A.3
2. 设 i 为虚数单位,则
(
A.
15x
4
2}
B.4
6
i)
B. 4
15x
π
3
x
sin 2
x 的展开式中含 4x 的项为(
)
C.5
D.6
C.
20ix
4
D. 4
20ix
2016四川高考理科数学真题及答案
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题). 第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,
共4页,满分150分,考试时间120分钟. 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、
草稿上答题无效. 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的.
1. 设集合 { | 2
A
x
,Z为整数集,则集合 A Z 中元素的个数是(
x
)
3. 为了得到函数
y
的图象,只需把函数 sin 2
y
x
的图象上所有的点(
)
A.向左平行移动
C.向左平行移动
π
3
π
6
个单位长度
B.向右平行移动
个单位长度
D.向右平行移动
π
3
π
6
个单位长度
个单位长度
4. 用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(
)
A.24
B.48
C.60
D.72
5. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130
万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发
资金开始超过200万元的年份是(
(参考数据: lg1.12 0.05
)
, lg1.3 0.11
, lg 2 0.30
)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
B.18
D.35
1)
2
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)
人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶
算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出
了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n,x的
值分别为3,2. 则输出v的值为(
A.9
C.20
)
7. 设p:实数x,y满足
(
x
2
1)
(
y
,q:实数x,y满足
2
则p是q的(
1,
,
x
y
x
1
y
1,
y
A.必要不充分条件
C.充要条件
)
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. 设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线 2
y
2
(
px p
上任
0)
意一点,M是线段PF上的点,且|
A. 3
3
B.
2
3
PM
| 2 |
MF
|
,则直线OM斜率的最大值为(
C. 2
2
D.1
)
9. 设直线 1l , 2l 分别是函数
( )
f x
ln , 0
x
ln ,
x x
x
1,
1,
图象上点 1P , 2P 处的切线, 1l 与 2l 垂直
相交于点P,且 1l , 2l 分别与y轴相交于点A,B,则 PAB△
的面积的取值范围是(
A.
)
)
DA DB DB DC DC DA
B. (0, 2)
10. 在平面内,定点A,B,C,D满足|
D. (1,
0,1
)
2
,
DA
, PM MC
| = |
,则
| = |
DB
|BM
|
AP
| =1
动点P,M满足|
A.
43
4
B.
49
4
|
C. (0,
DC
,
2
的最大值是(
C. 37 6 3
4
)
D. 37 2 33
4
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
2
cos
π
8
sin
2
π
8
=
__________.
12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则
在2次试验中成功次数X的均值是__________.
13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三
棱锥的体积是__________.
14. 已知函数 ( )
f x 是定义在R上的周期为2的奇函数,当 0
则
f
5
2
f
(1)
__________.
1x 时, ( )
f x ,
4x
15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 当 ( ,
P x y 不 是 原 点 时 , 定 义 P 的 “ 伴 随 点 ” 为
)
P
'
2
x
y
,
2
y
2
x
x
2
y
;当 P 是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身,平面曲线 C 上
所有点的“伴随点”所构成的曲线 'C 定义为曲线 C 的“伴随曲线”,现有下列命题:
① 若点 A 的“伴随点”是点 'A ,则点 'A 的“伴随点”是点A;
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身;
③ 若曲线 C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线” 'C 关于 y 轴对称;
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号).
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或步骤.
16. (本小题满分12分)
我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用
水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x
的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况,通过抽样,获
得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0, 0.5) ,[0.5,1) ,…,
[4, 4.5) 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中a的值;
(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(III)若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并
说明理由.
17. (本小题满分12分)
中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
在 ABC△
(I)证明: sin sin
(II)若 2
2
a
b
A
c
2
sin
bc
;
C
,求 tan B .
B
6
5
A
cos
a
B
cos
b
C
sin
c
.
18. (本小题满分12分)
ADC
如图,在四棱锥 P ABCD
为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为 90 .
