2019 年重庆高考文科数学真题及答案
本试卷共 5 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清
楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上
答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合 ={ |
A x x , { |
1}
x x
,则 A∩B=
2}
B
A.(-1,+∞)
C.(-1,2)
2.设 z=i(2+i),则 z =
A.1+2i
C.1-2i
3.已知向量 a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=
A. 2
C.5 2
B.(-∞,2)
D.
B.-1+2i
D.-1-2i
B.2
D.50
4.生物实验室有 5 只兔子,其中只有 3 只测量过某项指标,若从这 5 只兔子中随机取出 3 只,则恰有 2 只
测量过该指标的概率为
A.
C.
2
3
2
5
B.
D.
3
5
1
5
5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为
A.甲、乙、丙
C.丙、乙、甲
B.乙、甲、丙
D.甲、丙、乙
6.设 f(x)为奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=e
1x ,则当 x<0 时,f(x)=
A.e
1x
C. e
1x
B. e
1x
D. e
1x
7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
8.若 x1=
4
,x2=
4
A.2
C.1
是函数 f(x)=sin x (>0)两个相邻的极值点,则=
B. 3
2
D. 1
2
9.若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
x
3
2
p
2
y
p
的一个焦点,则 p=
1
A.2
C.4
B.3
D.8
10.曲线 y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为
A.
x
y
1 0
B. 2
x
y
1 0
2
C. 2
x
y
1 0
2
D.
x
y
1 0
11.已知 a∈(0,
π
2
),2sin2α=cos2α+1,则 sinα=
A.
1
5
C. 3
3
B. 5
5
D. 2 5
5
12.设 F为双曲线 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以 OF为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交
1
于 P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则 C的离心率为
A. 2
C.2
B. 3
D. 5
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若变量 x,y满足约束条件
2
x
y
3
6
x
y
3 0
y
0
2
,
0
,
,
则 z=3x–y的最大值是___________.
14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10 个车次的正点率为 0.97,有
20 个车次的正点率为 0.98,有 10 个车次的正点率为 0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点
率的估计值为___________.
15. ABC△
的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 bsinA+acosB=0,则 B=___________.
16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的正
多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所
有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面,其棱
长为_________.(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
如图,长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形,点 E在棱 AA1 上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面 EB1C1;
(2)若 AE=A1E,AB=3,求四棱锥
18.(12 分)
E BB C C
1
1
的体积.
已知{ }na 是各项均为正数的等比数列, 1
a
2,
a
3
2
a
2
16
.
(1)求{ }na 的通项公式;
(2)设
b
n
log
a
n
,求数列{ }nb 的前 n项和.
2
19.(12 分)
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了 100 个企业,得到这些企业第一季度
相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表.
y 的分组
[ 0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表).(精确到 0.01)
附: 74
8.602
.
20.(12 分)
已知 1
,F F 是椭圆
2
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的两个焦点,P为 C上一点,O为坐标原点.
0)
b
(1)若
POF△
2
为等边三角形,求 C的离心率;
PF
(2)如果存在点 P,使得 1
PF
2
,且 1
F PF△
2
的面积等于 16,求 b的值和 a的取值范围.
21.(12 分)
已知函数 ( )
f x
(
x
1)ln
x
.证明:
x
1
(1) ( )
f x 存在唯一的极值点;
(2) ( )=0
f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在极坐标系中,O为极点,点
垂直,垂足为 P.
M 在曲线 :
C
0)
)(
(
0
,
0
0
4sin
上,直线 l过点 (4,0)
A
且与OM
(1)当 0=
3
时,求 0 及 l的极坐标方程;
(2)当 M在 C上运动且 P在线段 OM上时,求 P点轨迹的极坐标方程.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知 ( )
f x
|
x a x
|
|
x
2 | (
x a
).
(1)当 1a 时,求不等式 ( ) 0
f x 的解集;
(2)若 (
x 时, ( ) 0
f x ,求 a 的取值范围.
,1)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
1.C
7.B
2.D
8.A
3.A
9.D
4.B
5.A
6.D
10.C
11.B
12.A
13.9
14.0.98
15. 3π
4
16.26; 2 1
17.解:(1)由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1,BE 平面 ABB1A1,
故 1
1B C
BE .
又
BE EC
1
,所以 BE⊥平面 1
EB C .
