很好的考研数学概率笔记.doc-资料库

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概率论基础知识主讲：姜瑸麟（北京邮电）概率论基础知识第一章随机事件及其概率一随机事件 §1 几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为 E。例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C…… 例如，在 E1 中，A 表示“掷出 2 点”，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。例如，在 E1 中，“掷出不大于 6 点”的事件便是必然事件，而“掷出大于 6 点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。 4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。例如，在 E1 中，“掷出 1 点”，“掷出 2 点”，……，“掷出 6 点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在 E1 中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为 e. 例如，在 E1 中，用数字 1，2，……，6 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6} 便是 E1 中的基本事件。在 E2 中，用 H 表示正面，T 表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在 E1 中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。例如，在 E1 中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在 E2 中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在 E3 中，Ω={0，1，2，……} 第 1 页 @kaiziliu

概率论基础知识例 1，一条新建铁路共 10 个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。主讲：姜瑸麟（北京邮电）此试验样本空间所有样本点的个数为 NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合) 例 2．随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，观察 15 名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列 §2 事件间的关系与运算 1、包含:“若事件 A 的发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 A B 或 B A。例如，在 E1 中，令 A 表示“掷出 2 点”的事件，即 A={2} B 表示“掷出偶数”的事件，即 B={2，4， 6}则 2、相等：若 A B 且 B A，则称事件 A 等于事件 B，记为 A=B 例如，从一付 52 张的扑克牌中任取 4 张，令 A 表示“取得到少有 3 张红桃” 的事件；B 表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然 A=B 3、和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件简称为和，记为 A B，或 A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示“甲击中目标”的事件，B 表示“乙击中目标”的事件，则 AUB 表示“目标被击中”的事件。推广：有限个无穷可列个 4、积：称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A B 或 AB。例如，在 E3 中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则 A B={接到 6 的倍数次呼唤} 第 2 页 @kaiziliu

概率论基础知识主讲：姜瑸麟（北京邮电）推广：任意有限个无穷可列个 5、差：称事件 A 发生但事件 B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为 A-B。例如，测量晶体管的β参数值，令 A={测得β值不超过 50}，B=｛测得β值不超过 100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为 50﹤β≤100｝ 6、互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=φ，则称 A 与 B 是互不相容的。例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若 A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则 A 与 B 便是互不相容的。 7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为显然，A∩ =φ 例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令 A={取得的 3 个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的 3 个产品均为正品}。 §3 事件的运算规律 1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A 2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C） 3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C） 4、对偶律此外，还有一些常用性质，如 A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。若 A B，则 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 第 3 页等等。 @kaiziliu

概率论基础知识主讲：姜瑸麟（北京邮电）例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为或例 4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第 i 次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解： A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} A1A2A3={三次射击都击中目标} 例 5，下图所示的电路中，以 A 表示“信号灯亮”这一事件，以 B,C,D 分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，闭合，试写出事件 A,B,C,D 之间的关系。解，不难看出有如下一些关系：二事件的概率 §1 概率的定义所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P（A）。规定 P(A)≥0，P（Ω）=1。 1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令 A={掷出 2 点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为 Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有 1=P（Ω）=6P（A），即 P（A）= 。而 P（B）=3P（A）= 第 4 页 @kaiziliu

概率论基础知识主讲：姜瑸麟（北京邮电）定义 1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 NΩ而事件 A 所含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为：例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间 Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。可见 NΩ=8 令 A={恰有一次出现正面}，则 A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）} 可见，令 NA=3 故例 2，（取球问题）袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球：从袋中任取 3 个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2 个白球}的概率。解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等) （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）（2）无放回取球故（3）一次取球故第 5 页 @kaiziliu

概率论基础知识属于取球问题的一个实例：主讲：姜瑸麟（北京邮电）设有 100 件产品，其中有 5%的次品，今从中随机抽取 15 件，则其中恰有 2 件次品的概率便为（属于一次取球模型）例 3（分球问题）将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（n≤N）。解：令 A={恰有 n 个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数先从 N 个盒子里选 n 个盒子，然后在 n 个盒子里 n 个球全排列故属于分球问题的一个实例：全班有 40 名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令 A={40 个同学生日皆不相同}，则有 (可以认为有 365 个盒子，40 个球) 故例 4（取数问题）从 0，1，……,9 共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四个数排成一个偶数；（2）四个数排成一个四位数；（3）四个数排成一个四位偶数；解：令 A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数} ，，第 6 页 @kaiziliu

概率论基础知识主讲：姜瑸麟（北京邮电）例 5（分组问题）将一幅 52 张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得 13 张黑桃及有人手里有 4 张 A 牌的概率各为多少？解：令 A={有人手里有 13 张黑桃}，B={有人手里有 4 张 A 牌} 于是，故不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质： 1° P（A）≥0 2° P（Ω）=1 3° 若 A1，A2，……，An 两两互不相容，则 2、概率的统计定义频率：在 n 次重复试验中，设事件 A 出现了 nA 次，则称：为事件 A 的频率。频率具有一定的稳定性。示例见下例表试验者抛硬币次数 n 正面（A）出现次数 nA 德·摩尔根浦丰皮尔逊皮尔逊维尼 2048 4040 12000 24000 30000 1061 2148 6019 12012 14994 正面（A）出现的频率 0．5180 0．5069 0．5016 0．5005 0．4998 第 7 页 @kaiziliu

概率论基础知识主讲：姜瑸麟（北京邮电）定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质： 1° 2° 3° 若 A1，A2，……，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义（数学定义）定义 3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件 A 定义一个实数 P（A），如果它满足下列三条公理： 1° P（A） ≥0（非负性） 2° P（Ω）=1（规范性） 3° 若 A1，A2，……，An……两两互不相容，则（可列可加性，简称可加性）则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义定义 4：假设Ω是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件 A 是Ω中任何一个可度量的子集，则 P(A)==ū(A)/ ū(Ω) §2 概率的性质性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差证：因为：A B 所以：B=A∪(B-A)且 A∩(B-A)=φ,由概率可加性得 P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A）即 P（B-A）=P（B）-P（A）性质 2：若 A B，则 P（A）≤P（B） ——概率的单调性证：由性质 1 及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即 P（A）≤P（B）性质 3：P（A）≤1 证明：由于 A Ω，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）≤1 性质 4：对任意事件 A，P（）=1-P（A）证明：在性质 1 中令 B=Ω便有 P（）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）第 8 页 @kaiziliu

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