1994年河南高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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1994 年河南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题共 65 分) 一、选择题(本大题共 15 小题；第 1—10 题每小题 4 分，第 11—15 题每小题 5 分，共 65 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 新疆王新敞奎屯 (1) 设全集 I={0，1，2，3，4}，集合 A={0，1，2，3}，集合 B={2，3，4}，则 BA  = ( ) (A) {0} (B) {0，1} (C) {0，1，4} (D) {0，1，2，3，4} (2) 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 ( (A) (0，+∞) (B) (0，2) (C) (1，+∞) (D) (0，1) (3) 点(0，5)到直线 y=2x的距离是 ( ) ) (A) 5 2 (B) 5 (C) 3 2 (D) 5 2 (4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( ) (A) (C)  tg  2  sin 2  ctg  2  cos 2 (B) (D)  tg  2  sin 2  ctg  2  cos 2 (5) 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 个小时，这种细菌由 1 个可繁殖成 (A) 511 个 (6) 在下列函数中，以为周期的函数是 (B) 512 个  2 (C) 1023 个 (D) 1024 个 ( ( ) ) (A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x (C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x (7) 已知正六棱台的上，下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为 ( ) (A) 32 3 (B) 28 3 (C) 24 3 (D) 20 3

(8) 设 F1 和 F2 为双曲线 2 x 4 2  y  1 的两个焦点，点 P在双曲线上且满足∠F1PF2=90º，则△F1PF2 的面积是 (A) 1 (B) 5 2 (C) 2 (9) 如果复数 Z满足|Z+i|+|Z－i|=2，那么|Z+i+1|最小值是 (A) 1 (B) 2 (C) 2 ( ) ( ) (D) (D) 5 5 (10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 (A) 1260 种 (B) 2025 种 (C) 2520 种 (D) 5040 种 (11) 对于直线 m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 (A) m⊥n，m∥α，n∥β (C) m∥n，n⊥β，mα (B) m⊥n，α∩β=m，n α (D) m∥n，m⊥α，n⊥β ( ( ) ) (12) 设函数 f(x)=1－ 1 x 2 (－1≤x≤0)，则函数 y= f－1(x)的图像是 ( ) (13) 已知过球面上 A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是 (A) 16 9 (B) 8 3 (14) 如果函数 y=sin2x+acos2x的图像关于直线=－ (C) 4π  8 ( ) (D) 64 9 对称，那么 a= ( ) (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D) －1 (15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数 f(x)都可表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和.如果 f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么 ( ) (A) g(x)=x，h(x)=lg(10x +10x +2) (B) g(x)= 1 2 [lg(10x +1)+x] h(x)= 1 2 [lg(10x +1)－x]

(C) g(x)= ，h(x)=lg(10x +1)－ (D) g(x)=－，h(x)=lg(10x +1)+ x 2 x 2 x 2 x 2 第Ⅱ卷(非选择题共 85 分) 二、填空题(本大题共 5 小题，共 6 个空格：每空格 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上) (16) 在(3－x)7 的展开式中，x5 的系数是______________(用数字作答) 新疆王新敞奎屯 (17) 抛物线 y2=8－4x的准线方程是___________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是__________ (18) 已知 sinθ+cosθ= 新疆王新敞奎屯 1 5 ，θ∈(0，π)，则 ctgθ的值是________________ 新疆王新敞奎屯 (19) 设圆锥底面圆周上两点 A、B间的距离为 2，圆锥项点到直线 AB的距离为 3 ， AB和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为____________ 新疆王新敞奎屯 (20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n次测量分别得到 a1， a2，…，an，共 n个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从 a1，a2，…，an 推出的 a=__________ 新疆王新敞奎屯三、解答题(本大题共 5 小题，共 61 分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) (21) (本小题满分 11 分) 求函数 y  3sin x sin 3 x cos 3 x 3 x  2 cos cos 2 x  2sin x 的最小值. (22) (本小题满分 12 分) 以知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1，x∈R+)，若 x1，x2∈R+，判断   xf 1    xf 2  与 1 2 x 2 1 xf     2    的大小，并加以证明. (23) (本小题满分 12 分) 如图，已知 A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是 AC中点. (1) 证明 AB1∥平面 DBC1； (2) 假设 AB1⊥BC1，BC=2，求线段 AB1 在侧面 B1BCC1 上的射影

长. (24) (本小题满分 12 分) 已知直角坐标平面上点 Q(2，0)和圆 C：x2+y2=1，动点 M到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点 M的轨迹方程，说明它表示什么曲线. (25)（本小题满分 14 分）设数列{an}的前 n项和为 Sn，若对于所有的自然数 n，都有 S n   an 1  a n  2 ，证明{an} 是等差数列. 参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．D 15．C 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格 4 分，共 24 分) 16．－189 17．x=3，(x－2)2+y2=1 18． 3 4 19． 22  3 a 1  a 20． a n  2 n 三、解答题 21．本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分 11 分. 解：因为 sin3xsin3x+cos3xcos3x =(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x 1 2 = [(cos2x－cos4x)sin2x+(cos2x+cos4x)cos2x] ——4 分