1
(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以
AEB
A EB
1
1
,故 AE=AB=3,
45
AA
1
2
AE
6
.
作
EF
BB
1
,垂足为 F,则 EF⊥平面 1
所以,四棱锥
E BB C C
1
1
的体积
V .
EF AB
.
3
1
BB C C ,且
1 3 6 3 18
3
18.解:(1)设 na 的公比为q,由题设得
22
q
4
q
,即 2 2
16
q
q
.
8 0
解得
q (舍去)或q=4.
2
因此 na 的通项公式为
na
2 4
n
1
2
2
n
1
.
(2)由(1)得
nb
(2
n
1)log 2
2
2
n
,因此数列 nb 的前n项和为
1
1 3
2
1n
2
n
.
19.解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
14 7
100
0.21
.
产值负增长的企业频率为 2
100
0.02
.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企
业比例为2%.
(2)
y
2
s
1
100
i
1
1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7)
100
5
n y
i
i
y
2
0.30
,
1
100
( 0.40)
2
2 ( 0.20)
2
24 0
2
53 0.20
2
14 0.40
2
7
=0.0296 ,
s
0.0296
0.02
74
0.17
,
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
20.解:(1)连结 1PF ,由
POF△
2
为等边三角形可知在 1
F PF△
2
F PF
2
90
, 2PF
c , 1
PF
3
c
,
于是
2
a
PF
1
PF
2
( 3 1)
,故C 的离心率是
c
( 2 ) 由 题 意 可 知 , 满 足 条 件 的 点 ( ,
中, 1
c
a
e
3 1
.
P x y 存 在 . 当 且 仅 当 1 |
2
y
)
| 2
c
,
16
y
x
c x
y
c
1
,
2
2
x
a
2
2
y
b
2
x
2
y
2
2
x
a
2
2
y
b
,即 |
c y ,①
| 16
1
2
,②
c
,③
1
由②③及 2
a
2
b
2
得
c
2
y
,又由①知
4
2
b
c
2
y
2
16
2
c
,故 4b .
由②③得
2
x
2
c
2
2
a
c
2
,所以 2
c
b
2
b ,从而 2
a
2
b
2
c
22
b
故 4 2
a
32,
.
a
当 4b , 4 2
所以 4b , a 的取值范围为[4 2,
时,存在满足条件的点P.
) .
21.解:(1) ( )
f x 的定义域为(0,+ ).
( )
f x
x
1
x
ln
x
1 ln
x
.
1
x
因为 ln
y
x
单调递增,
单调递减,所以 ( )
f x 单调递增,又 (1)
f
,
1 0
y
ln 4 1
1
x
0
,故存在唯一 0
x
(1,2)
,使得
0
x
f
0
.
f
(2)
ln 2
1
2
2
, ( )
又当
x
x 时, ( ) 0
f x
0
f x 单调递减;当
x
f x
x 时, ( )
0
, ( )
f x 单调递增.
0
因此, ( )
f x 存在唯一的极值点.
(2)由(1)知
0
f x
f
(1)
,又
f
2
2
e
2
e
x .
由
x
0
得
1
1
1 x
0
.
,所以 ( )
3 0
f x 在
0
0,x 内存在唯一根
又 1
1
f
1 ln
1
1
1
f
(
)
0
,故
1
是 ( )
f x 在
0
00, x 的唯一根.
综上, ( )
f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
0
22.解:(1)因为
0,M 在C上,当 0
0
由已知得|
OP OA
|
|
| cos
3
2
.
时, 0
3
4sin
3
2 3
.
设 (
Q 为l上除P的任意一点.在 Rt OPQ△
)
,
中, cos
3
|
OP
| 2
,
经检验,点 (2,
P
3
)
在曲线 cos
3
2
上.
所以,l的极坐标方程为 cos
3
2
.
(2)设 (
P ,在 Rt OAP△
)
,
中,|
OP OA
|
|
| cos
4cos ,
即
4cos
.
因为P在线段OM上,且 AP OM
,故的取值范围是 ,
4 2
.
所以,P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
4 2
,
.
23.解:(1)当 a=1 时, ( )=|
f x
x
1| +|
x x
2|(
x
1)
.
当 1x 时,
( )
f x
2(
x
1)
2
;当 1x 时, ( ) 0
f x .
0