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江泽坚实变函数论习题解答梧桐凤凰 Ultra、dream 2016 年 6 月 13 日 1

8„ 1 89˜Œ 1.1 89$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 8˜Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Œ8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Œ8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 n m¥:8 2.1 :!S:!>.:!Bolzano-Weierstrass ‰n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 m8!488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 p ?LŒ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 m8!48!8E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 :8ml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1n n 3.1 m8N¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 :8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 ƒ¨m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1o …Œ 4.1 …Œ‰´9{5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Egoroﬀ ‰n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 …Œ( Lusin‰n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 ´æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1˚ ¨'n 5.1 K…Œ¨' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 ¨…Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Fubini‰n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 '‰¨' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 5 8 10 10 11 19 20 23 26 26 28 31 41 42 42 46 47 48 49 49 56 65 67 i

1 89˜Œ 1.1 89$ 1. y† (B − A) ∪ A = B ¿^· A ⊂ B. y†. ¿'5d A ⊂ B, (B − A) ∪ A = (B ∩ Ac) ∪ (B ∩ A) = B ∩ (A ∪ Ac) = B " 75d (B − A) ∪ A = B ⇒ A ⊂ B 2. y† A − B = A ∩ Bc. y†. x ∈ A − B ⇐⇒ x ∈ A x /∈ B ⇐⇒ x ∈ A x ∈ Bc ⇐⇒ x ∈ A ∩ Bc 3. y†‰n 4¥£3⁄§£4⁄§‰n 6£De Morgen œ“⁄¥1“‰n 9. y†. ‰n 4(3) x ∈ λ∈Λ Aλ ⇒ ∀ λ ∈ Λ, x ∈ Aλ ⊂ Bλ ⇒ x ∈ Bλ λ∈Λ ‰n 4(4) x ∈ λ∈Λ ( Aλ ∪ Bλ ) ⇐⇒ ∃ λ ∈ Λ, x ∈ Aλ ∪ Bλ ⇐⇒ ∃ λ ∈ Λ, x ∈ Aλ ‰ ∃ λ ∈ Λ, x ∈ Bλ ⇐⇒ x ∈ ∪ Bλ λ∈Λ Aλ λ∈Λ 1

1 89˜Œ ‰n6 c λ∈Λ Aλ x ∈ 2 ⇐⇒ ∃ λ ∈ Λ, x /∈ Aλ ⇐⇒ ∃ λ ∈ Λ, x ∈ A C ⇐⇒ x ∈ λ A C λ λ∈Λ ‰n 9 d An ⊂ An+1 ∞ i=m Ai = Am ∞ ∞ ∞ Am Ai = m=1 i=m m=1 lim inf n An = Ai = Sm K Sm−1 ⊂ Sm lim sup n An = ∞ m=1 Sm = S1 = lim inf n An ∞ i=m q u· An+1 ⊂ An n ∞ n=1 An lim n An = 4. y† (A − B) ∪ B = (A ∪ B) − B ¿^· B = ∅ . y†. e B = ∅ , K (A − B) ∪ B = A − B = A, (A ∪ B) − B = A − B = A , e (A − B) ∪ B = (A ∪ B) − B , K (A ∩ Bc) ∪ B = (A ∪ B) ∩ Bc , B ⊂ Bc, B = ∅ 5. S = {1, 2, 3, 4}, A = {{1, 2},{3, 4}} ,ƒ F (A ), q X J S = { 1 n {{ 1 n ; nŒ}}, A1 = {{1},{ 1 3 }, . . .} ﬂ F (A0) F (A1) ·o” }, . . . ,{ 2i + 1 1 ; n = 1, 2, 3, . . .}, A0 = y†. A = { 1 n K F (A ) = {∅, S,{1, 2},{3, 4}} F (A0) =∅, S, A0, 1 ; nŒ n ; nŒ}, B = { 1 n ; nŒ} F (A1) =∅, S ∪A; A ⊂ A ∪A ∪ B; A ⊂ A

1 89˜Œ 3 6. Øu S f8 A ,‰´ A «5…Œ ϕA(x) = 1, x ∈ A, 0, x /∈ A, y†XJ A1, A2, . . . , An, . . . · S f8S§K ϕlim inf n An(x) = lim inf n ϕAn(x), ϕlim supn An(x) = lim sup n ϕAn(x). y†. lim inf n ϕAn(x) · ∀ x ∈ A ,Œ {ϕAn(x)} e4§=Œ4:" §Œ {xn} 4: x ‰´? x +§okŒ¥ˆ¡ıu¥" u· ϕlim inf n An(x) = 1 ⇐⇒ x ∈ lim inf An n ⇐⇒ kkn, ƒ ϕAn(x) = 0 ⇐⇒ {ϕAn(x)}– 0 4: ⇐⇒ lim inf ϕAn(x) = 1 n ϕlim supn An(x) = 1 ⇐⇒ x ∈ lim sup An n ⇐⇒ kˆ¡ın, ƒ ϕAn(x) = 1 ⇐⇒ {ϕAn(x)}– 1 4: ⇐⇒ lim sup ϕAn(x) = 1 n 7. f (x) ·‰´u E ¢…Œ, a ~Œ§y† E [x; f (x) > a] = E [x; f (x) ≥ a] = ∞ ∞ n=1 n=1 E E , . x; f (x) ≥ a + 1 n x; f (x) > a − 1 n y†. x ∈ E [x; f (x) > a] ⇐⇒ f (x) > a ⇐⇒ ∃ n0, f (x) ≥ a + ⇐⇒ ∃ n0, x ∈ E 1 n0 x; f (x) ≥ a + ⇐⇒ x ∈ x; f (x) ≥ a + E ∞ n=1 1 n0 1 n

