2006江西考研数学二真题及答案.doc-资料库

2006 江西考研数二真题及答案一、填空题（1）曲线 y  x 5 x   4sin x 2cos x 的水平渐近线方程为 y  1 5  lim x  y  lim x  1  5  （2）设函数 ( ) f x x x  4sin x 2cos x 1 sin  x , a      3 0 x 1 5 2 t dt , x  0 x  0 在 x=0 处连续，则 a= 1 3  lim ( ) f x x  0  lim 0 x  2 ) ( sm x 2 3 x  1 3 （3）广义积分   0 (1 xdx x  2 2 )  1 2    0 xdx x  2 2 ) (1  1 2 （4）微分方程 y     0 y  x ) x (1 d (1  (1  x 2 ) x 2 2 ) 1    2 (1 1 x  2 )  0    0 1 2 1 2 的通解是 y  x cxe ( x )0 （5）设函数 y  由方程 1 ( ) y x   确定，则 xe y y 当 x=0 时，y=1，又把方程每一项对 x求导，  y    e y y xe y  dy dx  0x  e y  (1  xe y )   e y  y   x  0 y e xe  y 1   e 0 x  1 y  (6) 设 A = 2 1 -1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= 2 . 解:由 BA=B +2E化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. 二、选择题（7）设函数 y  ( ) f x 具有二阶导数，且 ( ) 0,  f x  f  ( ) 0, x  x  为自变量 x在点 x0 处的增量， y dy  与分别为在点处对应增量与微分,若 ( ) f x x 0 x  ，则[A] 0 （A） 0 dy    y （B） 0    y dy

（C） y   dy  0 （D） dy y   0 由 ( ) 0  f x  可知严格单调增加 ( ) f x f  ( ) 0 x  可知是凹的 ( ) f x 即知（8）设 ( ) f x 是奇函数，除 0 x  外处处连续， 0 x  是其第一类间断点，则 x  0 f ( ) t dt 是[B] （A）连续的奇函数（C）在 x=0 间断的奇函数（B）连续的偶函数（D）在 x=0 间断的偶函数（9）设函数 ( )g x 可微, ( ) h x  1  e ( ) g x , h  则 g(1)等于[C]   (1) g   (1) 1, 2, （B） ln 3 1  （D） ln 2 1 （A） ln 3 1 （C） ln 2 1    ( ) h x ∵  1 g x e  ( ) ( ) g x ， 1 2  1 ge  (1) g(1)=  ln 2 1  （10）函数 y  x c e 1  c 2  2 x x  满足的一个微分方程是[D] xe （A）  y  y  2 y  3 x xe （B）  y  y  2 y  3 x e （C）  y  y  2 y  3 x xe （D）  y  y  2 y  3 x e 将函数 y  x c e 1  c 2  2 x x  代入答案中验证即可. xe （11）设 ( , f x y 为连续函数，则 )  4  0 1  d  0 ( cos , sin ) f r    rd r 等于[C] （A）（C） 2 2  0 2 2  0 dx dy 2 x ( , f x y dy ) 1   x 2 y ( , f x y dx ) 1   y （B）（D） 2 2  0 2 2  0 dx dy 2 ( , f x y dy ) 1  x  0 2 y ( , f x y dx ) 1   0 （12）设 ( , f x y ) ( , x y与 ) y x y 均为可微函数，且 ( , )  已知 0 0, , x y ( ) ( , f x y是 ) 0 在约束条件 ( , x y ) 0  下的一个极值点，下列选项正确的是[D] （A）若  ( , f x y x 0 0 ) 0,  f 则  y ( , x y 0 0 ) 0 