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线 / /
AD BC ,
中, / /
CM 平面PBE,
PAB
90
,
BC CD
1
2
AD
,E
并说明理由;
(II)若二面角 P CD A
的大小为 45 ,求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)
已知数列{ }na 的首项为1, nS 为数列{ }na 的前n项和, 1
S
n
2 ,
a a a 成等差数列,求 na 的通项公式;
(I)若 2
2
,
3
2
qS
n
,其中 0
q ,
1
n N .
*
(II)设双曲线
2
x
2
y
2
a
n
1
的离心率为 ne ,且 2
e ,证明: 1
e
5
3
e
2
e
n
4
n
n
3
1
n
3
.
20. (本小题满分13分)
2
2
已知椭圆
E
:
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶
1(
y
b
x
2
a
x 与椭圆E有且只有一个公共点T.
0)
a
b
2
l y
点,直线 :
(I)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(II)设O是坐标原点,直线 'l 平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线
3
l交于点P. 证明:存在常数,使得
|
PT
2
|
|
PA
|
|
PB
|
,并求的值.
21. (本小题满分14分)
a
( )
f x
ax
设函数
(I)讨论 ( )
x
f x 的单调性;
ln
2
,其中 Ra .
(II)确定a的所有可能取值,使得
( )
f x
( e
2.718
…为自然对数的底数).
在区间 (1,+ ) 内恒成立
1
e x
1
x
2016四川省高考理科数学试题解析
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题). 第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,
共4页,满分150分,考试时间120分钟. 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、
草稿上答题无效. 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的.
1. 设集合 { | 2
A
x
,Z为整数集,则集合 A Z 中元素的个数是(
x
)
C.5
D.6
2}
B.4
A.3
【答案】C
【解析】由题可知,
选C
A
Z
{ 2, 1,0,1,2}
,则 A Z 中元素的个数为5
2. 设 i 为虚数单位,则
(
A.
15x
4
【答案】A
【解析】由题可知,
6
i)
B. 4
15x
x 的展开式中含 4x 的项为(
)
C.
20ix
4
D. 4
20ix
含 4x 的项为 2
选A
4 2
6C i
x
15
x
4
3. 为了得到函数
y
x
sin 2
π
3
的图象,只需把函数 sin 2
y
x
的图象上所有的点(
)
A.向左平行移动
C.向左平行移动
π
3
π
6
【答案】D
【解析】由题可知,
个单位长度
B.向右平行移动
个单位长度
D.向右平行移动
π
3
π
6
个单位长度
个单位长度
y
sin 2
x
π
3
sin 2
x
π
6
选D
,则只需把 sin 2
y
x
的图象向右平移
6
个单位
4. 用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(
)
B.48
A.24
【答案】D
【解析】由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5;
分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 1
再将剩下的4个数字排列得到 4
选D
C.60
3C ,
4A ,则满足条件的五位数有 1
3
C A
D.72
4
4
72
.
5. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130
万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发
资金开始超过200万元的年份是(
(参考数据: lg1.12 0.05
)
, lg1.3 0.11
, lg 2 0.30
)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
【答案】B
【解析】设 x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元
130 1 12%
由题可知,
200
130
解得
log
1.12
x
x
,
200
lg 2 lg1.3
lg1.12
3.80
,
因资金需超过200万,则 x 取4,即2019年
选B
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)
人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶
算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出
了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n,x的
值分别为3,2. 则输出v的值为(
A.9
C.20
【答案】B
【解析】初始值 3,
x
,程序运行过程如下表所示
B.18
D.35
)
2
n
1v
2
i
1i
0
i
i
选B
1
1 2 2
4
v
4 2 1 9
v
9 2 0 18
v
跳出循环,输出 18
v
7. 设p:实数x,y满足
(
x
2
1)
(
y
2
1)
A.必要不充分条件
C.充要条件
,q:实数x,y满足
2
1,
,
x
y
x
1
y
1,
y
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
则p是q的(
)
【答案】A
【解析】如图,
1,1 ,
2
2
y
x
2
≥
1
y
y
y
1,
,
x
≤ ① 表示圆心为
1
半径为 2 的圆内区域所有点(包括边界);
实数 ,x y 满足②则必然满足①,反之不成立.
则 p 是 q 的必要不充分条件.
