2023年天津高考数学真题及答案.doc-资料库

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2023 年天津高考数学真题及答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 A.   1,3,5 C.   1,2,4 U    1,2,3,4,5 , A    1,3 , B    1,2,4 ，则 UB A ð （） B.  1,3 D.   1,2,4,5 2. “ 2 a 2 b ”是“ 2 a  2 b  2 ab ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若 a  0.5 1.01 , b  0.6 1.01 , c  0.6 0.5 ，则 , ,a b c 的大小关系为（） A. c   a b c b   C. a 4. 函数  B. c b a   D. b   a c f x 的图象如下图所示，则    f x 的解析式可能为（） A. C. 2 x  5 e x  5 e x x 2 x  e  2  x  e  2  B. D. 5sin 2 x  x 1 5cos 2 x  x 1 5. 已知函数  f x 的一条对称轴为直线 2 x  ，一个周期为 4，则   f x 的解析式可能为  （）

A. sin C. sin x  2     x  4     B. cos D. cos x  2     x  4     6. 已知 na 为等比数列， nS 为数列 na 的前 n 项和， 1   a n 2 S n  ，则 4a 的值为（ 2 ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 0.8245 r  ，下列说法正确的是（） A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性 B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 0.8245 8. 在三棱锥 P ABC 中，线段 PC 上的点 M 满足 PM  1 3 PC ，线段 PB 上的点 N 满足 PN  2 3 A. 1 9 PB ，则三棱锥 P AMN  和三棱锥 P ABC 的体积之比为（） B. 2 9 C. 1 3 D. 4 9 9. 双曲线 2 2 x a  2 2 ( y b a  0, b  的左、右焦点分别为 1 0) F F、．过 2F 作其中一条渐近线的垂 2 线，垂足为 P ．已知 2 PF  ，直线 1PF 的斜率为 2 4 2 ，则双曲线的方程为（）

A. C. 2 x 8 2 x 4 2 y 4 2 y 2  1  1 B. D. 2 x 4 2 x 2 2 y 8 2 y 4  1  1 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10. 已知i 是虚数单位，化简 5 14i  2 3i  的结果为_________． 11. 在 3 2x    6 1   x  的展开式中， 2x 项的系数为_________． 12. 过原点的一条直线与圆 : ( C x  2 2)  2 y  相切，交曲线 2 y 3  2 ( px p  于点 P ，若 0) OP  ，则 p 的值为_________． 8 13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 5: 4 : 6 ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 40%,25%,50% ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．中， 14. 在 ABC    AB a AC b    , A   ，则 AE 60  ， 1 BC  ，点 D 为 AB 的中点，点 E 为 CD 的中点，若设  表示为_________；若   ，则 AE AF  BC  BF 的最大  可用 ,a b 1 3 值为_________． 15. 若函数   f x  2 ax  2 x  2 x  ax 1  有且仅有两个零点，则 a 的取值范围为 _________．三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分別是 , ,a b c ．已知 a  39, b （1）求sinB 的值；（2）求 c 的值；    2, A 120  ．

（3）求  sin B C ．  17. 三棱台 ABC A B C 1 1 1 - 中，若 1A A  面 ABC AB ,  AC AB AC AA 1   ,  2, AC 1 1  ， ,M N 分别是 ,BC BA 中点. 1 （1）求证： 1A N //平面 1C MA ；（2）求平面 1C MA 与平面 ACC A 所成夹角的余弦值； 1 1 （3）求点C 到平面 1C MA 的距离． 18. 设椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a A F 1  3, A F 2  ． 1   的左右顶点分别为 1 0) b ,A A ，右焦点为 F ，已知 2 （1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点 P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 2A P 交 y 轴于点Q ，若三角形 1A PQ 的面积是三角形 2A FP 面积的二倍，求直线 2A P 的方程． 19. 已知 na 是等差数列， 2 a  a 5  16, a 5  a 3  ． 4 （1）求 na 的通项公式和 i n 2 1   ． a i n 1   2 （2）已知 nb 为等比数列，对于任意 *Nk  ，若 12 k    n k 2 1  ，则 b k  a n  b  1 k ，