（B）若  ( , f x y x 0 0 ) 0,  f 则  y ( , x y 0 0 )  0 （C）若  ( , f x y x 0 0 )  0, f 则  y ( , x y 0 0 ) 0  （D）若  ( , f x y x 0 0 )  0, f 则  y ( , x y 0 0 )  0 ( , ) F f x y    令   ) ( , F f x y    x x    ) ( , F x y f    y y    ) 0 ( , F x y     ( , ) x y  ( , x y  x  ( , x y  y ) 0  ) 0  (1) (2) 今   y ( , x y 0 0 )      0,  f y   y ( ( , x y 0 0 , x y 0 0 ) ) 代入(1) 得  ( , f x y x 0 0 )  f  y (  ) ( , x y  0 0 x  , ( x y  0 y 0 , x y 0 ) ) 0 今  ( , f x y x 0 0 )   0, f  y ( , x y 0 0  )  x ( , x y 0 0 )  0 则 f  y ( , x y 0 0 )  0 故选[D] (13)设 1, 2,…, s 都是 n 维向量，A是 mn 矩阵，则（）成立. (A) 若 1, 2,…, s 线性相关,则 A 1,A 2,…,A s 线性相关. (B) 若 1, 2,…, s 线性相关,则 A 1,A 2,…,A s 线性无关. (C) 若 1, 2,…, s 线性无关,则 A 1,A 2,…,A s 线性相关. (D) 若 1, 2,…, s 线性无关,则 A 1,A 2,…,A s 线性无关. 解: (A) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若 1, 2,…, s 线性相关,则存在不全为 0 的数 c1,c2,…,cs 使得 c1 1+c2 2+…+cs s=0, 用 A左乘等式两边,得 c1A 1+c2A 2+…+csA s=0, 于是 A 1,A 2,…,A s 线性相关. 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. 1, 2,…, s 线性无关 r( 1, 2,…, s )=s. 2. r(AB) r(B). 矩阵(A 1,A 2,…,A s)=A( r(A 1,A 2,…,A s) r( 1, 1, 2,…, s ),因此 2,…, s ). 由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设 A是 3 阶矩阵,将 A的第 2 列加到第 1 列上得 B,将 B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得 C.记 1 1 0 ,则 P= 0 0 1 0 0 1 (A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B) 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B=PA , 1 -1 1 0 C=B 0 0 0 0 =BP-1= PAP-1. 1 三、解答题（15）试确定 A， B，C 的常数值，使 xe (1  Bx Cx  2 ) 1   ( Ax o x  3 ) 其中 3( o x 是当 ) x  时比的高阶无穷小 . 3 x 0    1 x 2 x 2  3 x 6  ( o x 3 ) 代入已知等式得  ( o x 3 )][1  Bx Cx  2 ] 1   ( Ax o x  3 ) 解：泰勒公式 x e 2 x 2  3 x 6 [1   x 整理得 1 (  B  1) x C B    ( 1 2 2 ) x     B 2   C 1 6     ( o x 3 ) 1   ( Ax o x  3 ) 比较两边同次幂函数得 B+1=A 1 2 C+B+ =0 ① ②   0  则 B 2 3 1 B C   2 6 式②-③得代入①得 0 B 2 A  ③ 1 3 1 3 1 6 代入②得 C  （16）求  arcsin x e dx x e .

解：原式=  arcsin e 2 x ) e ( x x de e 令 x  t  arcsin 2 t t dt    arcsin td 1 ( ) t   arcsin t t   t dt 1  2 t       arcsin t t arcsin t t arcsin t t   t 2    1 2 u ln tdt 1  du 2 1  u  u  令 1  2 t    u 2 t arcsin t t  1 ( 2   (1 2 u ) udu 2 ) u  1 1  C  x e  arcsin x e dx   x e  arcsin x e 1 2 ln 1 1   e e 2 x 2 x 1  1   C . （17）设区域 D  {( , x y ) | 2 x  2 y |,  x  ，计算二重积分 0} I  1  2 x  xy  2 y  1D dxdy . 解：用极坐标系    1D   xy 2 x  2 y dxdy   0   I   2    2 1  d  0 r  1 2 r dr   2 ln(1  r 2 ) 1 0   2 ln 2 . （18）设数列{ }nx 满足 0 x  x  ， 1 n   1 sin ( x n n  1,2,3, )  证明：（1） lim n x  1 n  存在，并求极限；（2）计算 x 证：（1） 2   . 1  x n x n lim n     sin , x 1 1 2 nx    0   x 2  1, n 因此  2 x n   1 sin x n  x n ,{ } x n 单调减少有下界  nx  0 根据准则 1， lim n x n   存在 A 在 1 x n   sin x n 两边取极限得 A  sin A   A 0 因此 lim n  x  1 n  0