故选A
② 表示 ABC
x
1
1
≥
≤
内部区域所有点(包括边界).
8. 设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线 2
y
2
,则直线OM斜率的最大值为(
| 2 |
MF
|
且|
PM
A. 3
3
【答案】C
【解析】如图,由题可知
(
px p
0)
上任意一点,M是线段PF上的点,
)
C. 2
2
D.1
B.
2
3
pF
2
,0
,设 P 点坐标为
2
y
0
2
p
,
y
0
y 时,
显然,当 0
OMk
OM OF FM OF
0
则
0
; 0
FP OF
0
0
OMk
y 时,
,要求 OMk 最大值,不妨设 0
y .
yp
1
OP OF
0
3
3
3
OF
OP
0
1
3
y
6
1
3
2
3
0
p
,
2
y
0
3
2
y
0
6
p
k
OM
故选C
p
3
2
2
y
p
0
y
0
p
≤
2
2 2
2
2
,当且仅当 2
y
0
p 等号成立
2
2
9. 设直线 1l , 2l 分别是函数
( )
f x
ln , 0
x
ln ,
x x
x
1,
1,
图象上点 1P , 2P 处的切线, 1l 与 2l 垂直
相交于点P,且 1l , 2l 分别与y轴相交于点A,B,则 PAB△
A.
)
【答案】A
B. (0, 2)
C. (0,
0,1
的面积的取值范围是(
)
D. (1,
)
【解析】方法一:设 1
P x y
1
(
,
1
),
(
P x
2
2
,
y
2
) (
x
1
x ,易知 1 1
x , 2
x ,
1
)
2
k
l
1
1
x
1
,
k
l
2
,
1
x
2
x x
1 2
1
则直线 1l :
y
x
x
1
1 ln
l
, 2
x
1
:
y
1
x
2
x
ln
x
2
,与 y轴的交点为
1
(0,1 ln
x
1
), (0, ln
x
2
1)
设
a
x
2
, 则 交 点 横 坐 标 为
1
2
1a
a
S
PAB
2
1
2
2
a
1
a
2
a
1
a
,故
S
PAB
(0,1)
, 与 y 轴 的 交 点 为 (0,ln
a
1), (0, ln
a
1)
, 则
x
方法二:特殊值法,若 1
x
2
,可算出
1
S
PAB
, 1x ,故
1
S
PAB
x
,排除 BC;令 1
1
1,
2
x
2
,
2
S
算出
故选A.
PAB
,
1
10. 在平面内,定点A,B,C,D满足|
DA
, PM MC
| = |
,则
| = |
DB
|BM
|
AP
| =1
DA DB DB DC DC DA
2
,
|
,
DC
2
的最大值是(
C. 37 6 3
4
)
D. 37 2 33
4
动点P,M满足|
A.
43
4
【答案】B
【解析】由题意,
B.
49
4
,所以 D 到 ,
,A B C 三点的距离相等, D 是 ABC
2
DA DB DB DC DB DA DC
DB CA
所以 DB
0,
AC ,
的外心;
DA DB DC
DA DB DB DC DC DA
DA BC DC AB
同理可得,
从而 D 是 ABC
的垂心;
ABC
DA DB DA DB
,
cos
的外心与垂心重合,因此 ABC
ADB DA DB
是正三角形,且 D 是 ABC
DA
1
2
2
2
的中心;
的边长为 2 3 ;
所以正三角形 ABC
我 们 以 A 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 , ,
B
2,0D
3 ,
C
。
cos ,sin ,其中
,设 P 点的坐标为
1
而 PM MC
,即 M 是 PC 的中点,
3,
AP
3, 3 ,
由
可以写出 M 的坐标为
M
3 cos
,
2
3 sin
2
,B C D 三 点 坐 标 分 别 为
0,2π
,
2
3 3 sin
2
2
37 12sin
6
4
37 12
4
49
4
则
BM
2
cos
时,
当
2
3
故选B.
3
2
2BM
取得最大值
49
4
。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
2
sin
π
8
=
__________.
2
11.
cos
π
8
【答案】 2
2