(
P B A
/
【详解】由乘法公式： (
P AB
)
（B） (
)
P B A
/
(
)
P B A
/
（D） (
)
P B A
/
(
)
P B A
/
(
P B P A B P AB
),
)
(
(
/
)
(
P B P A B
)(
(
/
)
可得下面结论：
(
P A B
/
)
(
P A B
/
)
(
)
P AB
)
(
P B
(
)
P AB
)
(
P B
)
(
(
P AB
P A
(
1
P B
)
)
(
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
类似，由 (
P AB
)
(
P A P B A P AB
),
)
(
(
/
)
(
)
P A P B A
)
(
/
可得
(
)
P B A
/
(
)
P B A
/
(
)
P AB
(
)
P A
(
)
P AB
(
)
P A
(
P B
1
(
)
P AB
(
)
P A
)
(
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
所以可知选择（A）．
8．设 1
X X
,
,
,
2
X n
(
n
2)
为来自正态总体 (
N 的简单随机样本，若
,1)
X
1 n
，则
n
1
i
X
i
下列结论中不正确的是（ ）
（A）
n
)
X
(
i
i
1
2
服从 2 分布
（B）
2
nX
X
1
2
服从 2 分布
（C）
n
X
(
i
i
1
2
X
)
服从 2 分布
（D）
n X 服从 2 分布
(
)
2
解 ：（ 1 ） 显 然
(
X
i
) ~
N
(0,1)
X
(
i
2
2
) ~
(1),
i
1,2,
且 相 互 独 立 ， 所 以
n
n
)
X
(
i
i
1
2
服从 2( )n 分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
n
i
1
(
X
i
2
X
)
(
n
1)
S
2
(
n
2
S
1)
2
~
2
(
n
1)
，所以（C）结论也是正确的；
（3）注意
X N
~
(
,
是正确的；
1
n
)
(
n X
) ~
N
(0,1)
(
n X
2
(1)
2
) ~
，所以（D）结论也
（4）对于选项（B）：
(
X
n
X
) ~
1
N
(0,2)
X
n
X
1
2
~
N
(0,1)
1
2
(
X
n
X
2
) ~
1
2
(1)
，
所以（B）结论是错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9．已知函数
( )
f x
1
x
2
1
，则 (3)(0)
f
．
解：由函数的马克劳林级数公式：
( )
f x
n
0
( )
n
f
n
(0)
!
n
x
，知 ( )(0)
f
n
!
n a
，其中 na 为展
n
开式中 nx 的系数．
由于
( )
f x
1
10．微分方程
2
1
x
y
1
x
2
4
x
( 1)
n
x
2
n
,
x
1,1
2
y
3
y
的通解为
0
．
，所以 (3)(0) 0
．
f
【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 2
r
2
r
有一对共共轭的
3 0
根
r
1
2
i
，所以通解为
y
x
(
e C
1
cos 2
x C
2
sin 2 )
x
11 ． 若 曲 线 积 分
L
xdx aydy
2 1
2
x
y
a
.
