2004年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2004 年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1．（4 分）若 tan  ，则 tan(  1 2  ) 4  ． 2．（4 分）设抛物线的顶点坐标为 (2,0) ，准线方程为 x   ，则它的焦点坐标为 1 ． 3．（4 分）设集合 {5 log ( A  ， 2 a  ，集合 {B 3)} a ， }b ．若 A B  {2} ，则 A B  ． 4．（4 分）设等比数列{ }( na n N 的公比 ) q   ，且 1 2 lim( n  a 1  a 3  a 5   a  2 1 n )  ，则 1a  8 3 ． 5．（4 分）设奇函数 ( ) f x 的定义域为[ 5 ，5] ，若当 [0 x  ，5] 时， ( ) f x 的图象如图，则不等式 ( ) 0 f x  的解集是． 6．（4 分）已知点 (1, 2)  A  ，若向量 AB a  与 (2,3) 同向，|  AB  | 2 13 ，则点 B 的坐标为． 7．（4 分）在极坐标系中，点 (4, M 到直线 : l  (2cos  sin )   的距离 d  4 ．  ) 3 0 8．（4 分）圆心在直线 2 x y   上的圆 C 与 y 轴交于两点 (0, 4) A  、 (0, 2)  ，则圆 C 的方程为 B 7 ． 9．（4 分）若在二项式 ( x  的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 10 1) ．（结果用分数表示） 10．（4 分）若函数 ( ) f x  a x b  | | 2  在[0 ， ) 上为增函数，则实数 a 、 b 的取值范围是． 11．（4 分）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是． 12．（4 分）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{ }na 是公比为 q 的无穷等比数列，下列{ }na 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组．（写出所有符合要求的组号） ① 1S 与 2S ；② 2a 与 3S ；③ 1a 与 na ；④ q 与 na ．（其中 n 为大于 1 的整数， nS 为{ }na 的前 n 项和． ) 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）在下列关于直线 l 、 m 与平面、 的命题中，真命题是 ( ) A．若 l  ，且  ，则 l  B．若 l  ，且 / / ，则 l  C．若   m ，且 l m ，则 / / l  D．若 l  ，且  ，则 / / l 

14．（4 分）三角方程 2sin(  2  x  的解集为 ( ) 1 ) A．{ | x x C．{ | x x  2 k  2 k  ，  ，  3  3 k Z } k Z } B． { | x x  2 k  ， 5  3 k Z } D．{ | x x k   ， ( 1)K k Z } 15．（4 分）若函数 y  ( ) f x 的图象可由 y  ( lg x 1)  的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转  2 得到，则 ( ) f x 等于 ( ) A．10 1x  B．10 1x  C．1 10 x  D．1 10x  16．（4 分）某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是 ( ) A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业 C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17．（12 分）已知复数 1z 满足 (1  ) i z 1 z    ， 2 1 5 i 求 a 的取值范围．    ，其中 i 为虚数单位， a R ，若 1 z a 2 i |  z 2 | |  ， z 1 | 18．（12 分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x 、 y （单位： )m 的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积 28m ．问 x 、 y 分别为多少（精确到 0.001 )m 时用料最省？

19．（14 分）记函数 x  x  A ，求实数 a 的取值范围． ( ) f x 2   B 3 1 的定义域为 A ， ( ) g x  lg x a   [( 1)(2 a  ，( )] x a  的定义域为 B ．若 1) 20．（14 分）已知二次函数 y  1( ) f x 的图象以原点为顶点且过点 (1,1) ，反比例函数 y  2( ) f x 的图象与直线 y x 的两个交点间距离为 8， ( ) f x  ( ) f x 1  ( ) f x 2 ．（1）求函数 ( ) f x 的表达式；（2）证明：当 3 a  时，关于 x 的方程 ( ) f x f （a）有三个实数解． 21．（16 分）如图， P ABC  是底面边长为 1 的正三棱锥， D 、 E 、 F 分别为棱长 PA 、 PB 、 PC 上的点，截面 DEF 底面 ABC ，且棱台 DEF ABC / /  与棱锥 P ABC  的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）为正四面体；  （2）若（1）证明： P ABC 1 2  PD DA （3）设棱台 DEF ABC  求二面角 D BC A   的大小；（结果用反三角函数值表示）的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台 DEF ABC  有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由． 22．（18 分）设 1 1(P x ， 1)y ， 1 2(P x ， 2 )y ， ， (n nP x ， )( ny n ， 3 n N 是二次曲线 C 上的点，且 ) a OP 1 1 | 2 | ， a 2 | OP 2 2 | ，  ， a n | OP n 2 | S n  a 1  a 2   ． a n 构成了一个公差为 ( d d  的等差数列，其中 O 是坐标原点．记 0) （1）若 C 的方程为（2）若 C 的方程为小值； 2 x 100 2 x a 2 2 y 25 2 y b 2  1  ， 3 n  ．点 1(10,0) P 及 3 S  ，求点 3P 的坐标；（只需写出一个） 255  1( a b   ．点 1( ,0) P a ，对于给定的自然数 n ，当公差 d 变化时，求 nS 的最 0)

（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 1P ，对于给定的自然数 n ，写出符合条件的点 1P ， 2P ， nP 存在的充要条件，并说明理由．符号意义向量坐标正切本试卷所用符号等同于《实验教材》符号 x {a ， }y tg  a ( , x y ) tan

