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2009年上海市中考数学真题及答案.doc
2009 年上海市中考数学真题及答案
（满分 150 分，考试时间 100 分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一
律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题
纸的相应位置上．】
1．计算 3 2
)a 的结果是（
(
）
A． 5a
B． 6a
C． 8a
D． 9a
2．不等式组
A．
x
1
，
的解集是（
1 0
x
2 1
x
B． 3x
x
x
3．用换元法解分式方程
3
x
x
整式方程，那么这个整式方程是（
1
1
）
3x
C． 1
1 0
时，如果设
1x
D． 3
y
，将原方程化为关于 y 的
1x
x
）
A． 2
y
y
3 0
B． 2 3
y
y
1 0
C． 23
y
y
1 0
D． 23
y
y
1 0
4．抛物线
y
2(
x m
)
2
（ m n， 是常数）的顶点坐标是（
n
）
A．(
)m n，
B．(
)m n
，
C．(
m n，
)
D．(
m n
，
)
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（
）
A．正六边形
B．正五边形
C．正四边形
C．正三边形
∥ ∥ ，那么下列结论正确的是（
）
6．如图 1，已知 AB CD EF
A．
B．
C．
D．
AD BC
DF CE
CD BC
EF
BE
BC DF
CE
AD
CD AD
EF
AF
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
A
C
E
B
D
F
图 1
【请将结果直线填入答题纸的相应位置】
7．分母有理化：．
1
5
8．方程
x 的根是
1 1
．
9．如果关于 x 的方程 2
x
1
10．已知函数
( )
f x
，那么 (3)
f
x
11．反比例函数
y
图像的两支分别在第
．
象限．
1
2
x
2
（ k 为常数）有两个相等的实数根，那么 k
x
k
0
．
12．将抛物线
y
x 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式
．
．
是
13．如果从小明等 6 名学生中任选 1 名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率
是
14．某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m ，那么该商
品现在的价格是
15．如图 2，在 ABC△
中， AD 是边 BC 上的中线，设向量 ，
元（结果用含 m 的代数式表示）．
A
AB a
BC b
=
．
，b
，那么 AD
表示向量 AD
如果用向量 a
16．在圆O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半
径OA
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分，交点为
O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 ABCD 成为矩形，
还需添加一个条件，这个条件可以是
．
18．在 Rt ABC△
3
M
， 为边 BC 上的
点，联结 AM （如图 3 所示）．如果将 ABM△
沿直线 AM 翻折
后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处，那么点 M 到 AC 的距离
是
°，
BAC
AB
中，
90
．
B
A
D
图 2
C
B
M
图 3
C
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算：
2
a
a
2
1
(
a
1)
a
2
1
2
a
1
2
a
．
20．（本题满分 10 分）
1
x
，
2
x
xy
解方程组：
y
2
2 0
①
②
.
21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）
如图 4，在梯形 ABCD 中，
（1）求 tan ACB
的值；
（2）若 M N、 分别是 AB DC、 的中点，联结 MN ，求线段 MN 的长．
A
AD BC AB DC
∥ ，
8
，
BC
60
°，
B
12
，联结 AC ．
D
B
C
图 4
22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 2 分，第（2）小题满分 3 分，第（3）小题满分 2
分，第（4）小题满分 3 分）
为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别
抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；
各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图 5 所示（其中六年级相关数据未标出）．
次数
人数
0
1
1
1
2
2
3
2
5
4
4
3
表一
6
2
7
2
8
2
9
0
10
1
；
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（ 1 ） 六 年 级 的 被 测 试 人 数 占 所 有 被 测 试 人 数 的 百 分 率
是
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是
（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于 6 的人数所
占的百分率是
（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是
；
；
．
八年级
25%
九年级
30%
七年级
25%
六年级
图 5
O
E
F
D
C
23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）
已知线段 AC 与 BD 相交于点O ，联结 AB DC、 ，E 为OB
的中点， F 为OC 的中点，联结 EF （如图 6 所示）．
（1）添加条件 A
求证： AB DC
．
， OEF
OFE
D
，
A
B
”记为①，“ OEF
（2）分别将“ A
”记为③，
添加条件①、③，以②为结论构成命题 1，添加条件②、③，以①为结论构成命题 2．命题
1 是
命题（选择“真”或“假”填入空格）．
命题，命题 2 是
OFE
D
图 6
”记为②，“ AB DC
24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）