在 区 域
D
( ,
x y
2
) |
x
2
y
内 与 路 径 无 关 ， 则
1
【详解】设
( ,
P x y
)
x
y
2
1
2
x
,
( ,
Q x y
)
ay
2
y
2
x
1
，显然 ( ,
P x y Q x y 在区域内
( ,
),
)
具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有
Q
x
a
P
y
1
12．幂级数
( 1)n
n
1
n
1
1
nx
在区间 ( 1,1) 内的和函数为
【详解】
n
1
n
1
( 1)
n
1
nx
n
1
( 1)
n
1
n
(
x
)
n
1
n
1
( 1)
n
x
1
x
x
1
x
2
)
(1
所以
( )
s x
1
x
2
)
(1
,
x
( 1,1)
13．设矩阵
A
1 0 1
1 1 2
0 1 1
的秩为
．
, 为线性无关的三维列向量，则向量组 1
， 1
A
3
A
A
,
,
,
2
3
2
【详解】对矩阵进行初等变换
A
1 0 1
1 1 2
0 1 1
1 0 1
0 1 1
0 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
，知矩阵 A 的
秩为 2，由于 1
, 为线性无关，所以向量组 1
A
的秩为 2．
A
A
,
,
,
2
3
2
3
14．设随机变量 X 的分布函数
F x
( ) 0.5 ( ) 0.5
x
2
x
4
，其中 ( )x 为标准正态分
布函数，则 EX
【详解】随机变量 X 的概率密度为
．
( )
f x
F x
( ) 0.5 ( ) 0.25 (
x
E X
(
)
xf x dx
( )
0.5
( )
x
x dx
0.25
(
x
x
4
)
2
，所以
4
)
dx
x
2
4
)
dx
0.25 2
(2
t
4) ( )
t dt
0.25
(
x
( )
t dt
x
2
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
0
|x
dy
dx ，
f
1
0
2
d y
2 |x
dx
．
0
(1,1)
；
设函数 ( , )
f u v 具有二阶连续偏导数，
y
x
(
f e
,cos )
x
，求
【详解】
dy
dx
f
1
x
(
e
,cos )
x e
x
f
2
x
(
e
,cos )( sin )
x
x
，
dy
|
x
dx
,cos )) cos
x
xf
2
x
(
e
,cos )
x
2
d y
2
dx
x
e f
1
x
(
e
,cos )
x
x
e
(
x
(
f
e
11
,cos )
x e
x
sin
xf
12
(
e
x
sin
x
xe f
21
x
(
e
,cos )
x
sin
2
xf
22
(
e
x
,cos )
x
2
d y
2 |
dx
x
0
f
1
(1,1)
(1,1)
f
11
f
2
(1,1)
．
16．（本题满分 10 分）
求
lim
n
n
k
1
k
2
n
k
ln 1
n
【详解】由定积分的定义
lim
n
n
k
1
k
2
n
ln 1
k
n
17．（本题满分 10 分）
1
n
1
lim
n
1
2
0
n
k
1
k
n
ln 1
ln(1
)
x dx
2
k
n
1
4
1
0
ln(1
x
)
x dx
y
．
2 0
y
y x 是由方程 3
x
3
已知函数 ( )
【详解】在方程两边同时对 x 求导，得
3 3
x
2
3
2
y y
3
x
在（1）两边同时对 x 求导，得
3 3
y
0
（1）
2
x
2 (
y y
)
2
2
y y
y
0
也就是
y
2
) )
2(
(
x
y y
2
1
y
令
y ，得
0
x ．当 1 1
x 时， 1 1
y ；当 2
x 时， 2
y
1
1
0
当 1 1
x 时，
y ，
0
y ，函数
1 0
y
( )
y x
取极大值 1 1
y ；
x 时，
1
当 2
y ，
0
y 函数
1 0
y
( )
y x
取极小值 2
y ．
0
18．（本题满分 10 分）
f x 在区间
设函数 ( )
0,1 上具有二阶导数，且 (1) 0
，
f
lim
0
x
( )
f x
x
，证明：
0
（1）方程 ( ) 0
f x 在区间
0,1 至少存在一个实根；
（2）方程
( )
f x f
( )
x
(
( ))
f x
2
在区间
0
0,1 内至少存在两个不同实根．
证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件
lim
0
x
( )
f x
x
可知，存在 0
0
1 ，及
x
1
)
(0,
，使得 1(
f x ，由于 ( )
) 0
f x 在
1,1x 上连续，且 1(
f x
)
f
(1) 0
，由零点定理，
存在
1(
x
,1)
(0,1)
，使得 ( ) 0
f ，也就是方程 ( ) 0
f x 在区间
0,1 至少存在一个
可知 (0) 0
，由（1）可知 ( ) 0
f ，由洛尔定理，存在
0
f
实根；
（2）由条件
lim
0
x
( )
f x
x
f
)
(0,
，使得 ( ) 0
；
设 ( )
F x
f x f x
( )
( )
， 由 条 件 可 知 ( )F x 在 区 间
0,1 上 可 导 ， 且
F
(0) 0,
F
( ) 0,
F
( ) 0
，分别在区间
, 上对函数 ( )F x 使用尔定理，则存
0,
,
)
(0,
在 1
(0,1),
)
2
( ,
(0,1),
使 得 1
1
F
(
,
2
)
F
(
2
) 0
， 也 就 是 方 程
( )
f x f
( )
x
(
( ))
f x
2
在区间
0
0,1 内至少存在两个不同实根．
19．（本题满分 10 分）
设薄片型 S 是圆锥面
z
2
x
2
被柱面 2
z
y
x 所割下的有限部分，其上任一点的密度为
2
2
9 x
2
y
2
，记圆锥面与柱面的交线为C ．
z
（1）求C 在 xOy 布上的投影曲线的方程；
（2）求 S 的质量 .M
【详解】（1）交线C 的方程为
2
y
z
2
z
2
x
2
x
，消去变量 z ，得到 2
x
2
y
所以C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为
2
y
x
0
z
2
2
x
.