2004 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1．（4 分）若 tan  ，则 tan(  1 2  ) 4  3 ．【解答】解：  tan  1 2  tan(    ) 4  tan 1   1 tan    1 1  2 1 1  2  3 故答案为：3． 2．（4 分）设抛物线的顶点坐标为 (2,0) ，准线方程为 x   ，则它的焦点坐标为 (5,0) ． 1 【解答】解：顶点到准线距离是 2 ( 1) 3    ，则焦点到顶点距离是 3，且和准线在顶点两侧所以横坐标是 2 3 5   ． 它的焦点坐标是 (5,0) ．故答案为 (5,0) ． 3．（4 分）设集合 {5 log ( A  ， 2 a  ，集合 {B 3)} a ， }b ．若 A B  {2} ，则 A B  {1 ，2， 5} ．【解答】解：   2 b  ． A B  {2} ，  log ( 2 a  3)  ． 2 1a  ． A  ， 2} ， {1 B  ， 2} ． {5   A B {1 ，2， 5} ，故答案为{1 ，2， 5}． 4．（4 分）设等比数列{ }( na n N 的公比 ) q   ，且 1 2 lim( n  a 1  a 3  a 5   a  2 1 n )  ，则 1a  8 3 2 ．【解答】解： q   1 2 ，  lim( n  a 1  a 3  a 5  a  2 1 n )   8 3 ． a 1  1 1 4 a  ． 2 1 故答案为 2．

5．（4 分）设奇函数 ( ) f x 的定义域为[ 5 ，5] ，若当 [0 x  ，5] 时， ( ) f x 的图象如图，则不等式 ( ) 0 f x  的解集是 { | 2    或 2 0 x x x 5} ．【解答】解：由奇函数图象的特征可得 ( ) f x 在[ 5 ， 5] 上的图象．由图象可解出结果．故答案为{ | 2    或 2 0 x x x ． 5} 6．（4 分）已知点 (1, 2)  A  ，若向量 AB a  与 (2,3) 同向，|  AB  | 2 13 ，则点 B 的坐标为 (5,4) ．【解答】解：设 A 点坐标为 ( Ax ， )Ay ， B 点坐标为 ( Bx ， )By ．   AB 与 a 同向，可设  AB  a  (2  ， 3 )(   ． 0)  AB |  |  (2 )  2  (3 )  2  2 13 ， 2  ．  AB 则  ( B x  x A ， y B y A )  ， 6) ， (4     x B y B   x A y A   4 6.     x A y A 1    2     x B y B   5 4. B 点坐标为 (5,4) ．故答案为： (5,4) 7．（4 分）在极坐标系中，点 (4,  ) 3 【解答】解：将原极坐标方程 (2cos  M 化成直角坐标方程为： 2 x y   ， 4 0 到直线 : l  (2cos  sin )   的距离 d  4 2 15 5 ．  sin )   ， 4

点 (4, M  ) 3 化成直角坐标方程为 (2 ， 2 3) ． 点 M 到直线 l 的距离 | 4 2 3 4 |    4 1   2 15 5 ．故填： 2 15 5 ． 8 ．（ 4 分）圆心在直线 2 x ( x  2 2)  ( y  2 3)  ． 5 y   上的圆 C 与 y 轴交于两点 (0, 4) A  、 (0, 2)  ，则圆 C 的方程为 B 7 0 【解答】解：圆 C 与 y 轴交于 (0, 4) A  ， (0, 2)  ， B 由垂径定理得圆心在 y   这条直线上． 3 又已知圆心在直线 2 x 圆心 C 为 (2, 3) ， y   上，联立 7 0 y 2 3   x y    7    0 ，解得 2 x  ， 半径 r | AC |  2 2 2 [ 3 ( 4)]      ． 5 所求圆 C 的方程为 ( x  2 2)  ( y  2 3)  ． 5 故答案为 ( x  2 2)  ( y  9．（4 分）若在二项式数表示） 2 5  ． 3) x  的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 4 11 10 1) ( ．（结果用分【解答】解：展开式中共有 11 项，其中只有 4 项的系数 0 10C ， 2 该项的系数为奇数的概率是 4 11 10C ， 8 10C ， 10 10C 为奇数．故答案为 4 11 10．（4 分）若函数 ( ) f x  a x b  | | 2  在[0 ， ) 上为增函数，则实数 a 、b 的取值范围是 a  且 0b ． 0 【解答】解： ( ) f x  a x b  | | 2  的图象可看作把 y   的图象 | a x | 向左或向右平移| |b 个单位，再向上平移 2 个单位得到的．由已知画出图形，如图所示，可得 0 a  且 0b ，故答案为： 0 a  且 0b ．

11．（4 分）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质．【解答】解：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质．故答案为用代数的方法研究图形的几何性质 12．（4 分）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{ }na 是公比为 q 的无穷等比数列，下列{ }na 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组．（写出所有符合要求的组号） ① 1S 与 2S ；② 2a 与 3S ；③ 1a 与 na ；④ q 与 na ．（其中 n 为大于 1 的整数， nS 为{ }na 的前 n 项和． ) a 【解答】解：（1）由 1S 和 2S ，可知 1a 和 2a ．由 2 a 1 对；可得公比 q ，故能确定数列是该数列的“基本量”，故① （2）由 2a 与 3S ，设其公比为 q ，首项为 1a ，可得 2 a a q ， 1 a 1  ， a 2 q S 3  a 1  a q a q 1 1  2 ，   S 3 a 2 q  a 2  ， a q 2  a q 2 2  ( a 2  S q 3 )  a 2  ； 0 满足条件的 q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量，②不对；（3）由 1a 与 na ，可得 na  1 n a q  1 ，当 n 为奇数时， q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由 q 与 na 由 na  1 n a q  1 ，故数列{ }na 能够确定，是数列{ }na 的一个基本量；故答案为：①④．二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）在下列关于直线 l 、 m 与平面、 的命题中，真命题是 ( ) A．若 l  ，且  ，则 l  B．若 l  ，且 / / ，则 l 

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