在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为 (1 0)， ，点C 的坐标为 (0 4)， ，直线CM x∥
轴（如图 7 所示）．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y
（b 为常数）经过点 B ，且
x b
与直线CM 相交于点 D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点 D 的坐标；
（2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若 POD△
角形，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 P 与
圆O 外切，求圆O 的半径．
是等腰三
y
C
4
3
2
1
O
B
1
A
1
图 7
y
x b
D
M
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5
分）
已知
ABC
90
°，
AB
2
，
BC
3
， ∥ ， 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线
AD BC P
AB 上，且满足
PQ AD
PC
AB
（如图 8 所示）．
（1）当
AD ，且点Q 与点 B 重合时（如图 9 所示），求线段 PC 的长；
2
（2）在图 8 中，联结 AP ．当
AD ，且点Q 在线段 AB 上时，设点 B Q、 之间的距离
3
2
△
为 x ， APQ
PBC
S
S
△
y
，其中 APQ
S△ 表示 APQ△
的面积， PBC
S△ 表示 PBC△
的面积，求 y 关
于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当 AD AB
，且点Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 10 所示），求 QPC
A
Q
B
D
P
A
D
P
图 8
C
B（Q）
）
图 9
A
B
Q
C
P
图 10
的大小．
D
x
C
参考答案：
一．选择题：（本大题共 6 题，满分 24 分）
1． B；
2．C；
3．A;
4．B;
5．C;
6．A．
1、
2、解：解不等式①，得 x＞-1，解不等式②，得 x＜3，所以不等式组的解集为-1＜x＜3，
故选 C．
3、
4、
5、
6、
二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分）
7．
;
；
8． 2x
解：由题意知 x-1=1，解得 x=2．
9．１
４
；
10． １
２
；
11．一、三；
y
x
2 1
；
12．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y=x2-2 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，
那么新的抛物线的表达式是，y=x2-2+1，即 y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．
13． 1
6 ；
解：因为从小明等 6 名学生中任选 1 名作为“世博会”志愿者，可能出现的结果有 6 种，选
中小明的可能性有一种，所以小明被选中的概率是 1/ 6 ．
100
1(
m
2)
；
14．
解：第一次降价后价格为 100（1-m），第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为 100
（1-m）（1-m），
即 100（1-m）2．
1 ；
2
15．
b
a
解：因为向量 AB = a ， BC = b ，根据平行四边形法则，可得： AB = a ， BC = b ， AC
= AB + BC =a+b，又因为在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，所以
16． 5 ；
90
等）；
ABC
17． AC BD （或
解：∵对角线 AC 与 BD 互相平分，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
要使四边形 ABCD 成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD 或有个内角等于 90 度．
18. 2 .
三．解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．解：原式＝
20．解：由方程①得
(
a
1
)1
1
a
2)1
)(1
(
a
··········································· （7 分）
(2
)1
a
1
a
2
a
1
a
a
··············································································· （1 分）
1
········································································ （1 分）
a
1
1
＝
＝
a
1
a
y
0
2)1
将③代入②，得
整理，得
x
解得 1
x
分别将 1
＝ 1 ． ················································································· （1 分）
1 x
， ③ ························································· （1 分）
2 2
(
xx
x
，··········································· （1 分）
2
2
0
x
x
，······························································ （2 分）
2
1
x
，
，···································································（3 分）
2
2
1
，
， ·························· （2 分）
y
代入③，得 1
x
x
所以，原方程组的解为 1
2
y
y
1
BC
，垂足为 E ．············································ （1 分）
60
，
cos
60
， ··············································· （1 分）
····································· （1 分）
3
y
，
2
1
，
0.