（2）原式 1 2 nx  lim n     x n sin x n    为型 "1 "   离散型不能直接用洛必达法则 sin t lim ln t  1 2 t t 1 20 t    t    先考虑 lim 0 t     sin t     e 用洛必达法则  e lim 0 t  1 2 t   t 1 sin t ( cos t sin ) t  2 t t t t cos t 2 sin  3 t lim 0 t   e lim e  0 t  t 2  t 1    2   2 0( t ) t 3 t 6            3 2 t 0( t 3 )        lim 0 t   e 3  0( t 3 ) t 1 1     2 6  2 t 3  1 6 .  e （19）证明：当 0 a b     时， b sin b  2cos b  b   a sin a  2cos a  1 a  . 证：令 ( ) f x  x sin x  2cos x  x 只需证明 0 a    时, ( ) x  f x 严格单调增加  ( ) f x  sin x  x cos x  2sin x     ( ) x cos x x cos x   sin  sin x x   x  cos f x   x sin x  0 f x ( ) 严格单调减少  又 ( f       cos  ) 0 故 0    a x  时  ( ) 0 f x  则单调增加（严格） ( ) f x 由 b  ( ) a f b 则  ( ) f a 得证（ 20 ）设函数 ( ) f u ) 在 (0, 内具有二阶导数，且 Z  f  2 x  2 y  满足等式 z 2 2  x   z 2 2  y   0 . （I）验证  ( ) f u  0  ；  ( ) f u u  求函数 ( ) (1) 1 （II）若 (1) 0,  f f  f u 的表达式 .

证：（I）   f  z  x  2 x  2 y  x  2 x ; 2 y   f  2 x  2 y z 2 2  x  z 2 2  y    f   f   2 x  2 y 2 x  2 y   2 x  2 y  2 x 2 x 2 y 2 y    f  2 x  2 y   f  2 x  2 y 代入方程  ( ) f u   2 z 2  x   ( ) f u u 得 f   2 x  2 y z 2 2  y   0  0 成立 z  y   y  2 x 2 y  2 3 2 2 y  2 3 2   y  2 2 ) y 2  0     y  x  2 x 2 x 2 y f  ( x 2 x  （II）令 ( ) f u  p , 则 dp du   p u ;  dp p    du u  , c p  c u  f  (1) 1,  c  1, ( ) f u  ln | u |  c , f 由 (1) 0,  c 2 2   0 ( ) f u  ln | u | （21）已知曲线 L的方程（I）讨论 L的凹凸性；   x  y   2 t 4 t 1  t  2 ( t  0) （II）过点 ( 1,0)  引 L的切线，求切点 0 0 ( x y ，并写出切线的方程； ) , （III）求此切线与 L（对应 x x 部分）及 x轴所围的平面图形的面积. 0 解：（I） dx dt  2 , t d 2 d y 2 dx  dy dt dy   dx  dt   4 2 , t dy dx  4 2 t  2 t   2 t 1     1 dx dt      2 2 t     1 2 t   1 3 t  0 ( t  0 ) 处  曲线在处)是凸 t  0 L ( （II）切线方程为 y   0    2 t   1 (   x  1) ，设 x 0 t 2 0 1  ， y 0  4 t 0 则 4 t 0  t 2 0     2 t 0   1 ( t   2 0  2),4 t 2 0   t 3 0 (2  t )( t 2 0 0  2) 得 2 t 0    2 0,( t t 0  1)( t 0 0  2) 0  t  0    0 t 0 1  ， t 2 0

点为（2，3），切线方程为 y x  1 （III）设 L的方程 x  ( ) g y 则 S  3  0    ( ) g y  ( y  1)  dy   t 2 4 t    y 0 解出t   2 由于（2，3）在 L上，由 y  y   4 x 得  2 3 x 得可知 2  x 4  y 2  4 2 y  1  2 1   ( ) g y       9   y 4 4  y   ( y  1) d y   3  0 S   (10 2 ) y dy   4 3  0 3  0  (10 y  y 2 ) 3 0  4 3  0 4  yd y 4  yd (4  y ) 21 4  2    3 (4  y ) 3 2 3 0 8 3 (22)已知非齐次线性方程组   21  64 3 3   2 3 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有 3 个线性无关的解. ① 证明此方程组的系数矩阵 A的秩为 2. ② 求 a,b 的值和方程组的通解. 解:① 设 1, 2, 3 是方程组的 3 个线性无关的解,则 2- 1, 3- 1 是 AX=0 的两个线性无关的解.于是 AX=0 的基础解系中解的个数不少于 2,即 4-r(A)2,从而 r(A)2. 又因为 A的行向量是两两线性无关的,所以 r(A)2. 两个不等式说明 r(A)=2. ② 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 (A| )= 4 3 5 -1 -1  0 –1 1 1 1 –5 -1 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1  0 0 1 -1 2 -4 5 2 -3 .

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