．
2
x
（2）利用第一类曲面积分，得
x
M
( ,
x y z dS
, )
9
2
2
y
2
z dS
S
S
2
x
18
9
2
x
2
y
2
x
2
y
1
2
x
2
x
2
x
2
y
2
x
2
y
2
y
dxdy
2
y
20．（本题满分 11 分）
2
x
2
y
2
x
2
y dxdy
64
2
x
设三阶矩阵
A
3
,
,
1
2
有三个不同的特征值，且 3
22 .
1
（1）证明： (
r A ；
2
)
（2）若
3
1
2
,
，求方程组 Ax 的通解．
【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 (
r A ．
) 1
假若 (
r A 时，则 0
r 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 (
) 1
r A ，又因为
) 2
22
3
1
，也就是 1
0
, 线性相关， (
r A ，也就只有 (
) 3
r A ．
2
)
,
2
3
（ 2 ） 因 为 (
r A ， 所 以
2
)
Ax 的 基 础 解 系 中 只 有 一 个 线 性 无 关 的 解 向 量 ． 由 于
0
22
3
1
，所以基础解系为
0
x
1
2
1
；
又由
3
1
2
,
，得非齐次方程组 Ax 的特解可取为
1
1
1
；
方程组 Ax 的通解为
x
k
1
2
1
1
1
1
，其中 k 为任意常数．
21．（本题满分 11 分）
设二次型
(
,
f x x x
3
,
1
2
)
2
2
x
1
x
2
2
2
ax
3
2
x x
1 2
8
x x
1 3
2
x x
2 3
在正交变换 x Qy 下的标
准形为 2
y
1 1
2
y
2
2
，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．
【详解】二次型矩阵
A
2
1
4
1
1
1
4
1
a
因为二次型的标准形为 2
y
1 1
2
y
2
2
．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以
0A ，故 2.
a
E A
1
1
4
1
1
1
4
1
2
3)(
(
6)
令
E A
得矩阵的特征值为 1
0
3,
2
3
6,
．
0
通过分别解方程组 (
)
iE A x
得矩阵的属于特征值 1
3 的特征向量 1
0
属于特征值特征值 2
6 的特征向量 2
1
2
1
0
1
， 3
0 的特征向量 3
，
1
1
1
3 1
1
1
2
6 1
，
,
2
,
1
所以
1
2
1
3
1
3
Q
3
22．（本题满分 11 分）
设随机变量 ,X Y 相互独立，且 X 的概率分布为
P X
1
6
2
6
1
6
1
3
1
2
0
为所求正交矩阵．
0
{
P X
2}
，Y 的概率密度
1
2
为
( )
f y
2 ,0
y
y
0,
其他
1
．
）；
（1）求概率 P Y EY（
（2）求 Z X Y
EY
【详解】（1）
的概率密度．
yf
Y
( )
y dy
1
0
2
2
y dy
2
3
.
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