AE
B
8
8AB ，
4
2
，
3
；
AB
x
2
0
2
21．解：（1） 过点 A 作
在 Rt △ ABE 中，∵
B
∴
cos
BE
AE
AB
12BC
sin
B
，∴
60
sin
8
．···················································（1 分）
8EC ． ································································ （1 分）
34
∵
在 Rt △ AEC 中，
tan
ACB
．···································· （1 分）
．········································································· （1 分）
AE
EC
AB
34
8
3
2
60
，
，
B
DC
60
BC
B
DF
BC
（2） 在梯形 ABCD 中，∵
DCB
∴
过点 D 作
∵
在 Rt △ DCF 中，
FC
∴
AD // ，∴四边形 AEFD 是平行四边形．∴
8
，垂足为 F ，∵
cos
DC
4AD
DCF
．
FC
4
．∴
DFC
EC
EF
∵ M 、 N 分别是 AB 、 DC 的中点，∴
MN
AEC
AD
60
cos
AE //
90
，∴
EF
． ·····················（1 分）
4
， ···················· （1 分）
DF
．
BC
AD
2
4
12
2
8
．········（2 分）
22．（1） %20 ； ·················································································· （2 分）
（2） 6 ； ···················································································· （3 分）
（3） %35 ； ················································································· （2 分）
（4） 5 ． ······················································································· （3 分）
，
OF
OFE
OEF
．···································································· （1 分）
23．（1） 证明：
OE
∴
∵ E 为OB 的中点， F 为OC 的中点，
∴
∴
∵
∴△ AOB ≌△ DOC ．·························································（2 分）
AB
．···································································· （1 分）
． ············································· （1 分）
，
．···································································· （1 分）
，
OB 2
OE
OB
OC
A
D
AOB
OC 2
DOC
DC
OF
，
（2） 真；·························································································（3 分）
假．···························································································· （3 分）
24．解：（1） ∵点 A的坐标为 (1 0)， ，点 B 与点 A 关于原点对称，
y
∴点 B 的坐标为 ( 1 0)
∵直线
∵点C 的坐标为 (0 4)， ，直线
∵直线
bx
1 x
y
0
1
， ．··································································（1 分）
b ，得 1b ．····························（1 分）
经过点 B ，∴
CM // 轴，∴设点 D 的坐标为 ( 4)x， ． ······· （1 分）
x
与直线CM 相交于点 D ，∴ 3x ．∴ D 的坐标为 (3 4)， ．…（1 分）
5OD ．················································（1 分）
时，点 P 的坐标为 (6 0)， ； ····································· （1 分）
时，点 P 的坐标为 (5 0)， ， ······································（1 分）
（2） ∵ D 的坐标为 (3 4)， ，∴
当
当
当
∴
PD
PO
PO
OD
OD
PD
(
x
x
5
5
时，设点 P 的坐标为 ( 0)x，
)3
，得
4
2
2
25x
6
( x
)0
，
，∴点 P 的坐标为
25(
6
0)
， ．············ （1 分）
综上所述，所求点 P 的坐标是 (6 0)， 、 (5 0)， 或
（3） 当以 PD 为半径的圆 P 与圆O 外切时，
25(
6
0)
， ．
5PD
若点 P 的坐标为 (6 0)， ，则圆 P 的半径
∴圆O 的半径 1r ．······································································（2 分）
若点 P 的坐标为 (5 0)， ，则圆 P 的半径
∴圆O 的半径
综上所述，所求圆 O 的半径等于1或
． ···························································（2 分）
525 r
52PD
525
6PO
5PO
，圆心距
，圆心距
，
，
．
DBC
．∴
ADB
ADB
． ················································· （1 分）
DBC
ABD
．
．
，点Q 与点 B 重合，∴
．·······························································（1 分）
． ·········································································· （1 分）
PQ
PC
PB
PBC
．
23
2
3
cos
45
．····················· （1 分）
，垂足分别为 E 、 F ．···················· （1 分）
．∴四边形 FBEP 是矩形．
25．解：（1） ∵
AD // ， ∴
BC
，∴
．∴
ABD
45
PBC
AD
AB
45
∵
∵
∵
∴
∴
AD
ABC
PQ
PC
PCB
BPC
2
AB
90
AD
AB
90
，
（2） 过点 P 作
在 Rt △ BPC 中，
PE
FBE
PE
PFB
∴
∴
C
AB
90
cos
PC
BC
PF
BC
，
BEP
BF
．
PF //
AD
．∴
PF // ，
BC
AD // ，∴
BC
3AD
2
AB
，
AQ
S
S
APQ
PBC
∵
∵
∵
∴
AD
AB
．
PF
BF
3
4
2AB ，∴
PF
PE
2 ，
x
QB
3BC ，∴
．················································ （1 分）
S
△
APQ
x
2
2
PF
，
S
△
PBC
3
2
PE
．
2 x
4
，即
y
2 x
4
． ················································· （2 分）
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