（Ⅰ）当 2 k  时，求证： 2 k 1   b k  2 1k  ；（Ⅱ）求 nb 的通项公式及其前 n 项和． 20. 已知函数  f x  1 x  1 ln   2   x   1 ．       f x （1）求曲线 y  在 2 x  处切线的斜率；（2）当 0 x  时，证明：   1 f x  ；（3）证明： 5 6  ln   ! n  n     1 2    ln   n   n 1 ．参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 【答案】A 2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】D 5. 【答案】B 6. 【答案】C 7. 【答案】C 8. 【答案】B 9. 【答案】D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分．

10.【答案】 4 i 11.【答案】 60 12.【答案】 6 13.【答案】 14.【答案】 ①. 0.05  a ①. 15. 【答案】 ,0     1,     ②. 3 5 ②. 13 24 1 4   b 1 2  0,1  三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分別是 , ,a b c ．已知 a  39, b    2, A 120  ．（1）求sinB 的值；（2）求 c 的值；（3）求  sin B C ．  【答案】（1） 13 13 （2）5 （3） 7 3 26  【小问 1 详解】由正弦定理可得， a sin A  b sin B ，即 39 sin120  2 sin B ，解得： sin B  13 13 ；【小问 2 详解】由余弦定理可得， 2 a  2 b  2 c  2 bc sin A ，即 39 4   c 2 c  2 2       1 2    ，解得： 5 c  或 c   （舍去）． 7 【小问 3 详解】

由正弦定理可得， a sin  A c sin C ，即 39 sin120  5 sinC ，解得： sin C  5 13 26 ，而 120 A  o ，所以 ,B C 都为锐角，因此 cos C  1  25 52  3 39 26 ， cos B  1  1 13  2 39 13 ，故  sin B C    sin cos B C  cos B sin C  13 3 39 26 13   2 39 5 13 26 13    7 3 26 ． 17. 三棱台 ABC A B C 1 1 1 - 中，若 1A A  面 ABC AB ,  , AC AB AC AA 1    2, AC 1 1  ， ,M N 分别是 ,BC BA 中点. 1 （1）求证： 1A N //平面 1C MA ；（2）求平面 1C MA 与平面 ACC A 所成夹角的余弦值； 1 1 （3）求点C 到平面 1C MA 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3） 2 3 4 3 【小问 1 详解】

连接 ,MN C A .由 ,M N 分别是 ,BC BA 的中点，根据中位线性质， MN // AC ，且 1 MN  AC 2  ， 1 由棱台性质， 1 1AC // AC ，于是 MN // 1 1AC ，由 MN AC 1 1 1  可知，四边形 MNAC 是 1 1 平行四边形，则 1A N // 1MC ，又 1A N  平面 1C MA ， 1MC  平面 1C MA ，于是 1A N //平面 1C MA . 【小问 2 详解】过 M 作 ME AC ，垂足为 E ，过 E 作 EF AC 1 ，垂足为 F ,连接 ,MF C E . 1 由 ME  面 ABC ， 1A A  面 ABC ，故 1AA ME ，又 ME AC ， AC AA 1 A∩ ， ,AC AA  平面 1 ACC A ，则 ME  平面 1 1 ACC A . 1 1 由 1AC  平面 ACC A ，故 1 1 ME AC 1 ，又 EF AC 1 面 MEF ，于是 1AC  平面 MEF ，， ME EF E   ， ,ME EF  平由 MF  平面 MEF ，故 1AC MF .于是平面 1C MA 与平面 ACC A 所成角即 MFE 1 1 . 又 ME  AB 2  ， 1 cos CAC 1  1 5 ，则 sin CAC 1  2 5 ，故 EF    1 sin CAC 1  2 5 ，在 Rt MEF  中， MEF  90  ，则 MF  1  4 5  3 5 ，于是 cos  MFE  EF MF  2 3

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