= = = 1 2 1 2 1 2 [(sin2x+cos2x)cos2x+(cos2x－sin2x)cos4x] (cos2x+cos2xcos4x) cos2x(1+cos4x) =cos32x 所以 y  3 2 cos cos 2 2 x x  2sin x =cos2x+sin2x = 2 sin(2x+  4 当 sin(2x+ ).  4 )=－1 时，y取最小值－ 2 . ——6 分 ——8 分 ——11 分 22．本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分 12 分. 解：f(x1)+(x2)=logax1+ logax2=loga(x1x2) ∵ x1，x2∈R+， ∴ x1x2≤ x 1    2 2  x 2    (当且仅当 x1= x2 时取“=”号). ——2 分   当 a>1 时，有 loga(x1x2)≤loga  x 1 2 2  x 2    ∴ 1 2 loga(x1x2)≤loga x 1    1 2   ( logax1+ logax2)≤loga   2 x 1 x 2    ， x 2  2    ， ——5 分即 1 2   [f(x1)+f(x2)] ≤f  x 1 x 2  2    (当且仅当 x1= x2 时取“=”号) ——7 分   当 0

即 1 2   [f(x1)+f(x2)] ≥f  x 1 x 2  2    (当且仅当 x1=x2 时取“=”号). ——12 分 23．本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分. DE. (1)证明：∵ A1B1C1－ABC是正三棱柱， ∴ 四边形 B1BCC1 是矩形.连结 B1C，交 BC1 于 E，则 B1E=EC.连结在△AB1C中，∵ AD=DC， ∴ DE∥AB1，——3 分又 AB1  平面 DBC1.DE 平面 DBC1 ∴ AB1∥DBC1. ——5 分 (2)解：作 AF⊥BC，垂足为 F.因为面 ABC⊥面 B1BCC1，所以 AF⊥B1BCC1 平面 B1F.连结 B1F，则 B1F是 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影. ——7 分 ∵ BC1⊥AB1， ∴ BC1⊥B1F. ∵ 四边形 B1BCC1 是矩形，∴ ∠B1BF=∠BCC1=90º； ——9 分 ∠FB1B=∠C1BC，∴ △B1BF∽△BCC1. ∴ BB 1 BC  BF CC 1  BF BB 1 又 F为正三角形 ABC的 BC边中点，因而 B1B2=BF·BC=1×2=2，于是 B1F2= B1B2+ BF2=3，∴ B1F= 3 . 即线段 1AB 在平面 B 1BCC 1 内射影长为 3 ——12 分 24．本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分 12 分. 解：如图，设 MN切圆于 N，则动点 M组成的集合是 P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ>0. 因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1. 设点 M的坐标为(x，y)，则 2 x  2 y 1    x  2  2  2 y 整理得(λ2－1)(x2+y2 )－4λ2x+(1+4λ2)=0. ——2 分 ——4 分 ——5 分

经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P.故这个方程为所求的轨迹方程. ——8 分 0)，当λ=1 时，方程化为 x= 5 4 ，它表示一条直线，该直线与 x轴垂直且交 x轴于点( 5 4 ，当λ ≠ 1 时，方程化为 (x－ ( 2 2  2  ，0)，半径为 1 2 31   2 1   2 2  2  1 2 31   )2+y2=  2 2 1   它表示圆，该圆圆心的坐标为 ——12 分 25．本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分 14 分. 证法一：令 d=a2－a1. 下面用数学归纳法证明 an=a1+(n－1)d(n∈N). (1)当 n=1 时上述等式为恒等式 a1= a1. 当 n=2 时，a1+(2－1)d= a1+( a2－a1)= a2，等式成立. ——5 分 (2)假设当 n=k(k≥2)时命题成立，ak=a1+(k－1)d.由题设，有  ak 1 Sk=  ka  2 ，Sk+1=  ka 1    k   1 a 1 2 ，又 Sk+1= Sk +ak+1 ∴(k+1)  a 1 a  2  k 1    ak 1  a k  2  a k 1  把 ak = a1+(k－1)d代入上式，得 (k+1)( a1+ ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1. 整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d. ——9 分 ∵ k≥2，∴ ak+1= a1+kd.即当 n=k+1 时等式成立. 由(1)和(2)，等式对所有的自然数 n成立，从而{an}是等差数列 ——14 分证法二：当 n≥2 时，由题设， S n 1    a n 1    n   1 a 1 2 ， S n   a n .  an 1  2 所以 an= Sn－Sn－1=  an 1  2  na  n  －  na 1    1 a 1 2 同理有 ——6 分

 n   1 a 1 2  na 1    an 1 －  na .  2 an+1= 从而 an+1－an=  na 1    n   1 a 1 2 －n(a1+an)+  n   1 a 1 2  na 1   ，整理得 an+1－an= an－an－1=…= a2－a1 ——8 分 ——12 分从而{an}是等差数列. ——14 分

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