1 89˜Œ 4 x ∈ E [x; f (x) ≥ a] ⇐⇒ f (x) ≥ a ⇐⇒ ∀ n, f (x) > a − 1 n ⇐⇒ ∀ n, x ∈ E ∞ n=1 x; f (x) > a − 1 n x; f (x) > a − 1 n ⇐⇒ x ∈ E 8. XJ¢…ŒS {fn(x)}∞ n=1 3 E ´æu f (x) §KØu?¿~Œ a k lim inf n E x; fn(x) a + lim inf E x; fn(x) < a + n lim inf n E x; fn(x) < a + 1 k ⊂ lim inf E n x; fn(x) a + 1 k 1 k 1 k 1 k (1.1) (1.2) 1 k ∞ ∞ k=1 k=1 ∞ k=1 E[x; f (x) a] = = E[x; f (x) a] ⊂ ∞ k=1 lim inf n E lim inf n E x; fn(x) < a + x; fn(x) a + ⊂ E[x; f (x) a] 1 k = ∞ ∞ ∞ k=1 m=1 n=m E x; fn(x) < a + 1 k y†. 5¿ u·Iy ey (1.1),˜kk ∞ k=1 lim inf n E x; fn(x) < a + ∀ x ∈ E[x; f (x) a], f (x) a, u· ∀ k ≥ 1 q {fn(x)}∞ k + 1 n=1 ´æu f (x) , u· ∃ m ≥ 1, ƒ ∀ n m, k f (x) < a + 1 fn(x) − f (x) < 1 k − 1 k + 1 u· ey (1.2) ∀ x ∈ ∞ lim inf n E k=1 x ∈ x; fn(x) a + fn(x) = (fn(x) − f (x)) + f (x) < a + 1 k 1 k E x; fn(x) < a + ∞ ∞ m=1 n=m ⁄Æ ∞ k=1 1 k ∀ k ≥ 1,∃ m ≥ 1,∀ n m, k fn(x) a + 1 k

5 1 89˜Œ øp- n → ∞ , qd k ?¿ u· x ∈ E[x; f (x) a] f (x) a + 1 k f (x) a 1. ^)“ (−1, 1) (−∞,∞) mØA. 1.2 8˜Œ y†. 2. y† a < b §k (a, b) ∼ (0, 1) . y†. f (x) = tan π 2 x f (x) = x − a b − a 3. y††¡?–:⁄⁄:8·†¡:⁄⁄:8Ø§ ?y††¡?m8£m8‰´Œ˘'‰1$2)¥:⁄⁄:8 †¡:⁄:8Ø. y†. B †¡– a »m§–%4:Æ4IX§K B = {(r, θ); 0 r < a, 0 θ < 2π} π 2a u· f ((r, θ)) = tan r, θ B R2 ØA,u· B ∼ R2 ?†¡m8 U § x ∈ U §Kk B(x, r) ⊂ U ⊂ R2 qd B(x, r) ∼ R2 U ∼ R2 1. y††¡IknŒ:⁄Œ8. 1.3 Œ8

1 89˜Œ 6 y†. ky†kŒ8ƒ¨Œ. {An}N n=1 N Œ8§P Ai =(x1 j1, x2 j2, . . . , xN jN ); xi ji ∈ Ai ¥ ji L« xi ji 3 Ai ¥I,P N i=1 N f (α) = p ji i piŒ, α = (x1 j1, x2 j2, . . . , xN jN ) N K f (α) i=1 Ai N f8ØA§u· N Ai Œ. i=1 Q2 = Q × Q, Q Œ§u·(. i=1 2. –Œpm«m?¿8ı„kŒı. y†. S = {Iλ; λ ∈ Λ}, Iλ «m. K ∀ λ ∈ Λ, rλ ∈ Iλ, rλ ∈ Q. K α = β ⇒ rα = rβ. u·øØA S Q f8ØA. S ıŒ. 3. ⁄kXŒknŒı“|⁄Œ8. y†. ⁄kknXŒı“|⁄8 S, q Bn ⁄kknXŒ n gı“8. w,k Bn Qn ØA. ﬂ¢§ n gknı“¥gŒlp$XŒ|⁄ Qn ¥ n . Qn kŒ8ƒ¨Œ. u· Bn Œ. ∞ S = Bn u· S Œ. n=1 4. XJ f (x) · (−∞,∞) N…Œ,K f (x) ºY:ıkŒ. y†. S N…Œ f (x) NºY:, K ∀ x ∈ S, P f (x − 0) = lim x→x− f (x) < lim x→x+ f (x) = f (x + 0) ˜m«m (f (x − 0), f (x + 0)) . ⁄Æ x1 = x2 ⇒ (f (x1 − 0), f (x1 + 0)) ∩ (f (x2 − 0), f (x2 + 0)) = ∅ ﬂ¢§ød x1 < x2 ⇒ f (x1 + 0) f (x2 − 0) . u·ª S Œm«m|⁄8,f8ØA.d1 2 K·ıŒ §u· S ıŒ.

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